Variable Estadística

Variable Estadística
1.- Los aficionados al béisbol aprenden de memoria las estadísticas de este juego. Por
ejemplo, ¿cuántos “home runs” (golpes que envían la pelota fuera del campo de juego)
son necesarios para liderar la liga? La tabla contiene los líderes de la liga americana y el
total de “home runs” entre 1972 y 1991:
Año
Jugador
“Home
Año
Jugador
“Home
runs”
runs”
1972
Dick Allen
37
1982
Thomas and Jackson
39
1973
Reggie Jackson
32
1983
Jim Rice
39
1974
Dick Allen
32
1984
Tony Armas
43
1975
Sccot and Jackson
36
1985
Darrell Evans
40
1976
Graig Nettles
32
1986
Jesse Barfield
40
1977
Jim Rice
39
1987
Mark McGwire
49
1978
Jim Rice
46
1988
Jose Canseco
42
1979
Gorman Thomas
45
1989
Fred McGriff
36
1980
Reggie Jackson
41
1990
Cecil Fielder
51
1981
Four players
22
1991
Canseco and Fielder
44
Se pide: a) construir el diagrama de barras. b) El polígono de frecuencias.
c) Diagrama de frecuencias acumuladas. d) Moda y mediana.
La media de golpes para los 167 jugadores de la liga americana que intentaron
batear más de 200 veces en la temporada de 1980 viene representada en la siguiente
tabla:
CLASE
FRECUENCIA
CLASE
FRECUENCIA CLASE
FRECUENCIA
0,185-0,195
1
0,255-0,265 16
0,325-0,335
4
0,195-0,205
3
0,265-0,275 18
0,335-0,345
1
0,205-0,215
1
0,275-0,285 23
0,345-0,355
1
0,215-0,225
4
0,285-0,295 23
0,355-0,365
0
0,225-0,235
13
0,295-0,305 16
0,365-0,375
0
0,235-0,245
20
0,305-0,315 3
0,375-0,385
0
0,245-0,255
15
0,315-0,325 4
0,385-0,395
1
e) Dibujar el histograma, polígono de frecuencias y diagrama de frecuencias acumuladas.
f) Calcular media, moda, mediana, varianza, desviación típica, coeficiente de variación,
sesgo y curtosis. g) ¿Cuál es el percentil correspondiente a un jugador cuyo promedio es
0,315? h) Dibujar el diagrama de cajas.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 1
Variable Estadística
2.- De una variable estadística se conocen los siguientes valores 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 y 3; si
consideramos otra variable estadística con valores 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 y 5. Determinar la
media, la mediana, la moda y la varianza de cada variable. ¿Cuál es la media, la mediana,
la moda y la varianza de la variable estadística que resulta de unir las dos anteriores?
Conocidas dos muestras de una misma variable con distintas medias y distinto tamaño
¿cuál es la media del resultado de unir dichas muestras?
3.-De una variable estadística se sabe que los momentos respecto al origen son: m0=1,
m1=1, m2=2, m3=4 y el primer cuartil Q1=0.7. Calcular, coeficiente de asimetría, varianza,
media, mediana y tercer cuartil.
4.- Dada la gráfica correspondiente a un polígono de frecuencias relativas acumulativo
de una variable estadística agrupada en intervalos de una muestra de tamaño n=20. A)
Formar la tabla de distribución de frecuencias absolutas. B) Dibujar el histograma y el
polígono de frecuencias. D) Encontrar la mediana, moda y media.
Fi
1
0.85
0.45
0.15
0.15
0
20 40
60
80
100
5.- El porcentaje de disco ocupado (en Mbytes) para distintos usuarios de una estación
de trabajo está agrupados en las cuatro clases de igual longitud siguientes:
Clases
[25.0, 32.5)
[32.5, 40.0)
[40.0, 47.5)
[47.5, 55.0]
Frecuencia
3
5
8
4
Calcular:
a. El primer y tercer cuartil.
b. Media, desviación típica y cuasivarianza.
6.- Dada la tabla de distribución de frecuencias:
xi
6
7
8
10
11
12
ni
1
2
7
6
3
1
a. Representar en el polígono de frecuencias absolutas.
b. Calcular el valor de los cuartiles, media, mediana y varianza muestral
(cuasivarianza).
c. Representar en el diagrama de cajas. ¿Existen puntos atípicos en la muestra?
¿Por qué?
d. Un valor en la muestra de 4, ¿sería un valor atípico?, ¿por qué?
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 2
Variable Estadística
7.- Se tabulan los valores de los errores de cierre en nivelación obtenidos en 742
polígonos. Calcular: a) media, b) mediana, c) moda, d) coeficiente de variación.
Valor en dm del error
Nº. de polígonos
0.255 - 0.285
6
0.285 - 0.315
38
0.315 - 0.345
66
0.345 - 0.375
131
0.375 - 0.405
240
0 405 - 0 435
162
0.435 - 0.465
84
0.465 - 0.495
15
8.- Al finalizar el curso de “Álgebra y Geometría” se realizó un examen de tipo test a
los trescientos alumnos matriculados obteniéndose la siguiente tabla referente al
número de preguntas acertadas:
Nº de
preguntas
0 – 10 10 – 25 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70
acertadas
Nº de alumnos 10
20
60
100
70
30
10
Se pide:
a) Representa el histograma de la distribución de frecuencias anterior.
b) Hallar la media y varianza muestral.
c) ¿Cuál será el número P de preguntas acertadas tal que la mitad de los
alumnos obtengan un número de preguntas acertadas mayor que P?
d) ¿Cuál es número medio de preguntas acertadas y el número de preguntas
acertadas que más se repite.
Para la concesión de unas becas se realiza una segunda parte de examen al que sólo se
permite presentarse a los 60 alumnos con mejor nota en el test.
Se pide:
e) Hallar el número de preguntas acertadas como mínimo que se ha exigido a
un alumno para realizar la segunda parte del examen.
Una vez finalizada la segunda parte del examen se han obtenido las siguientes notas:
Nota
4
5 5.5 6 6.5 8
Nº de
8 12 15 14
6
5
alumnos
Se pide:
f) ¿Por qué no se debe agrupar los datos en intervalos como se realizó con las
notas del test?
g) Hallar la mediana, la moda y el recorrido intercuartílico.
h) De las dos distribuciones de notas en cuál de ellas la media es más
representativa.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 3
Variable Estadística
i) ¿Que resulta más difícil, obtener 28 preguntas acertadas en el examen tipo
test u obtener un 6,5 en la segunda parte del examen.
j) Si se concede una beca a los 25 alumnos con mejor nota en la segunda parte
del examen. ¿A partir de qué nota se concederán las becas?
9.- Se ha realizado una prueba de rendimiento a 20 alumnos elegidos al azar, los
resultados obtenidos sobre el rendimiento se muestran en el siguiente gráfico:
a) A partir del gráfico calcular
25
la mediana, los cuartiles y el
rango de la variable.
20
b) Formar la tabla de
distribución de frecuencias
15
absolutas
10
c) Representar el diagrama de
frecuencias absolutas.
5
d) Calcular: Los cuartiles, la
mediana, la moda, varianza
0
muestral.
0
2
4
6
8
10
12
14
e) Considerando los 20 alumnos
como la población calcular los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher.
10.- La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400
componentes fabricados por una determinada marca.
Duración
Número de
Determinar:
(horas)
componentes
a) Frecuencia relativa de la sexta clase
[300 – 400)
14
b) Porcentaje de componentes cuya duración es
[400
–
500)
46
menor que 600 horas.
[500 – 600)
58
c) Porcentaje de componentes cuya duración es
[600
–
700)
76
mayor o igual a 900 horas.
[700 – 800)
68
d) Porcentaje de componentes cuya duración es al
menos de 500 horas pero menor de 1000 horas.
[800 – 900)
62
e) Estimar el porcentaje de componentes con
[900 – 1000)
48
duraciones de menos de 560 horas.
[1000 – 1100)
22
f) Estimar el porcentaje de componentes con
[1100 – 1200)
6
duraciones de 970 o más horas.
g) ¿Qué número de horas duran el 95% de los componentes?
h) Representar el histograma de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias
relativas acumuladas.
i) Calcular la media, moda, la desviación estándar de la muestra, Coeficiente de
variación y el coeficiente de asimetría de Pearson.
j) Suponiendo que los 400 componentes son la población total, calcular la varianza y
los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher.
11.- En un taller de reparación de vehículos se recogen datos sobre los días que se tarda
en reparar un vehículo, y se obtiene
Días en taller
0
1
2
3
4 5 8 10 15
Nº de coches
10 12 23 10 9 5 3
2
1
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas.
b) Calcular la moda, mediana, el primer y tercer cuartil, y El percentil 96.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4
Variable Estadística
c) Calcular los momentos respecto del origen de orden 1, 2, 3 y 4.
d) Calcular los momentos respecto de la media de orden 1, 2, 3 y 4.
e) Calcular la media, varianza, desviación estándar, Coeficiente de variación y el
coeficiente de asimetría.
f) Calcular la varianza y los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher de los días de
estancia en el taller los 75 vehículos.
g) ¿Existen reparaciones atípicas en cuanto a la duración en la reparación?
12.- En un aparcamiento cobran por cada minuto que está estacionado el vehículo 1,5
céntimos. El tiempo que los vehículos permanecen estacionados dentro un día cualquiera
se muestra en el siguiente polígono de frecuencias:
Respecto del tiempo que un vehículo está en el aparcamiento calcular:
a) Porcentaje de vehículos estacionados más de dos horas pero menos de cuatro horas.
b) Estimar el porcentaje de vehículos que estacionan menos de 100 minutos.
c) ¿Qué número de minutos está estacionado dentro el 90% de los vehículos.
d) La moda, los cuartiles primero y tercero, y la mediana.
e) La media, desviación estándar muestral y el coeficiente de asimetría de Pearson.
f) Realizar el diagrama de cajas.
g) ¿A partir de cuántos minutos el tiempo considerado será atípico?
Respecto del pago (precio por minuto estacionado) calcular:
h) El ingreso medio y el ingreso más frecuente por vehículo.
i) La empresa arrendataria del servicio está estudiando modificar la tarifa existente de
la siguiente manera: a todos los vehículos se les cobrará 50 céntimos de € por entrar y 14
céntimos de € por cada minuto que tengan su coche dentro del aparcamiento. Bajo esta
suposición, y con los datos de que dispone, ¿qué alternativa da un ingreso medio mayor?
13.- Investigados los precios de ordenadores de 50 marcas distintas se han obtenido los
siguientes resultados:
700
300
500
400
500
700
400
750
700
300
500
750
300
700
1000
1250
500
750
500
750
400
500
300
500
1000
300
400
500
400
500
300
400
700
400
700
500
400
700
1000
750
700
800
750
700
750
800
700
700
1200
800
a) Determinar la distribución de precios agrupados en frecuencias absolutas.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5
Variable Estadística
b) Representar gráficamente el diagrama de barras y el polígono de frecuencias
acumuladas.
c) Calcular el precio medio y el más frecuente.
d) Calcular la varianza y el coeficiente de variación.
e) Obtener el sesgo y la curtosis o apuntamiento.
f) Si queremos un ordenador cuyo precio corresponda como mínimo al 10% de los
precios más caros, ¿cuál será el precio correspondiente?
g) ¿Existen precios atípicos según el diagrama de cajas?
14.- Si en una población de 120 personas el coeficiente intelectual tiene la siguiente
distribución:
Coef. 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140
Int.
ni
2
3
25
46
35
5
3
1
a) Representar el histograma de frecuencias.
b) Representar el polígono de frecuencias acumuladas.
c) Atendiendo al coeficiente intelectual, se consideran bien dotadas al 5% de las
personas con mayor coeficiente. ¿A partir de qué coeficiente intelectual mínimo se
considerará como bien dotada a una persona de esta población?
d) ¿Qué proporción de la población es más inteligente que una persona con coeficiente
intelectual 100?
e) ¿En qué percentil está situada una persona de coeficiente intelectual 90?
f) Obtener la media, la moda, la mediana y la varianza de la población.
15.- Los siguientes datos corresponden a las cotas taquimétricas iniciales de un terreno
en orden creciente:
VÉRTICES
Cota inicial (xi)
1
102,3
2
101,98
3
101,37
4
101,22
5
101,98
6
101,8
7
101,48
8
101,22
9
101,87
10
100,78
11
101,3
12
101,03
13
100,42
14
100,42
15
100
A.- Construir un sumario estadístico que incluya las frecuencias: absolutas, relativas,
absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
B- Representar los datos mediante un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6
Variable Estadística
Valor Fórmula empleada o método de cálculo
Percentil 10
Media
Varianza
Desviación típica
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría de Fisher
Coeficiente de apuntamiento
D.- Si se consideran el 10% de los vértices que tienen mayor cota. ¿Cuál es la cota
mínima?
E.- Representa un diagrama de cajas y efectúa el estudio de posibles puntos atípicos.
16.- Se ha tomado una fotografía aérea de una cierta escena; dentro de ella se ha
seleccionado una parcela de la que se han tomado 28 muestras de los niveles de gris
(pixeles) correspondientes a otros tantos puntos, obteniéndose los siguientes valores: 41,
39, 43, 40, 42, 44, 38, 42, 40, 46, 45, 44, 40, 43, 40, 42, 45, 45, 46, 39, 41, 39, 39, 43, 42, 47,
46, 40. Se quiere hacer un estudio de estos datos: agrupándolos en intervalos de
amplitud dos:
A.- Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias absolutas:
B.- Dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
Valor
Fórmula
empleada
o
método de cálculo
Mediana
Percentil Quinto
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría de
Fisher
Curtosis
17.- La siguiente tabla recoge los salarios anuales en miles de euros de 20 trabajadores:
20 60 19 10 40 16 16 16 10 19 19 20 20 40 19 16 10 16 70 16
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas.
b) Proporción de trabajadores que obtiene un salario superior o igual a 19000.
c) ¿Qué percentil le corresponde a un trabajador con un salario de 20000?
d) Coeficiente de Variación.
e) Diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7
Variable Estadística
18.- Dada la distribución de frecuencias:
Intervalo
ni
0-500
3
500-1000
3
1000-1500
8
1500-2000
5
2000-2500
4
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
b) El primer cuartil.
c) Coeficiente de apuntamiento o Curtosis. Interpretación
19.- Se toman 20 medidas a un grupo de 4 o más satélites en intervalos de 15 seg. En la
tabla adjunta se reflejan las medidas de las variables GP:
4,7 4,7 4,8 4,9 5 5 5 5 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
b) ¿Qué percentil le corresponde a un valor de GP de 5?
d) La moda.
e) La varianza muestral o cuasivarianza.
f) Realizar el diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?
20.- Las calificaciones obtenidas por alumnos de Matemáticas en un examen fueron las
siguientes:
Nota 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10
ni
10
7
69
41
3
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas.
b) ¿Cuál es el valor de la mediana?
c) ¿En qué percentil está situada una persona con una calificación de 5?
d) Interpretar el Coeficiente de asimetria de Fisher.
21.- La siguiente tabla recoge las calificaciones de una prueba tipo test de Cálculo:
4 2 5 5 7 4 8 4 5 5 6 9 5 2 4 7 7 4 2 7 5 1 6 5 5 3 1 6 4 1 5 0 5 7 5 9 6 2 4
Se pide:
a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.
b) El Percentil 90.
c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?
d) La moda y los cuartiles.
e) La media, desviación estándar o desviación típica.
f) Realizar el diagrama de cajas.
g) ¿Hay valores atípicos?
Dada la distribución de frecuencias de la variable tiempo (segundos) utilizado en la
realización del test:
Intervalo
ni
400-500
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3
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 8
Variable Estadística
500-600
3
600-700
8
700-800
5
800-900
4
900-1000
5
1000-1100
11
Se pide:
h) El tiempo más frecuente.
i) La mediana.
j) Sesgo.
k) Curtosis.
22.- Se desea estudiar la altura de un grupo de alumnos. Las alturas expresadas en
centímetros fueron:
149 166 168 170 172 174 180 164 166
168
168 178 178 182 164 166 168 170 176
189
Construir un diagrama de caja. ¿Hay valores atípicos?
23.- Se ha medido dieciséis veces la longitud en metros que separa dos puntos, Los
resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
13,404 13,443 13,445 13,447 13,449 13,450 13,453 13,455
13,457 13,460 13,460 13,465 13,455 13,453 13,445 13,455
Calcular la moda, la mediana, los cuartiles y el percentil 90. Representar el diagrama de
caja y estudiar la existencia de puntos atípicos.
24.- Los siguientes valores corresponden a la temperatura máxima diaria (ºF) de 36 días,
obtenidos a las 14 horas en una cierta estación meteorológica.
84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 75, 76, 73, 70,
63, 70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 58, 57, 21.
a) Calcular: media, desviación típica y el coeficiente de variación.
b) Estudiar la existencia de datos atípicos. Si existe algún valor atípico omitir, dicho
valor y calcular de nuevo el apartado a).
c) Con los datos de los apartados a y b construir un gráfico con el diagrama de caja, de
ambos apartados.
25.- Los valores de 50 mediciones realizadas con un distanciometro con apreciación en
milímetros han sido agrupados en 6 intervalos según la tabla siguiente:
ei-1 – ei
ni
21.150 – 21.155
4
21.155 – 21.160
6
21.160 – 21.165
11
21.165 – 21.170
13
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 9
Variable Estadística
21.170 – 21.175
9
21.175 – 21.180
7
Total
50
a) Porcentaje de mediciones cuya distancia es mayor o igual que 21.160.
b) Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas y el histograma de
frecuencias absolutas.
c) Calcular, los cuartiles y la mediana.
d) Estimar el porcentaje de mediciones cuya distancia sea menos de 21.1725.
e) ¿Qué distancia tienen como máximo el 95% de las mediciones?
f) Calcular la media, moda y varianza.
26.- Del conjunto de redes topográficas que intervienen en un trabajo topográfico
estamos interesados en estudiar el número de vértices geodésicos que constituyen cada
red topográfica. Para ello, seleccionamos 30 redes topográficas, obteniéndose la
siguiente tabla:
Nº de vértices en las 30 redes
1 2 3 4 5 6
xi
Frecuencia absoluta ni
3
8
9
6
3
1
Respecto del número de vértices geodésicos que constituyen la red (característica a
estudiar) Calcular:
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias
acumuladas.
b) Hallar los cuartiles, la mediana y los percentiles 5 y 10.
c) ¿Qué número de vértices tienen el 80% de las redes?
d) Calcular la media, moda y varianza.
e) Representar el diagrama de caja.
27.- Se quiere analiza el resultado de una secuencia de cifras elegidas, al azar,
141592653589793238462433832795028841971693993751058209749445923078164062862
089986280348253421170679, todas las cifras han sido elegidas al azar mediante
extracciones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9.
La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias absolutas:
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ni
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
Se pide:
a) Moda
b) Media
c) Diagrama de cajas, ¿hay valores atípicos?
d) Coeficiente de asimetría
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 10
Variable Estadística
1.- Los aficionados al béisbol aprenden de memoria las estadísticas de este juego. Por
ejemplo, ¿cuántos “home runs” (golpes que envían la pelota fuera del campo de
juego) son necesarios para liderar la liga? La tabla contiene los líderes de la liga
americana y el total de “home runs” entre 1972 y 1991:
Año Jugador
“Home runs” Año Jugador
“Home runs”
1972
Dick Allen
37
1982 Thomas and Jackson
39
1973
Reggie Jackson
32
1983 Jim Rice
39
1974
Dick Allen
32
1984 Tony Armas
43
1975
Sccot & Jackson
36
1985 Darrell Evans
40
1976
Graig Nettles
32
1986 Jesse Barfield
40
1977
Jim Rice
39
1987 Mark McGwire
49
1978
Jim Rice
46
1988 Jose Canseco
42
1979
Gorman Thomas 45
1989 Fred McGriff
36
1980
Reggie Jackson
41
1990 Cecil Fielder
51
1981
Four players
22
1991 Canseco and Fielder
44
Se pide: a) construir el diagrama de barras. b) El polígono de frecuencias.
c) Diagrama de frecuencias acumuladas. d) Moda, y mediana
La media de golpes para los 167 jugadores de la liga americana que intentaron
batear más de 200 veces en la temporada de 1980 viene representada en la siguiente
tabla:
CLASE
FRECUENCIA
CLASE
FRECUENCIA
CLASE
FRECUENCIA
0,185-0,195
1
0,255-0,265
16
0,325-0,335
4
0,195-0,205
3
0,265-0,275
18
0,335-0,345
1
0,205-0,215
1
0,275-0,285
23
0,345-0,355
1
0,215-0,225
4
0,285-0,295
23
0,355-0,365
0
0,225-0,235
13
0,295-0,305
16
0,365-0,375
0
0,235-0,245
20
0,305-0,315
3
0,375-0,385
0
0,245-0,255
15
0,315-0,325
4
0,385-0,395
1
e) Dibujar el histograma, polígono de frecuencias y diagrama de frecuencias
acumuladas. f) Calcular media, moda, mediana, varianza, desviación típica, coeficiente
de variación, sesgo y curtosis. g)¿Cuál es el percentil correspondiente a un jugador cuyo
promedio es 0,315? h) Dibujar el diagrama de cajas.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 11
Variable Estadística
Solución:
xi
22
32
36
37
39
40
41
42
43
44
45
46
49
51
ni
1
3
2
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
1
20
Ni
1
4
6
7
10
12
13
14
15
16
17
18
19
20
a) Construir el diagrama de barras.
Obsérvese que Excel representa rectángulos en lugar de barras
b) El polígono de frecuencias.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 12
Variable Estadística
c) Diagrama de frecuencias acumuladas.
d) Moda, y mediana
Es bimodal 32 y 39
La mitad corresponde al intervalo mediano (39,40) y se toma el valor 39.5
CLASE
ni Ni
x
xn
x 2n
x 3n
x 4n
i
0,185-0,195
0,195-0,205
0,205-0,215
0,215-0,225
0,225-0,235
0,235-0,245
0,245-0,255
0,255-0,265
0,265-0,275
0,275-0,285
0,285-0,295
0,295-0,305
0,305-0,315
0,315-0,325
0,325-0,335
0,335-0,345
0,345-0,355
0,355-0,365
0,365-0,375
0,375-0,385
0,385-0,395
sumas
momentos
1
3
1
4
13
20
15
16
18
23
23
16
3
4
4
1
1
0
0
0
1
167
mi
1
4
5
9
22
42
57
73
91
114
137
153
156
160
164
165
166
166
166
166
167
0,19
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
i i
i
i
i
i
0,19
0,0361 0,006859
0,6
0,12
0,024
0,21
0,0441 0,009261
0,88
0,1936 0,042592
2,99
0,6877 0,158171
4,8
1,152
0,27648
3,75
0,9375 0,234375
4,16
1,0816 0,281216
4,86
1,3122 0,354294
6,44
1,8032 0,504896
6,67
1,9343 0,560947
4,8
1,44
0,432
0,93
0,2883 0,089373
1,28
0,4096 0,131072
1,32
0,4356 0,143748
0,34
0,1156 0,039304
0,35
0,1225 0,042875
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,39
0,1521 0,059319
44,96
12,266 3,390782
0,2692 0,0734491 0,0203041
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
i
i
0,0013032
0,0048
0,0019448
0,0093702
0,0363793
0,0663552
0,0585938
0,0731162
0,0956594
0,1413709
0,1626746
0,1296
0,0277056
0,041943
0,0474368
0,0133634
0,0150063
0
0
0
0,0231344
0,9497571
0,0056872
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 13
Variable Estadística
e) Dibujar el histograma.
Polígono de frecuencias
Diagrama de frecuencias acumuladas
f) Calcular media, moda, mediana, varianza, desviación típica, coeficiente de variación, sesgo
y curtosis.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 14
Variable Estadística
Media
k
ni
1 k
44,96
=
=
≈ 0, 2692
x
ni xi
∑
∑
i
n i1
167
=i 1 =i 1 n =
fi x i
∑=
=
X
k
La moda corresponde al intervalo de mayor frecuencia (0.275,0.295) puesto que ambos
tienen 23 por frecuencia.
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir,
n 167
= = 83,5 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas
2
2
acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (0.265,0.275).
n

 − N j−1  a
(83,5 − 73) 0, 01 ≈ 0, 27083
2
 =
Por consiguiente la mediana es M =
e j−1 + 
0, 265 +
nj
18
Varianza
(x i − X) n i
=
σ ∑=
n
i =1
2
k
2
∑x n
2
i
i
n
i
2
−=
X
12, 2661
− 0, 26922 ≈ 0, 0009689
167
Desviación típica
σ=
σ2 =
0, 0009689 ≈ 0, 0311264
Coeficiente de variación
σ 0, 0311264
CV
= =
≈ 0,1156
0, 2692
X
Sesgo
k
g=
1
∑ (x
i =1
− X)3 f i
µ3 m3 − 3m 2 m1 + 2m13 8,3289 ⋅10−06
=
=
=
≈ 0.2761855580
σ3
σ3
σ3
0.03112643
i
Curtosis
k
g2 =
∑ (x
i =1
i
− X) 4 f i
− 3=
m 4 − 4m3 m1 + 6m 2 m 21 − m14
µ4
3, 47576 ⋅10−06
−
3
=
−
3
=
−3 ≈
σ4
σ4
0,03112644
σ4
0, 702820924
g) ¿Cuál es el percentil correspondiente a un jugador cuyo promedio es 0,315?
El valor 0,315 está recogido en la tabla (y en el diagrama de frecuencias acumuladas) y
corresponde exactamente a 156 del total 167, luego obtenemos aproximadamente el percentil
93
h) Dibujar el diagrama de cajas.
Calculamos los 5 valores:
Mínimo, Q1, M, Q3, Máximo
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 15
Variable Estadística
Mínimo = 0,19
n 167
Q1 es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir,= = 41, 75 que
4
4
no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto hay interpolar en el intervalo (0.235,0.245).
Por consiguiente es:
n

 − N j−1  a
( 41, 75 − 22 ) 0, 01 ≈ 0, 244875
4
 =
Q1 =
e j−1 + 
0, 235 +
nj
20
M ≈ 0, 27083
n 167
Q3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, 3= = 125, 25
4
4
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto hay interpolar en el intervalo (0.235,0.245).
Por consiguiente la mediana es:
n

 − N j−1  a
(125, 25 − 114 ) 0, 01 ≈ 0, 2898913
4
 =
Q3 =
e j−1 + 
0, 285 +
nj
23
Máximo = 0,39
   
0 ,20
0 ,25
0 ,30
0 ,35
0 ,40
diagrama de cajas
Observando el rango intercuartílico IQ = Q3-Q1= 0,0450163, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= 0,1773505; quedando como límite inferior el mínimo 0,19.
Q3+ 1,5 IQ= 0,3574158 siendo el límite superior y existen valores atípicos.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 16
Variable Estadística
2.- De una variable estadística se conocen los siguientes valores 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3 y 3; si
consideramos otra variable estadística con valores 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 y 5. Determinar la
media, la mediana, la moda y la varianza de cada variable. ¿Cuál es la media, la
mediana, la moda y la varianza de la variable estadística que resulta de unir las dos
anteriores?
Conocidas dos muestras de una misma variable con distintas medias, distintas
varianzas, pero del mismo tamaño ¿cuál es la media y varianza del resultado de unir
dichas muestras?
Solución:
X= {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3}
xi
ni
1
2
3
sumas
momentos
xi ni
2
4
2
8
2
8
6
16
2
x2i ni
2
0
2
4
0,5
Ni
2
6
8
Media:
1 k
16
X =
ni xi
= 2
=
∑
n i =1
8
n 8
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, = = 4
2 2
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto, es el siguiente M=2.
La moda corresponde al valor de mayor frecuencia que es 2.
Varianza:
k
(x i − X) 2 n i
0,5
=
σ2 ∑=
n
i =1
Y= {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}
yi
ni yi ni y2i ni Ni
1
2
3
4
5
sumas
momentos
1
2
2
2
1
8
1
4
6
8
5
24
3
4
2
0
2
4
12
1,5
1
3
5
7
8
Media:
1 k
24
Y =
n i yi
= 3
=
∑
n i =1
8
n 8
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, = = 4
2 2
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto, es el siguiente M=3.
La moda corresponde al valor de mayor frecuencia que son {2,3,4}.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 17
Variable Estadística
Varianza:
k
(yi − Y) 2 n i
1,5
=
σ2 ∑=
n
i =1
Z= {1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5}
zi
ni zi ni z2i ni Ni
1
2
3
4
5
sumas
momentos
3
6
4
2
1
16
3
12
12
8
5
40
2,5
6,75 3
1,5 9
1 13
4,5 15
6,25 16
20
2,5
Media:
1 k
40
Z =
n i zi
= 2,5
=
∑
n i =1
16
n 16
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, = = 8
2 2
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto, es el siguiente M=2.
La moda corresponde al valor de mayor frecuencia que es 2.
Varianza:
k
(z i − Z) 2 n i
2
=
σ ∑= 2,5
n
i =1
Consideramos dos distribuciones con distintas medias y distinto tamaño:
n
n
m
1 n

X=
x i ⇒ ∑ x i = nX 
x
+
∑
∑ i ∑ yi nX + mY
n i 1 =i 1

=
=i 1 =i 1
X∪Y
=
=
⇒
m
n+m
n+m
1 m
Y=
yi ⇒ ∑ yi= mY 
∑

m i 1 =i 1
=
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 18
Variable Estadística
3.-De una variable estadística se sabe que los momentos respecto al origen son: m0=1,
m1=1, m2=2, m3=4 y el primer cuartil Q1=0,7. Calcular, coeficiente de asimetría,
varianza, media, mediana y tercer cuartil.
Solución:
Sesgo
k
g=
1
∑ (x
i =1
− X)3 f i
µ3 m3 − 3m 2 m1 + 2m13 4 − 3 ⋅ 2 + 2
=
=
=
=
3
3
1
σ3
σ3
2
m −m
i
(
2
1
)
0
Varianza
k
(x i − X) 2 n i
2
σ = ∑
= m 2 − m12 = 2 − 11 = 1
n
i =1
Media
1 k
X
=
∑ n i x=i m=1 1
n i =1
Mediana
Por ser simétrica coincide con la media e igual a 1.
Tercer cuartil
Por simetría con respecto a la mediana es 1,3.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 19
Variable Estadística
4.- Dada la gráfica correspondiente a un polígono de frecuencias relativas acumulativo
de una variable estadística agrupada en intervalos de una muestra de tamaño n=20. A)
Formar la tabla de distribución de frecuencias absolutas. B) Dibujar el histograma y el
polígono de frecuencias. C) Encontrar la mediana, moda y media.
Fi
1
0.85
0.45
0.15
0.15
Solución: 0
a)
20 40
60
80
CLASE
0-20
20-40
40-60
60-80
80-100
sumas
momentos
100
fi
0,15
0,45
0,85
0,85
1
Ni
ni
3
9
17
17
20
3
6
8
0
3
20
xi
mi
xini
10
30
50
70
90
30
180
400
0
270
880
44
b) Histograma
Poligono de frecuencias
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 20
Variable Estadística
Media
X
=
1 k
880
ni xi
= 44
=
∑
n i =1
20
n 20
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir, = = 10
2 2
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto hay interpolar en el intervalo (40,60).
Por consiguiente la mediana es:
n

 − N j−1  a
(10 − 9 ) 20 =
2
 =
42,5
M=
e j−1 + 
40 +
nj
8
La moda corresponde al intervalo de mayor frecuencia que es (20,40).
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 21
Variable Estadística
5.- El porcentaje de disco ocupado (en Mbytes) para distintos usuarios de una estación
de trabajo está agrupados en las cuatro clases de igual longitud siguientes:
Clases
[25.0, 32.5)
[32.5, 40.0)
[40.0, 47.5)
[47.5, 55.0]
Frecuencia
3
5
8
4
Calcular: a)El primer y tercer cuartil. b) Media, desviación típica y cuasivarianza.
Solución
Clase
xi
ni
Ni
ni x i
n i x i2
25 – 32,5
32,5 – 40
40 – 47,5
47,5 – 55
Q1 = 32,5 +
28,75
36,25
43,75
51,25
(5 − 3)7,5 = 35,5
5
822,5
X=
= 41,125
20
20
S2 =
52,1718 = 53,5096
19
Primer
Cuartil
35,5
3
5
8
4
20
3
8
16
20
Q 3 = 40 +
86,25
181,25
350
205
822,5
2479,6875
6570,3125
15312,5
10506,25
34868,75
(15 − 8)7,5 ≈ 46,56
8
34868
,
75
σ2 =
− 41,125 2 = 52,1718
20
σ = 52,1718 = 7,2230
Segundo
Desviación
Cuartil Media
típica
46,56
41,125
7,2230
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Cuasivarianza
53,5096
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 22
Variable Estadística
6.- Dada la tabla de distribución de frecuencias:
xi
6
7
8
ni
1
2
7
10
11
12
6
3
1
a. Representar en el polígono de frecuencias absolutas.
b. Calcular el valor de los cuartiles, media, mediana y varianza muestral
(cuasivarianza).
c. Representar en el diagrama de cajas. ¿Existen puntos atípicos en la muestra?
¿Por qué?
d. Un valor en la muestra de 4, ¿sería un valor atípico?, ¿por qué?
Solución:
a)
b) Q1 =8, Q3 =10, M = 9, media = 9.05, Varianza muestral o cuasivarianza 2.681.
IQR = 2
c)
d)
Un valor de 4 sería atípico por ser menor que Q1 – 1.5 IQR = 5
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 23
Variable Estadística
7.- Se tabulan los valores de los errores de cierre en nivelación obtenidos en 742
polígonos. Calcular: a) media, b) mediana, c) moda, d) coeficiente de variación.
Solución:
Valor en dm del
Nº. de
error
polígonos
0,255 – 0,285
xi
Ni
6
0,27
6
0,285 – 0,315
38
0,3
44
0,315 – 0,345
66
0,33
110
0,345 – 0,375
131
0,36
241
0,375 – 0,405
240
0,39
481
0,405 – 0,435
162
0,42
643
0,435 – 0,465
84
0,45
727
0,465 – 0,495
15
0,48
742
Sumas
ni
0,62
1,4
1,78
7,16
3,6
8,04
7,8
0,2
88,6
(x − x)
i
2
ni
0,08489288
0,3006517
0,22934733
0,10978223
0,00026521
0,15619681
0,31308905
0,12435485
1,3185801
a) Media aritmética:
k
1 k
288, 60
n
x
fi x i
=
=
= 0,38894879
∑
∑
i i
n i 1 =i 1
742
=
b) Cálculo de la mediana M
n

 742

− 241 ⋅ 0, 03
 − N i −1  a

2
2
 =

0,39125
=
M=
ei −1 + 
0,375 + 
ni
240
c) La moda corresponde al valor de mayor frecuencia que es el intervalo modal (0.375, 0.405)
cuya marca de clase es 0,39
k
(x i − X) 2 n i
2
d) Varianza
=
σ ∑= ≈ 0, 0017771
n
i =1
X
=
Desviación típica
σ=
Coeficiente de variación
σ2 =
0, 0017771 ≈ 0, 04215521
σ 0, 04215521
CV
= =
≈ 0,10838243
X 0,38894879
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 24
Variable Estadística
8.- Al finalizar el curso de “Álgebra y Geometría” se realizó un examen de tipo test a
los trescientos alumnos matriculados obteniéndose la siguiente tabla referente al
número de preguntas acertadas:
Nº de
preguntas
0 – 10 10 – 25 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70
acertadas
Nº de alumnos 10
20
60
100
70
30
10
Se pide:
a) Representa el histograma de la distribución de frecuencias anterior.
b) Hallar la media y varianza muestral.
c) ¿Cuál será el número P de preguntas acertadas tal que la mitad de los
alumnos obtengan un número de preguntas acertadas mayor que P?
d) ¿Cuál es número medio de preguntas acertadas y el número de preguntas
acertadas que más se repite.
Para la concesión de unas becas se realiza una segunda parte de examen al que sólo se
permite presentarse a los 60 alumnos con mejor nota en el test.
Se pide:
e) Hallar el número de preguntas acertadas como mínimo que se ha exigido a
un alumno para realizar la segunda parte del examen.
Una vez finalizada la segunda parte del examen se han obtenido las siguientes notas:
Nota
4
5 5.5 6 6.5 8
Nº de
8 12 15 14
6
5
alumnos
Se pide:
f) ¿Por qué no se debe agrupar los datos en intervalos como se realizó con las
notas del test?
g) Hallar la mediana, la moda y el recorrido intercuartílico.
h) De las dos distribuciones de notas en cuál de ellas la media es más
representativa.
i) ¿Que resulta más difícil, obtener 30 preguntas acertadas en el examen tipo
test u obtener un 6,5 en la segunda parte del examen.
j) Si se concede una beca a los 25 alumnos con mejor nota en la segunda parte
del examen. ¿A partir de qué nota se concederán las becas?
Solución
Nº de preguntas
Nº de
Marca
acertadas
alumnos
de clase
(e0 -e1]
0 a 10
10 a 20
20 a 30
30 a 40
40 a 50
50 a 60
60 a 70
sumas
ni
10
20
60
100
70
30
10
xi
5
15
25
35
45
55
65
300
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
nixi ni(xi-media)2
50
250
300
4500
1500
37500
3500 122500
3150 141750
1650
90750
650
42250
10800
439500
Ni
10
30
90
190
260
290
300
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 25
Variable Estadística
a)
b)
c)
media =36
Varianza muestral
=1469,89967
desviación
estándar=38,339
Se trata de calcular el P50 o la mediana
M = 30 + (150 - 90)*10/100 = 36
preguntas
d)
Cuál es número medio de preguntas
acertadas
media =36
Cuál es número de preguntas acertadas
que más se repite.
Se trata de la moda M0 = 35
e)
Debemos calcular la nota que deja por debajo al (300-60)=240 ALUMNOS
240/300 = 80%
Calculamos el percentil 80
0 = 40 + (240 - 190)*10/70 = 47,1 más de 47 preguntas
Segundo examen
Notas Nº alumnos
xi
ni
NI
nixi
ni(xi-media)2
4
8
8
32
21,1
5
12
20
60
4,7
5,5
15
35
82,5
0,2
6
14
49
84
2,0
6,5
6
55
39
4,6
8
5
60
40
28,2
sumas
60
337,5
60,8
f) No es necesario, ya que sólo
son
6 notas
distintas
media =5,63
g) Mediana=5,5; Moda=5,5;
Varianza muestral =1,03
Q1=5;Q3 =6
Recorrido intercuartilico
Desv. estandar =1,02
IQR=
1
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Variable Estadística
h)
La media es más representativa si tiene un coeficiente de variación menor.
Coef Var(1ª nota) = 1,07
Coef Var(2ª nota) = 0,18 Es más representativa.
i)
Acertar 30 ó más preguntas en la primera parte es acertar 70%
Obtener 6,5 ó más en la 2ª parte es acertar el 35%
j)
Si se concede beca a las 25 mejores notas, se obtiene beca si la nota del alumno es igual o
superior a 6
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Variable Estadística
9.- Se ha realizado una prueba de rendimiento a 20 alumnos elegidos al azar, los
resultados obtenidos sobre el rendimiento se muestran en el siguiente gráfico:
a) A partir del gráfico calcular
25
la mediana, los cuartiles y el
rango de la variable.
20
b) Formar la tabla de
15
distribución de frecuencias
absolutas
10
c) Representar el diagrama de
5
frecuencias absolutas.
d) Calcular: Los cuartiles, la
0
0
2
4
6
8
10
12
14
mediana, la moda, varianza
muestral.
e) Considerando los 20 alumnos como la población calcular los coeficientes de asimetría
y curtosis de Fisher.
Solución
a) En este caso el tamaño de la muestra es n = 20.
¿Q1? n/4 = 5, observamos que la posición 5ª corresponde al la
huella del escalón (4,6), por tanto, Q1 = 5.
¿Q3? 3n/4 = 15, observamos que la posición 15 corresponde al la
contrahuella del escalón (8, 10), por tanto, Q3 = 8.
En el caso de la mediana n/2 = 10, observamos que la posición 10ª
corresponde al la huella del escalón (6,8), por tanto, M = 7.
b) La distribución de frecuencias absolutas es:
c) Diagrama de barras
xi
2
4
6
8
10
ni
1
4
5
6
4
n = 20
Ni
1
5
10
16
20
Obsérvese que Excel representa rectángulos en lugar de barras
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 28
Variable Estadística
d) En la tabla volvemos a observar que Q1 = 5; Q3 = 8; M = 7. En el gráfico y en la tabla
podemos ver que el valor con mayor frecuencia es x = 8 luego la moda es M0 = 8.
n i (x i − x) n i (x i − x)2 n i (x i − x)3 n i (x i − x)4
xi
ni
Ni
2
4
6
8
10
1
4
5
6
4
1
2
-4,800
23,040
-110,592
530,842
5
16
-11,200
31,360
-87,808
245,862
10
30
-4,000
3,200
-2,560
2,048
16
48
7,200
8,640
10,368
12,442
20
40
12,800
40,960
131,072
419,430
136
0
107,2
-59,52
1210,624
sumas
20
xini
107.2
= 5.64 ;
19
−59.52
20
−0.24 ; Curtosis:
e)=
Sesgo: g1 =
=
g2
3
 107, 2 


20 

S2
Varianza muestral=
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1210, 624
20=
− 3 −0,89
2
 107, 2 


 20 
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 29
Variable Estadística
10.- La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400
componentes fabricados por una determinada marca. Determinar:
a) Frecuencia relativa de la sexta clase
Duración
Número de
b) Porcentaje de componentes cuya duración es
(horas)
componentes
menor que 600 horas.
[300 – 400)
14
c) Porcentaje de componentes cuya duración es
mayor o igual a 900 horas.
[400 – 500)
46
d) Porcentaje de componentes cuya duración es al
[500 – 600)
58
menos de 500 horas pero menor de 1000 horas.
e) Estimar el porcentaje de componentes con
[600 – 700)
76
duraciones de menos de 560 horas.
[700 – 800)
68
f) Estimar el porcentaje de componentes con
[800 – 900)
62
duraciones de 970 o más horas.
g) ¿Qué número de horas duran el 95% de los
[900 – 1000)
48
componentes?
22
h) Representar el histograma de frecuencias [1000 – 1100)
absolutas y el polígono de frecuencias relativas [1100 – 1200)
6
acumuladas
i) Calcular la media, moda, la desviación estándar de la muestra, Coeficiente de
variación y el coeficiente de asimetría de Pearson.
j) Suponiendo que los 400 componentes son la población total, calcular la varianza y
los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher.
Solución
a) La frecuencia relativa de la sexta clase [800 – 900) es 0,155 componentes
b) El porcentaje de componentes cuya
duración es menor que 600 horas es
29,5% componentes.
c) El porcentaje de componentes cuya
duración es mayor o igual a 900 horas es
1-0,81=0,19, es decir el 19%.
d) El porcentaje de componentes cuya
duración es al menos de 500 horas pero
menor de 1000 horas es: 93% 15%=78%.
Duración
(horas)
[300 – 400)
[400 – 500)
[500 – 600)
[600 – 700)
[700 – 800)
[800 – 900)
[900 – 1000)
[1000 – 1100)
[1100 – 1200)
Sumas
Número de
componentes
14
46
58
76
68
62
48
22
6
fi
Fi
0,035
0,115
0,145
0,19
0,17
0,155
0,12
0,055
0,015
1
0,035
0,15
0,295
0,485
0,655
0,81
0,93
0,985
1
e) Para el cálculo del porcentaje de
componentes con duraciones de menos de 560 horas, utilizamos la fórmula del cálculo de los
percentiles y se obtiene un resultado de α=0,237 y por tanto 23,7%
f) Para el cálculo del porcentaje de componentes con duración de 970 o más horas. Se realiza
como en el caso anterior y se obtiene 10,6%.
g) Nos piden el número de horas que duran el 95% de los componentes. De modo análogo a
los anteriores P95=1036.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 30
Variable Estadística
h) Histograma
Polígono de frecuencias relativas acumuladas
=
X
i) Media
1
286200
=
ni xi = 715.5 horas.
∑
400
n
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 31
Variable Estadística
El intervalo modal y la moda (su punto medio) se observa directamente de la tabla de
datos. La distribución es unimodal, el intervalo modal es [600 a 700), siendo la moda 650
horas.
La desviación estándar de la muestra=
es S
(
)
2
1
=
−
n
x
x
∑i i
n −1
14463900
= 190.4 .
399
S 190.4
=
≈ 0.26 .
X 715.5
715.5 − 650
X − Mo
≈ 0,34 es casi simétrica, un poco desviada a la
El cálculo de As ==
190.4
S
derecha respecto de la moda.
CV
=
j)
σ2
Varianza ==
(
)
2
1
14463900
= 36159.75 .
ni xi −=
x
∑
400
n
∑ n ( x − x)
El coeficiente de asimetría de Fisher
es: g1
=
3
25943910
400
n
0.09
=
=
3
190.163
σ
i
i
Nos confirma la casi simetría.
El coeficiente de apuntamiento o curtosis es:
∑ n ( x − x)
i
=
g2
4
i
2945354940
n=
−3
− 3 ≈ −0.74 , por tanto ,un poco menos apuntada que
4
1307527520
σ
la normal.
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 32
Variable Estadística
11.- En un taller de reparación de vehículos se recogen datos sobre los días que se tarda
en reparar un vehículo, y se obtiene
Días en taller
0
1
2
3
4 5 8 10 15
Nº de coches
10 12 23 10 9 5 3
2
1
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas.
b) Calcular la moda, mediana, el primer y tercer cuartil, y El percentil 96.
c) Calcular los momentos respecto del origen de orden 1, 2, 3 y 4.
d) Calcular los momentos respecto de la media de orden 1, 2, 3 y 4.
e) Calcular la media varianza, desviación estándar, Coeficiente de variación y el
coeficiente de asimetría.
f) Calcular la varianza y los coeficientes de asimetría y curtosis de Fisher de los días de
estancia en el taller los 75 vehículos.
g) ¿Existen reparaciones atípicas en cuanto a la duración en la reparación?
Solución
a) Polígono de frecuencias absolutas.
Moda=Mo=
2
µ2 =σ2= varianza =
6,71
mediana=M=
2
S2 = varianza muestral =
6,80
Q1 =
1
S = desviación estandar muestral =
2,61
Q3 =
4
CV= Coeficiente de variación =
0,94
P96 =
9
As = Coeficiente de asimetría de Pearson =
0,30
media=m1
2,77
µ3=
37,23
m2
14,4
µ4=
412,04
m3
114,37
g1 =Sesgo=
2,14
m4 1193,76
g2 =Curtosis=
En el último apartado, como Q1=1, Q3 = 4; 1.5*IQR=4.5 por tanto las barreras son:
LI = 1– 4.5 = -3.5, por tanto, no hay valores atípicos.
LS = 4 + 4.5 = 8.5, por tanto, los vehículos reparados en 10 días o más son atípicos.
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6,16
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 33
Variable Estadística
12.- En un aparcamiento cobran por cada minuto que está estacionado el vehículo 1,5
céntimos. El tiempo que los vehículos permanecen estacionados dentro un día cualquiera
se muestra en el siguiente polígono de frecuencias:
Respecto del tiempo que un vehículo está en el aparcamiento calcular:
a) Porcentaje de vehículos estacionados más de dos horas pero menos de cuatro horas.
b) Estimar el porcentaje de vehículos que estacionan menos de 100 minutos.
c) ¿Qué número de minutos está estacionado dentro el 90% de los vehículos.
d) La moda, los cuartiles primero y tercero, y la mediana.
e) La media, desviación estándar muestral y el coeficiente de asimetría de Pearson.
f) Realizar el diagrama de cajas.
g) ¿A partir de cuántos minutos el tiempo considerado será atípico?
Respecto del pago (precio por minuto estacionado) calcular:
h) El ingreso medio y el ingreso más frecuente por vehículo.
i) La empresa arrendataria del servicio está estudiando modificar la tarifa existente de
la siguiente manera: a todos los vehículos se les cobrará 5 céntimos de € por entrar y 0,1
céntimo de € por cada minuto que tengan su coche dentro del aparcamiento. Bajo esta
suposición, y con los datos de que dispone, ¿qué alternativa da un ingreso medio mayor?
Solución
Del gráfico se obtiene la siguiente distribución de frecuencia
Tiempo de
nº de vehículos
Ni
Fi · 100
estacionamiento
ni
0 - 60
40
40
2,67
60 - 120
190
230
15,33
120 - 180
450
680
45,33
180 - 240
540
1220
81,33
240 - 300
250
1470
98,00
300 - 360
30
1500
100
a) El 81.33% de los vehículos están aparcados igual o menos que 4 horas. El 15.33%
de los vehículos están aparcados igual o menos de 2 horas, por tanto, el 66% de
los vehículos están entre 2 y 4 horas.
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 34
Variable Estadística
 α

1500 − 40  60


100
 ⇒ α= 11,1%
b) 100= Pα= 60 + 
190
 90

1500 − 1220  60

100
 =
271, 2
c) P90 =
240 + 
250
d) El intervalo modal es (180, 240] minutos; moda = 210 minutos.
( 375 − 230 ) 60 ≈ 139, 3 minutos.
Q1 =
120 +
450
( 750 − 680 ) 60 ≈ 187, 7 minutos.
M=
180 +
540
(1125 − 680 ) 60 ≈ 229, 4 minutos.
Q3 =
180 +
540
e) El tiempo medio es; X= T=
=
S
=
As
(
)
2
1
n i x i −=
X
∑
n −1
1
276600
n i x=i
= 184, 4 minutos.
∑
n
1500
6000960
≈ 63, 27 minutos.
1499
X − Mo
≈ −0, 41 < 0 existe asimetría por la izquierda respecto de la moda.
S
f) Diagrama de cajas.
g) Es un estacionamiento atípico si supera:
Ls=Q3+1,5·(Q3-Q1)=377 minutos.
Respecto del pago (precio por minuto estacionado) calcular:
h) Ingreso medio = 1,5 · tiempo medio = 27,66 céntimos
El ingreso más frecuente es 1,5 · la moda del estacionamiento = 1.5 · 210 = 315
i)
Sea g la nueva variable de cobro; g=5+0,1*tiempo:
23, 44
g=
E [5 + 0,1·t ] =
5 + 0,1·184, 4 =
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Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 35
Variable Estadística
13.- Investigados los precios de ordenadores de 50 marcas distintas se han obtenido los
siguientes resultados:
700
300
500
400
500
700
400
750
700
300
500
750
300
700
1000
1250
500
750
500
750
400
500
300
500
1000
300
400
500
400
500
300
400
700
400
700
500
400
700
1000
750
700
800
750
700
750
800
700
700
1200
800
a) Determinar la distribución de precios agrupados en frecuencias absolutas.
b) Representar gráficamente el diagrama de barras y el polígono de frecuencias
acumuladas.
c) Calcular el precio medio y el más frecuente.
d) Calcular la varianza y el coeficiente de variación.
e) Obtener el sesgo y la curtosis o apuntamiento.
f) Si queremos un ordenador cuyo precio corresponda como mínimo al 10% de los
precios más caros, ¿cuál será el precio correspondiente?
g) ¿Existen precios atípicos según el diagrama de cajas?
Solución:
a)
xi
300
400
500
700
750
800
1000
1200
1250
∑
ni
Ni
6
6
8
14
10
24
11
35
7
42
3
45
3
48
1
49
1
50
50
b) Diagrama de barras
Obsérvese que Excel representa rectángulos en lugar de barras
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 36
Variable Estadística
Polígono de frecuencias absolutas acumuladas
c) Media
=
X
k
k
ni
1 k
32250
=
≈ 645
ni xi
∑
i
n i1
50
=
f x ∑=
x
∑=
n
i i
=i 1 =i 1
Moda
El valor que más repite Mo=700
d) Varianza
k
(x i − X) 2 n i 2786250
= 55725
=
σ2 ∑=
50
n
i =1
Desviación típica
σ=
σ2 =
55725 ≈ 236, 0614327
Coeficiente de variación
σ 236, 0614327
CV
= =
≈ 0,365986717
645
X
e) Sesgo
k
∑ (x
− X)3 f i
µ3
7783500
i =1
= =
≈ 0,591697609
g=
1
3
3
σ
σ
236, 06143273
Curtosis
i
k
g2 =
∑ (x
i =1
i
− X) 4 f i
− 3=
µ4
9502685625
− 3=
− 3 ≈ 0, 06017461
4
σ
236, 0614327 4
σ
f) Percentil 90
El 90% de 50 es 45 que directamente según el polígono de frecuencias acumuladas es
corresponde a los valores 800 y 1000 se toma el punto medio 900
g) Diagrama de cajas.
Calculamos los 5 valores: Mínimo, Q1, M, Q3, Máximo
Mínimo = 300
4
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 37
Variable Estadística
n 50
Q1 es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir, = = 12,5 que no
4 4
se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto es
el siguiente 400.
M = 700 es el valor central.
n 50
Q3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, 3= = 37,5 que no
4 4
se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto es
el siguiente 750.
Máximo = 1250
Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 350, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= -125; quedando como límite inferior el mínimo 300.
Q3+ 1,5 IQ= 1275 quedando como límite superior el máximo 1250.
No hay valores atípicos.
4 00 ,0 0
6 00 ,0 0
8 00 ,0 0
1 00 0 ,00
1 20 0 ,00
Precios
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 38
Variable Estadística
14.- Si en una población de 120 personas el coeficiente intelectual tiene la siguiente
distribución:
Coef. Int.
60-70
70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140
ni
2
3
25
46
35
5
3
1
a) Representar el histograma de frecuencias.
b) Representar el polígono de frecuencias acumuladas.
c) Atendiendo al coeficiente intelectual, se consideran bien dotadas al 5% de las
personas con mayor coeficiente. ¿A partir de qué coeficiente intelectual mínimo se
considerará como bien dotada a una persona de esta población?
d) ¿Qué proporción de la población es más inteligente que una persona con coeficiente
intelectual 100?
e) ¿En qué percentil está situada una persona de coeficiente intelectual 90?
f) Obtener la media, la moda, la mediana y la varianza de la población.
Solución:
a) Histograma
b)
Polígono
de
frecuencias
acumuladas
c) Percentil 95
P95 es el valor que deja a su izquierda
el 95% de la población, es decir,
n
120
95
= 95
= 114 que no se corresponde con un valor de la columna de
100
100
frecuencias absolutas acumuladas y por tanto hay que interpolar en el intervalo
(110,120).
( 0,95n − N j−1 ) a =
(114 − 111)10 =
116
P95 =
e j−1 +
110 +
nj
5
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 39
Variable Estadística
d) Según la tabla de distribución de frecuencias acumuladas para 100 le corresponde
76 personas del total de 120, luego 44 de 120 es la proporción de personas con CI
superior a 100: 36,67%
e) Existen 30 personas con el CI menor o igual a 90 del total de 120, luego es la cuarta
parte el percentil 25 o primer cuartil.
f)
Intervalo ni
60-70
70-80
80-90
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
∑
Ni
xini
n i (x i − x) 2
2
3
130
2016,1250
3
5
225
1419,1875
25
30
2125
3451,5625
46
76
4370
140,8750
35 111
3675
2382,1875
5 116
575
1665,3125
3 119
375
2394,1875
1 120
135
1463,0625
11610
14932,5
120
Media
=
X
k
k
ni
1 k
11610
=
ni xi =
∑
i
n i1
120
=
f x ∑=
x
∑=
n
i i
=i 1 =i 1
96, 75
Moda
El intervalo modal es (90,100) se toma el valor 95
Mediana
Cálculo de la mediana M
n

 120

− 30  ⋅10
 − N i −1  a

2
2
 =

96,52
=
M=
ei −1 + 
90 + 
ni
46
Varianza
k
(x i − X) 2 n i 14932,5
= 124, 4375
=
σ2 ∑=
120
n
i =1
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 40
Variable Estadística
15.- Los siguientes datos corresponden a las cotas taquimétricas iniciales de un terreno
en orden creciente:
VÉRTICES
Cota inicial (xi)
1
102,3
2
101,98
3
101,37
4
101,22
5
101,98
6
101,8
7
101,48
8
101,22
9
101,87
10
100,78
11
101,3
12
101,03
13
100,42
14
100,42
15
100
A.- Construir un sumario estadístico que incluya las frecuencias: absolutas, relativas,
absolutas acumuladas y relativas acumuladas.
B.- Representar los datos mediante un polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
Valor Fórmula empleada o método de cálculo
Percentil 10
Media
Varianza
Desviación típica
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría de Fisher
Coeficiente de apuntamiento
D.- Si se consideran el 10% de los vértices que tienen mayor cota. ¿Cuál es la cota
mínima?
E.- Representa un diagrama de cajas y efectúa el estudio de posibles puntos atípicos.
Solución:
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 41
Variable Estadística
A.- Construir un sumario estadístico que
incluya las frecuencias: absolutas, relativas,
absolutas acumuladas y relativas acumuladas. B- Representar los datos mediante un polígono
de frecuencias absolutas acumuladas.
xi
ni
fi Ni Fi
100
1 0,0667
1
0,0667
100,42
2 0,1333
3
0,2
100,78
1 0,0667
4
0,2667
101,03
1 0,0667
5
0,3333
101,22
2 0,1333
7
0,4667
101,3
1 0,0667
8
0,5333
101,37
101,48
1 0,0667
9
0,6
1 0,0667
10
0,6667
101,8
1 0,0667
11
0,7333
101,87
1 0,0667
12
0,8
101,98
2 0,1333
14
0,9333
102,3
1 0,0667
15
1
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
Valor
Fórmula empleada o método de
cálculo
Percentil 10
Media
100,42
10% de 15=1,5 <2=N2
101,278
X = ∑ fi x i
k
i =1
Varianza
k
σ2 =∑
0,40830933
i =1
Desviación típica
Coeficiente de variación
(x i − X) 2 n i
n
0,638990871
σ=
0,006309276
CV =
σ2
σ
X
k
Coeficiente de asimetría de
Fisher
-0,35048162
=
g1
∑ (x
− X)3 f i
µ3
i =1
=
3
σ
σ3
k
Coeficiente de apuntamiento
-0,76376054
g2 =
∑ (x
i =1
i
i
− X) 4 f i
σ
4
− 3=
µ4
−3
σ4
D.- Si se consideran el 10% de los vértices que tienen mayor cota. ¿Cuál es la cota mínima?
90% de 15=13,5 <14=N11 que corresponde a 101,98
E.- Representa un diagrama de cajas y efectúa el estudio de posibles puntos atípicos.
Calculamos los 5 valores: Mínimo, Q1, M, Q3, Máximo
Mínimo = 100
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 42
Variable Estadística
n 15
Q1 es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir, = = 3, 75 que no
4 4
se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto es
el siguiente 100,78.
M = 101,3 es el valor central.
n 15
Q3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, 3 = = 11, 25 que
4 4
no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto es el siguiente 101,87.
Máximo = 102,3
Observando el rango intercuartílico IQ = Q3-Q1= 1,09, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= 99,145; quedando como límite inferior el mínimo 100.
Q3+ 1,5 IQ= 103,505 quedando como límite superior el máximo 102,3.
No hay valores atípicos.
1 00 ,0 0
1 00 ,5 0
1 01 ,0 0
1 01 ,5 0
1 02 ,0 0
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 43
Variable Estadística
16.- Se ha tomado una fotografía aérea de una cierta escena; dentro de ella se ha
seleccionado una parcela de la que se han tomado 28 muestras de los niveles de gris
(pixeles) correspondientes a otros tantos puntos, obteniéndose los siguientes
valores: 41, 39, 43, 40, 42, 44, 38, 42, 40, 46, 45, 44, 40, 43, 40, 42, 45, 45, 46, 39, 41,
39, 39, 43, 42, 47, 46, 40. Se quiere hacer un estudio de estos datos: agrupándolos
en intervalos de amplitud dos:
A.- Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias absolutas:
B.- Dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
Valor
Fórmula empleada o
método de cálculo
Mediana
Percentil Quinto
Coeficiente de variación
Coeficiente de asimetría
de Fisher
Curtosis
Solución:
A.- Dibujar el histograma:
y el polígono de frecuencias absolutas:
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Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
44
Variable Estadística
B.- Dibujar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
C.- Calcular el valor y explica el método empleado de los siguientes estadísticos.
Valor
Fórmula empleada o método
de cálculo
n

 − N j−1  a
42,5714286
2
Mediana

=
M e j−1 + 
nj
Percentil Quinto
Coeficiente de variación
 n

− N j−1  a
5
100

=
P5 e j−1 + 
nj
38,56
0,06093936
σ
CV =
X
k
Coeficiente de asimetría
de Fisher
0,16861377
=
g1
∑ (x
− X)3 f i
µ3
i =1
=
3
σ
σ3
i
k
-1,05661199
∑ (x
− X) 4 f i
µ4
−3
σ
σ4
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir,
n 28
= = 14 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas
2 2
acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo [42,44).
n

 − N j−1  a
(14 − 12 ) 2 ≈
2
 =
Por consiguiente la mediana es
M=
e j−1 + 
42 +
nj
7
Curtosis
g2 =
i =1
i
4
− 3=
42,5714286
El percentil 5º es el valor que deja a su izquierda el 5% de la población, es decir,
n
28 7
que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias
5 = =
100 20 5
absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo [42,44).
 n

 − N j−1  a
(1, 4 − 0 ) 2 ≈ 38,56
20
 =
Por consiguiente la mediana es P5 =
e j−1 + 
38 +
nj
5
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
45
Variable Estadística
17.- La siguiente tabla recoge los salarios anuales en miles de euros de 20
trabajadores:
20 60 19 10 40 16 16 16 10 19 19 20 20 40 19 16 10 16 70 16
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas
b) Proporción de trabajadores que obtiene un salario superior o igual a 19000.
c) ¿Qué percentil le corresponde a un trabajador con un salario de 20000?
d) Coeficiente de Variación.
e) Diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?
Solución:
xi
10
16
19
20
40
60
70
ni
Ni
3
3
6
9
4
13
3
16
2
18
1
19
1
20
a)
b) Proporcíon de trabajadores que obtienen un salario superior o igual a 19.
4+3+2+1+1=11 sobre el total de 20, resulta 11/20
c) ¿Qué percentil le corresponde a un trabajador con un salario de 20 mil?
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
46
Variable Estadística
La frecuencia relativa correspondiente al valor 20 ó menos es 16/20
aproximadamente 0,8, luego es el percentil 80
d) Media
Xi
ni
10
16
19
20
40
60
70
3
xini
30
96
76
60
80
60
70
6
4
3
2
1
1
∑
20
(x − x)
2
i
ni
555
347
85
39
538
1325
2153
5041
ni
1
472
=
=
≈ 23, 6
X ∑ f=
xi
n=
∑
∑
i xi
i xi
n i1
20
=i 1 =i 1 n =
k
k
472
k
Varianza
=
σ2
(x i − X) 2 n i 5041
≈ 252,04
=
∑
20
n
i =1
k
Desviación típica
σ=
Coeficiente de Variación
=
CV
σ2 =
252, 04 ≈ 15,8757677
σ 15,8757677
=
≈ 0, 672702021
23, 6
X
e) Diagrama de cajas: Mínimo=10, Q1=16, M=19, Q3=20, Máximo=16
Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 20-16=4, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= 10; siendo el límite inferior y no existen valores atípicos.
Q3+ 1,5 IQ= 24 siendo el límite superior y existen valores atípicos. ¿Hay valores
atípicos? 40, 60 y 70.
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Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
47
Variable Estadística
18.- Dada la distribución de frecuencias:
Intervalo
ni
0-500
3
500-1000
3
1000-1500
8
1500-2000
5
2000-2500
4
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
b) El primer cuartil.
c) Coeficiente de apuntamiento o Curtosis. Interpretación
Solución:
xini
2
ni
(x − x) n
3
xi
ni
0-500
250
3
3
750
500-1000
750
3
6
2250
1033553,875236
356077871005,321000
1000-1500
1250
8
14 10000
60491,493384
457402596,474428
1500-2000
1750
5
19
8750
853024,574669
145530184997,909000
2000-2500
2250
4
23
9000
3334593,572779 2779878573904,470000
30750
8826086,956522 7469589874250,020000
∑
Ni
(x − x)
Intervalo
23
i
i
i
3544423,440454 4187645841745,850000
MOMENTOS
Media
1337
383742,9112
3,24765E+11
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
Unidad Docente de Matemáticas de la ETSITGC
Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
48
Variable Estadística
b) El primer cuartil
n 23
Es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir, = = 5, 75 que
4 4
no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y
por tanto hay interpolar en el intervalo (500,1000).
Por consiguiente la mediana es:
n

 − N j−1  a
( 5, 75 − 3) 500 =
4
 =
958,3
M=
e j−1 + 
500 +
nj
3
c) Curtosis
k
∑ (x
− X) 4 f i
µ4
3, 24765 ⋅10-11
−
3
=
− 3 ≈ −0, 794595841
σ4
σ4
383742,91122
Es menos apuntada que la distribución Normal de la misma media y la misma
g2 =
i =1
i
− 3=
desviación típica
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Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
49
Variable Estadística
19.- Se toman 20 medidas a un grupo de 4 o más satélites en intervalos de 15 seg.
En la tabla adjunta se reflejan las medidas de las variables GP:
4,7 4,7 4,8 4,9 5 5 5 5 5,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5,2 5,2 5,2 5,3 5,3 5,3 5,3
Se pide:
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
b) ¿Qué percentil le corresponde a un valor de GP de 5?
c) La moda.
d) La varianza muestral o cuasivarianza.
e) Realizar el diagrama de cajas. ¿Hay valores atípicos?
Solución:
a) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas.
xi
ni
4,7
4,8
4,9
5
5,1
5,2
5,3
2
1
1
4
5
3
4
Ni
2
3
4
8
13
16
20
b) La frecuencia relativa correspondiente al valor 5 ó menos es 8/20
aproximadamente 0,4, luego es el percentil 40
c) La moda.
Moda es el valor que más se repite que es la calificación de 5,1.
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Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
50
Variable Estadística
d) La varianza muestral o cuasivarianza.
xi
ni
4,7
4,8
4,9
5
5,1
5,2
5,3
2
xini
1
1
4
5
3
4
∑
20
Momentos
9,4
4,8
4,9
20
25,5
15,6
21,2
0,2738
0,0729
0,0289
0,0196
0,0045
0,0507
0,2116
101,4
5,07
0,662
0,0331
Media
ni
1 k
101, 4
=
=
≈ 5, 07
x
ni xi
∑
∑
i
ni1
20
=i 1 =i 1 n =
=
X
k
fi x i
∑=
k
Varianza
k
(x i − X) 2 n i 0, 662
≈ 0,034842105
=
∑
19
n −1
i =1
e) Realizar el diagrama de cajas.
=
S2
Mínimo=4,7, Q1=5, M=5,1, Q3=5,2, Máximo=5,3
Primer cuartil igual a 5, el primer valor que excede al 0,25 de frecuencia relativa
acumulada.
Segundo cuartil o mediana igual a 5,1, el primer valor que excede al 0,5 de
frecuencia relativa acumulada.
Tercer cuartil igual a 5,2, el primer valor que excede al 0,75 de frecuencia relativa
acumulada.
Observando el rango intercuartílico IQR = Q3-Q1= 5,2-5=0,2, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= 4,7; siendo el límite inferior y no existen valores atípicos.
Q3+ 1,5 IQ= 5,5 no existen valores atípicos y siendo el límite superior 5,3
¿Hay valores atípicos? No hay.
4 ,80
5 ,00
5 ,20
GP
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Asignatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA
51
Variable Estadística
20.- Las calificaciones obtenidas por alumnos de Matemáticas en un examen
fueron las siguientes:
Nota 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8 8 – 10
ni
10
7
69
41
3
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas.
b) ¿Cuál es el valor de la mediana?
c) ¿En qué percentil está situada una persona con una calificación de 5?
d) Interpretar el Coeficiente de asimetria de Fisher.
Solución:
a)
Nota 0 – 2 2 – 4 4 – 6 6 – 8
ni
10
7
69
41
Ni
10
17
86
127
8 – 10
3
3
b) La mediana.
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir,
n 130
= = 65 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias
2
2
absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (4,6).
Por consiguiente la mediana es:
n

 − N j−1  a
( 65 − 17 ) 2 =
2
 =
5,391304348
M=
e j−1 + 
4+
nj
69
c) La frecuencia relativa correspondiente al valor 5 será
aproximadamente, 0,39615, luego es aproximadamente el percentil 40
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(17+69/2)/130
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52
Variable Estadística
xi
ni
xini
1
10
10
3
7
21
5
69
345
7
41
287
9
3
27
Sumas
130
690
(x − x)
(x − x) n
3
2
i
ni
i
i
186
-799
37,27811 -86,02640
6,53254
-2,01001
117,42012 198,71097
40,89941 151,01320
387,69231 -537,65680
Media
ni
1 k
690
=
≈ 5,308
x
n=
∑
∑
i
i xi
ni1
130
=i 1 =i 1 n =
=
X
k
∑ f=
i xi
k
Varianza
=
σ2
k
(x i − X) 2 n i
387, 692308
≈ 2,982248521
130
∑=
n
i =1
Sesgo
k
=
g1
µ3
=
σ3
∑ (x − X )
i =1
i
σ3
3
fi
=
(
−537, 656805
130
−0,803056398
=
3
2,982248521
)
Asimétrica por la izquierda.
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53
Variable Estadística
21.- La siguiente tabla recoge las calificaciones de una prueba tipo test de Cálculo:
4 2 5 5 7 4 8 4 5 5 6 9 5 2 4 7 7 4 2 7 5 1 6 5 5 3 1 6 4 1 5 0 5 7 5 9 6 2 4
Se pide:
a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.
b) El Percentil 90.
c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?
d) La moda y los cuartiles.
e) La media, desviación estándar o desviación típica.
f) Realizar el diagrama de cajas.
g) ¿Hay valores atípicos?
Dada la distribución de frecuencias de la variable tiempo (segundos) utilizado en la
realización del test:
Intervalo
ni
400-500
3
500-600
3
600-700
8
700-800
5
800-900
4
900-1000
5
1000-1100
11
Se pide:
h) El tiempo más frecuente.
i) La mediana.
j) Sesgo
k) Curtosis
Solución:
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fi
ni
Ni
1
1
0,02564103 0,02564103
3
4
0,07692308
4
8
0,1025641 0,20512821
1
9
0,02564103 0,23076923
7
16
0,17948718 0,41025641
11
27
0,28205128 0,69230769
4
31
0,1025641 0,79487179
5
36
0,12820513 0,92307692
1
37
0,02564103 0,94871795
2
39
0,05128205
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Fi
0,1025641
1
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54
Variable Estadística
a) Porcentaje de alumnos que obtiene una calificación superior o igual a 6.
4+5+1+2=12 sobre el total de 39, resulta 12/39%
b) El Percentil 90.
El 90% de 39 es igual a 35,1 y en la columna de frecuencias absolutas acumuladas
el primer valor que lo excede es 36 que correspnde al 7 = P90
c) ¿Qué percentil le corresponde a un alumno que tiene una calificación de 8?
La frecuencia relativa correspondiente al valor 8 ó menos es 37/39
aproximadamente 0,94871, luego es el percentil 94,87
d) La moda y los cuartiles.
Moda es el valor que más se repite que es la calificación de 5.
Primer cuartil igual a 4, el primer valor que excede al 0,25 de frecuencia relativa
acumulada.
Segundo cuartil o mediana igual a 5, el primer valor que excede al 0,5 de
frecuencia relativa acumulada.
Tercer cuartil igual a 6, el primer valor que excede al 0,75 de frecuencia relativa
acumulada.
e) La media, desviación estándar o desviación típica.
xi2ni
xi
ni
xini
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
0
3
3
3
4
8
16
1
3
9
7
28
112
11
55
275
4
24
144
5
35
245
1
8
64
2
18
162
182
1030
4,66666667 26,4102564
4,63247863
Media
=
X
k
k
ni
x ∑ =
x
∑ f=
n
i i
=i 1 =i 1
1 k
182
≈ 4, 67
n=
∑
i xi
n
39
i
=i 1
Varianza
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55
Variable Estadística
=
σ2
k
(x i − X) n i
2
∑=
n
∑x n
2
i
i
n
i =1
i
2
−X =
1030
− 4, 666666667 2 ≈ 4,63247863
39
Desviación típica
σ = σ2 = 4, 63247863 ≈ 2,15231936
f) Realizar el diagrama de cajas.
Mínimo=0, Q1=4, M=5, Q3=6, Máximo=9
Observando el rango intercuartílico IQ = Q3-Q1= 6-4=2, tenemos como límites
Q1- 1,5 IQ= 1; siendo el límite inferior y existen valores atípicos.
Q3+ 1,5 IQ= 9 siendo el límite superior y no existen valores atípicos.
g) ¿Hay valores atípicos? El cero.

0 ,00
2 ,00
4 ,00
6 ,00
8 ,00
notas test
(x − x)
2
Intervalo
ni
Ni
xi
xini
400-500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000
1000-1100
3
3
8
5
4
5
11
3
450
1350
392130,2
6
550
1650
205207,1
14
650
5200
208757,4
19
750
3750
18934,91
23
850
3400
5917,16
28
950
4750
95857,99
39
1050
11550
31650
811,54
625503
1552308
39802,76
i
ni
h) El tiempo más frecuente.
La moda está en el intervalo (1000,1100)
i) La mediana.
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56
Variable Estadística
La mediana es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir,
n 39
= = 19,5 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias
2 2
absolutas acumuladas y por tanto hay interpolar en el intervalo (800,900).
Por consiguiente la mediana es:
n

 − N j−1  a
(19,5 − 19 )100 =
2
 =
812,5
M=
e j−1 + 
800 +
nj
4
j) Sesgo
(x − x)
xi
2
(x − x) n (x − x)
3
ni
i
i
i
4
ni
450
392130,2
-141770141
5,126E+10
550
205207,1 -53669549,4
1,404E+10
650
208757,4 -33722348,7
5,447E+09
750
18934,91 -1165225,31
71706173
850
5917,16
227583,068
8753194,9
950
95857,99
13272644,5
1,838E+09
625503 149158398
1552308 -67668639,1
39802,76 -1735093,31
199,5063 -0,2185008
3,557E+10
1,082E+11
2,775E+09
-1,2483737
1050
k
=
g1
i
µ3
=
σ3
∑ (x − X )
i =1
i
σ3
3
fi
=
−67668639,1
39
−1, 2483737
=
3
 1552308 


39 

k) Curtosis
k
g2 =
∑ (x
i =1
i
− X) 4 f i
σ4
− 3=
µ4
1, 082 ⋅10-11
−
=
− 3 ≈ 0, 702820924
3
σ4
39802, 762
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57
Variable Estadística
22.- Se desea estudiar la altura de un grupo de alumnos. Las alturas expresadas en
centímetros fueron:
149 166 168 170 172 174 180 164 166
168
168 178 178 182 164 166 168 170 176
189
Construir un diagrama de caja. ¿Hay valores atípicos?
Solución
Primeramente ordenamos los datos y observamos las frecuencias absolutas
xi
ni
Ni
149
1
1
164
2
3
166
168
170
172
174
176
178
180
182
189
3
4
2
1
1
1
6
10
12
13
14
15
2
1
1
1
17
18
19
20
Cuartiles
¿Q1? N/4 = 20/4=5 ⇒ Q1 = 166;
Mediana ¿Q2 = M? N/2 =20/2=10 ⇒ Q2 = (168+17)/2=169;
¿Q3? 3N/4 = 15 ⇒ Q3 = (176+178)/2=177
El rango intercuartílico RIQ=Q3-Q1=11
Límite inferior= Q1-1.5*RIQ=149,5
Límite superior= Q3+1.5*RIQ=193,5
El límite inferior es 149,5 y existen un valor menor que es 149 por lo tanto EXISTE UN
VALOR ATIPICO.
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58
Variable Estadística
23.- Se ha medido dieciséis veces la longitud en metros que separa dos puntos, Los
resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
13,404 13,443 13,445 13,447 13,449 13,450 13,453 13,455
13,457 13,460 13,460 13,465 13,455 13,453 13,445 13,455
Calcular la moda, la mediana, los cuartiles y el percentil 90. Representar el
diagrama de caja y estudiar la existencia de puntos atípicos.
Solución:
Para realizar este apartado, ordenamos los datos utilizando la tabla de distribución de
frecuencias absolutas acumuladas.
La moda es el valor de máxima frecuencia. La distancia 13.455 se repite tres veces y es
la distancia de mayor frecuencia, por tanto
xi
Ni
M0=13.455 metros s
13.404
1
n
13.443
2
Por ser es un valor entero, la mediana (M) es el valor medio
2
13.445
4
n
n
13.447
5
de las observaciones que ocupen los lugares = 8 y + 1 =
9,
2
2
13.449
6
de modo que
13.450
7
13.453 + 13.453
13,453
9
M=
=13.453 metros s
13.455
12
2
13.457
13
n
Ya que
es un valor entero, el primer cuartil Q1 es el valor
13.460
15
4
13.465
16
medio de los valores situados entre el cuarto y el quinto dato,
n
n
= 4 y +1 =
5 , así pues,
4
4
13.445 + 13.447
Q1 = P25 =
= 13.446 metros s
2
El 75 % del total de las observaciones es 12, el tercer cuartil Q3 estará entre los valores
n
n
que ocupan los lugares 3 = 12 y 3 + 1 =
13 , es decir,
4
4
13.455 + 13.457
Q3= P75 =
= 13.456 metros s
2
Los nueve décimos de 16 es 14.4, por tanto el percentil 90 ocupará el lugar 15,
D9=P90 = 13,460 metros s
Calculamos los valores necesarios para la representación del diagrama.
Los valores máximo y mínimo de la variable son xmax=13.465 y xmin=13.404,
respectivamente.
El rango intercuartílico es IQR=13.456-13.446=0.01 y el valor de 1.5 veces el rango
intercuartílico es 0.015, por tanto las barreras son:
LI = máx [xmin, Q1-1.5*IQR] = máx [13.404, 13.431] = 13.431,
así pues, representamos la barrera 13.431 y la observación xmin=13,404 que además es
un valor atípico por ser menor que el valor de la barrera.
LS = mín [xmáx, Q3+1.5*IQR] =mín [13.465, 13.471] = 13.465.
En este caso representamos el valor mínimo de la variable (13.465) por ser un valor
menor que el de la barrera (13.471).
Con los valores anteriores representamos el diagrama de caja.
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59
Variable Estadística
Una interpretación de este gráfico puede ser el siguiente:
Observamos que las medidas de posición central media y mediana son muy similares,
pero la media es menor que la mediana y, por tanto, existe asimetría negativa; hecho
que también se evidencia por estar la mediana más próxima al lateral derecho de la caja
que al borde izquierdo.
La dispersión de los datos es pequeña como evidencia la anchura de la caja, pero el
recorrido es elevado debido al dato 13.404 que representa un posible punto atípico.
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60
Variable Estadística
24.- Los siguientes valores corresponden a la temperatura máxima diaria (ºF) de
36 días, obtenidos a las 14 horas en una cierta estación meteorológica.
84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 72, 75, 76,
73, 70, 63, 70, 78, 52, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 58, 57, 21.
a) Calcular: media, desviación típica y el coeficiente de variación.
b) Estudiar la existencia de datos atípicos. Si existe algún valor atípico omitir,
dicho valor y calcular de nuevo el apartado a).
c) Con los datos de los apartados a y b construir un gráfico con el diagrama de
caja, de ambos apartados.
Solución:
a) Para el cálculo utilizaremos la tabla
xi
21
40
45
49
52
53
57
58
60
61
63
66
67
68
69
70
72
73
75
76
78
79
80
81
83
84
ni
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
4
1
1
4
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
Ni n i x i
1
21
2
40
3
45
4
49
5
52
6
53
7
57
9 116
10 60
12 122
13 63
14 66
18 268
19 68
20 69
24 280
25 72
26 73
28 150
30 152
31 78
32 79
33 80
34 81
35 83
36 84
2361
n i x i2
441
1600
2025
2401
2704
2809
3249
6728
3600
7442
3969
4356
17956
4624
4761
19600
5184
5329
11250
11552
6084
6241
6400
6561
6889
7056
160811
Media: X =
2361
≈ 65,58
36
Varianza de la población:
2
160811
σ2 =
−X ≈ 165,80
36
Desviación típica de la población:
σ = σ2 = 165,8 ≈ 12,88
Coeficiente de variación:
σ 12,88
≈ 0,1964
=
X 65,58
n
n
Primer cuartil: = 9 y + 1=10 ⇒
4
4
CV
=
=
Q1
58 + 60
= 59
2
Tercer cuartil:
=
Q3
3
3
n = 27 y n + 1= 28 ⇒
4
4
75 + 75
= 75
2
2
2
n = 18 y n + 1 = 19 ⇒
4
4
67 + 68
=
M = 67.5 .
2
Mediana:
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61
Variable Estadística
b) El rango intercuatílico y las barreras del gráfico son:
LS =mín[ xmáx, Q3+1,5·16]=mín[84, 99]=84.
IQR=75-59=16
LI =máx[ xmin, Q1-1,5·16]=máx[21, 35]=35.
El valor x=21 ºF es una temperatura atípica del conjunto de datos.
c) Si omitimos la observación 21ºF y procedemos de forma análoga al apartado a) se tiene:
2340
Media: X =
= 66,86
35
2
160370
Varianza de la población: σ2 =
− X = 112,12
35
Desviación típica de la población: σ =
Coeficiente de variación: CV
=
σ2 = 10,59
σ 10,59
≈ 0,1584
=
X 66,86
n
Primer cuartil:= 8, 75 ⇒ Q1 = 60
4
3
Tercer cuartil:=
n 26, 25 ⇒ Q3 = 75
4
2
Mediana: =
n 17,5 ⇒ M = 68
4
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
Los valores del rango intercuartílco y de las barreras son:
Rango intercuartílico: IQR=75-59=15.
LI =máx[ xmin, Q1-1,5·16] = máx[40, 37.5]=40.
LS =mín[ xmáx, Q3+1,5·15] = mín[84, 97.5] = 84.
Con los datos calculados anteriormente,
obtenemos el diagrama de cajas de ambas
series de datos.
Realizado el diagrama de cajas en ambos
casos, una lectura de este gráfico sería que
la dispersión y la asimetría son mayores
en el apartado a) que en el apartado b). En
a) la caja es algo más ancha y, por tanto,
mayor la dispersión. También observamos
que en b) la media está más próxima a la
mediana que en a) y por ello es más
simétrica y más significativa en b) al ser
20
60
80
100
40
menor la dispersión.
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62
Variable Estadística
25.- Los valores de 50 mediciones realizadas con un distanciometro con apreciación en
milímetros han sido agrupados en 6 intervalos según la tabla siguiente:
ei-1 – ei
ni
21.150 – 21.155
21.155 – 21.160
21.160 – 21.165
4
6
11
21.165 – 21.170
13
21.170 – 21.175
9
21.175 – 21.180
7
Total
50
a) Porcentaje de mediciones cuya distancia es mayor o igual que 21.160.
b) Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas y el histograma de
frecuencias absolutas.
c) Calcular, los cuartiles y la mediana.
d) Estimar el porcentaje de mediciones cuya distancia sea menos de 21.1725.
e) ¿Qué distancia tienen como máximo el 95% de las mediciones?
f) Calcular la media, moda y varianza.
Solución:
a) Porcentaje de mediciones cuya distancia es mayor o igual que 21.160 mayor que
21.160 son 50-10 =40, por tanto 40*100/50 = 80%
b) Polígono de frecuencias absolutas acumuladas
Histograma
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63
Variable Estadística
c)
Cuartil primero: posición 50/4=12.5
Q1=21,16+(12,5-10)*0,005/11= 21,16113636
Mediana posición 50/2=25
M = Q2 =21,165+(25-21)*0,005/13= 21,16653846
Cuartil tercero: posición 3 50/4=37.5
Q3= =21,17+(37,5-34)*0,005/9= 21,1719
d) Por ser el problema inverso se puede plantear
21.1725=21.170+((a*50/100-34)*0.005)/9 despejando se obtiene a=77. Es decir, percentil
77.
e) Percentil 95
posición 95*50/100=47.5
P95 =21,175+(47,5-43)*0,005/7= 21,1782143
f)
ei-1
ei
ni
xi
Ni
ni ·xi
ni (xi-media)2
21,150
0
21,150
21,155
4
21,1525
4
84,61
0,00076176
21,155
21,160
6
21,1575
10
126,945
0,00046464
21,160
21,165
11
21,1625
21
232,7875
0,00015884
21,165
21,170
13
21,1675
34
275,1775
1,872E-05
21,170
21,175
9
21,1725
43
190,5525
0,00034596
21,175
21,18
7
21,1775
50 148,2425
0,00087808
Totales
50
1058,315
0,002628
Media
k
k
ni
1 k
1058,315
=
=
=
≈ 21,1663
X ∑
f i x i ∑=
xi
ni xi
∑
n i1
50
=i 1 =i 1 n =
El intervalo modal es de 21.165 a 21.170.
Varianza
k
(x i − X) 2 n i 0,002628
2
=
σ ∑
=
≈ 5,256 10-5
n
50
i =1
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64
Variable Estadística
26.- Del conjunto de redes topográficas que intervienen en un trabajo topográfico
estamos interesados en estudiar el número de vértices geodésicos que constituyen cada
red topográfica. Para ello, seleccionamos 30 redes topográficas, obteniéndose la
siguiente tabla:
Nº de vértices en las 30 redes
1 2 3 4 5 6
xi
Frecuencia absoluta ni
3
8
9
6
3
1
Respecto del número de vértices geodésicos que constituyen la red (característica a
estudiar) Calcular:
a) Representar el polígono de frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias
acumuladas.
b) Hallar los cuartiles, la mediana y los percentiles 5 y 10.
c) ¿Qué número de vértices tienen el 80% de las redes?
d) Calcular la media, moda y varianza.
e) Representar el diagrama de caja.
Solución:
a) Polígono de frecuencias absolutas
b) Cuartil primero: posición 30/4 = 7.5
Q1 =2
Mediana: posición 30/2 = 15
M = Q2 =3
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65
Variable Estadística
Cuartil tercero: posición 3*30/4 = 22.5
Q3 =4
Percentil 5
posición 5*30/100 = 1.5
P5 =1
Percentil 10
posición 10*30/100 = 3. Obsérvese que se corresponde con los valores 1 y 2 tomamos
P10 =1.5
c) Percentil 80
posición 80*30/100 = 24
P80 =4
d)
xi
1
2
3
4
5
6
sumatorio
Media
Ni
3
11
20
26
29
30
n i · xi
3
16
27
24
15
6
91
ni (xi -media)2
12,40
8,54
0,01
5,61
11,60
8,80
46,97
ni
1 k
91
=
≈ 3,03
x
n i x=
∑
∑
i
i
n i1
30
=i 1 =i 1 n =
La moda es 3.
Varianza
k
(x − X) 2 n i 46,97
=
σ2 ∑ i
=
≈ 1.57
n
30
i =1
e)
=
X
k
ni
3
8
9
6
3
1
30
∑ fi x=i
k
No hay valores atípicos
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66
Variable Estadística
27.- Se quiere analiza el resultado de una secuencia de cifras elegidas, al azar,
141592653589793238462433832795028841971693993751058209749445923078164062862
089986280348253421170679, todas las cifras han sido elegidas al azar mediante
extracciones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9.
La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias absolutas:
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ni
8
8
12
11
10
8
9
8
12
14
Se pide:
a) Moda
b) Media
c) Diagrama de cajas, ¿hay valores atípicos?
d) Coeficiente de asimetría
Solución:
a)
La Moda es igual a 9 puesto que es el valor correspondiente a la máxima frecuencia 14
b)
Media
ni
1 k
477
=
≈ 4, 77
x
n=
∑
∑
i
i xi
ni1
100
=i 1 =i 1 n =
=
X
k
∑ f=
i xi
k
c)
Dibujar el diagrama de cajas.
Calculamos los 5 valores: Mínimo, Q1, M, Q3, Máximo
Mínimo = 0
xi
ni
Ni
0
8
8
1
8
16
2
12
28
3
11
39
4
10
49
5
8
57
6
9
66
7
8
74
8
12
86
9
14
100
n 100
Q1 es el valor que deja a su izquierda el 25% de la población, es decir,= = 25 que no
4
4
se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto
Q1=2
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67
Variable Estadística
n 100
Q2=M es el valor que deja a su izquierda el 50% de la población, es decir,= = 50 que
2
2
no se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por
tanto M=5
3n 300
Q3 es el valor que deja a su izquierda el 75% de la población, es decir, = = 75 que no
4
4
se corresponde con un valor de la columna de frecuencias absolutas acumuladas y por tanto
Q3=8
Observando el rango intercuartílico IQ = Q3-Q1= 8-2=6, tenemos como límites
LI=Q1- 1,5 IQ= -7; quedando como límite inferior el mínimo 0.
LS=Q3+ 1,5 IQ= 17quedando como límite superior el máximo 9 y no existen valores
atípicos.
d)
Coeficiente de asimetría o Sesgo:
µ3
g1 =
=
σ3 


∑(x − X )
3
i
∑(x − X )
i
2
fi
=
3

fi 

−0, 479634
−0, 019094103 Asimétrica por la
=
3
( 2,92866864 )
izquierda.
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68
Diagrama de frecuencias acumuladas o diagrama de barras acumulativo
Representamos en el eje de abscisas los distintos valores de la variable estadística.
Levantamos sobre cada uno de ellos un perpendicular cuya longitud será la
frecuencia (absoluta o relativa) acumulada correspondiente a ese valor. De esta
forma aparece un diagrama de barras creciente. Trazando segmentos horizontales
de cada extremo de barra a cortar la barra situada a su derecha se obtiene el
diagrama de frecuencias acumuladas.
40
35
Ni
30
25
20
15
10
5
0
xi
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58
Histograma
En un histograma se representan las frecuencias de una variable estadística
mediante áreas. De tal forma que un histograma es un conjunto de rectángulos que
tienen como base los intervalos de clase y cuya superficie son las frecuencias
(absolutas o relativas). Por tanto, las alturas son proporcionales a las frecuencias, y
será el cociente entre la frecuencia y la amplitud del intervalo.
Si algún intervalo es de distinta amplitud, el cálculo de su altura (hi) se efectuará
hallando el cociente ni/ai o fi/ai, donde ai representa la amplitud del intervalo.
fi
ni
ai
ai
fi
ni
ei-1
ei
ei-1
ei
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94
Polígono de frecuencias acumuladas
 Para variables estadísticas sin agrupar en intervalos de clase.
Representamos en el eje de abscisas los distintos valores de la variable
estadística. Levantamos sobre cada uno de ellos un perpendicular cuya longitud
será la frecuencia (absoluta, Ni, o relativa, Fi) acumulada correspondiente a ese
valor. De esta forma aparece un diagrama de barras creciente. Trazando
segmentos horizontales de cada extremo de barra a cortar la barra situada a su
derecha se obtiene el diagrama o polígono de frecuencias acumuladas.
40
35
Ni
30
25
20
15
10
5
0
xi
 Para variables estadísticas agrupadas en intervalos de clase.
En el eje de abscisas representamos los distintos intervalos de clase de una
variable estadística que han de estar naturalmente solapados. Sobre el extremo
superior de cada intervalo se levanta una línea vertical de longitud equivalente
a la frecuencia (absoluta o relativa) acumulada del mismo. Se obtiene así un
diagrama de barras creciente, que uniendo sus extremos da lugar al polígono de
frecuencias acumuladas.
Alcanzará su máxima altura en el último intervalo, que tendrá de frecuencia N
ó 1 según se trate de frecuencias acumuladas absolutas o relativas.
N
Ni
e0 e1
ei
ei+1
ek
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Moda
Moda es el valor de la variable que se presenta con más frecuencia dentro de la
distribución.
En las distribuciones sin agrupar se observa directamente el valor de
mayor frecuencia.
En las agrupadas, definimos la clase modal como la que tiene mayor
frecuencia.
NOTA: Algunas distribuciones pueden presentar varias modas. Cada moda
corresponde a un máximo absoluto del diagrama de barras o histograma.
 Para variables aleatorias
La moda es el máximo de la función de densidad o de la función de
probabilidad
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143
Media aritmética
La media de una variable estadística es la suma ponderada de los valores
k
k
i 1
i 1
n
N
posibles por sus respectivas frecuencias: X   fi x i   i x i 
1 k
 ni xi
N i 1
x i = valores que toma la variable o marca de clase.
fi = frecuencias relativas.
n i = frecuencias absolutas.
N = número total de la población o muestra.
Relación entre las medias armónica, geométrica y aritmética: H  G  X
La media o esperanza matemática de una variable aleatoria es: m1  E    x  
E  =
n
 x P( X ) para una variable discreta y finita.
i
i 1
E  =



i
x.f (x).dx cuando la variable  es continua con función de
densidad f(x).
Media armónica
Medida de tendencia central de una variable estadística es el cociente entre el
tamaño de la muestra y la suma de los cocientes de las frecuencias por los
valores de las correspondientes de la variable: H 
N
ni

i 1 x i
k
x i = valores que toma la variable o marca de clase.
fi = frecuencias relativas.
n i = frecuencias absolutas.
N = número total de la población o muestra.
Relación entre las medias armónica, geométrica y aritmética: H  G  X
Media cuadrática
Medida de tendencia central de una variable estadística es la raíz cuadrada de
la suma ponderada de los cuadrados de los posibles valores de la variable
multiplicados por sus respectivas frecuencias:
MC 
k
f x
i 1
i
2
i

k
ni
 Nx
i 1
2
i
Media geométrica
Medida de tendencia central de una variable estadística que resulta de la raíz nésima del producto de los valores posibles de la variable, elevados a a sus
respectivas frecuencias: G  N x1n .x 2n ...x kn
x i = valores que toma la variable o marca de clase.
fi = frecuencias relativas.
n i = frecuencias absolutas.
N = número total de la población o muestra.
Relación entre las medias armónica, geométrica y aritmética: H  G  X
1
2
k
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136
Mediana
Mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Mediana de un triángulo esférico es el arco de circunferencia máxima que une un vértice
con el punto medio del lado opuesto.
En Estadística:
La mediana es el valor de la variable que ocupa el lugar central, es decir, que la mitad
de la población es menor y la otra mitad es mayor que él.
La mediana es un valor M tal que F(M)=1/2, se define así como raíz de una ecuación.
 Para las variables estadísticas se ordenan en forma creciente, dejando igual número
de observaciones inferiores que superiores a ella.
a) En las distribuciones sin agrupar, en general, no tiene solución, puesto que la función F(x)
varía por saltos:
1) Si ningún valor posible x i corresponde a F( x i )=1/2 se conviene en considerar
1
como mediana el valor x i tal que: F( x i 1 )   F( x i )
2
1
2) Si uno de los valores xi corresponde a F( x i )  (lo que ocurre solamente si el
2
total N de la población es par) la mediana está indeterminada entre los valores xi y xi+1. El
intervalo (xi, xi+1) se denomina mediano, o bien llamamos mediana al punto medio de
dicho intervalo.
b) En las agrupadas pueden darse dos casos:
INTERVALO
xi
ni
Ni
e0 -- e1
x1
n1
N1
e1 -- e2
x2
n2
N2
............
...
...
....
ej-2 – ej-1
xj-1 Nj-1 Nj-1
ej-1 -- ej
xj
nj
Nj
............
...
...
...
ek-1 -- ek
xk
nk
N
N
1)
coincide con uno de los recogidos en la columna de frecuencias acumuladas,
2
por ejemplo Nj, en este caso la mediana es ej.
N
2)
está entre N j1 y N j . La mediana se encontrará en el intervalo ( e j1 , e j ) . La
2
mediana será M  e j1  h y por interpolación lineal se obtiene h.
Amplitud del intervalo: a = e j  e j-1
N
N
nj  a
(  N j 1 ) a
(  N j1 ) a
 h 2
 M  e j 1  2
N
nj
nj
 N j1  h
2
Varianza
Varianza o momento de segundo orden respecto de la media en una variable
estadística es la media de los cuadrados de las desviaciones a la media:
k
2  
i 1
( x i  X) 2 n i
N
x i = valores de la variable o marcas de clase.
La varianza de una variable aleatoria es el momento de segundo orden respecto a
2
la media:  2  2  E  x  x  

V   =
x
i 1


n
2
 x P(X i ) para una variable discreta y finita.
i
V  = 2  


 x  x  .f (x).dx cuando la variable  es continua con función de
2
densidad f(x).
Varianza explicada
En la recta de regresión de la Y sobre X la varianza total de la variable Y puede
descomponerse en dos partes una parte explicada por la regresión (la varianza de la
regresión) y otra parte no explicada (la varianza residual). La varianza explicada,
será la obtenida por el producto de la varianza de Y por el coeficiente de
determinación R2.
Varianza muestral o cuasivarianza
La varianza muestral viene dada por:
k
N
N
S2 
 2 , es decir: S2 
N 1
N 1
 ( x i  X) 2
i 1
N
k

 (x
i
 X) 2
i 1
N 1
Nótese que para N suficientemente grande la diferencia entre 2 y S2 es muy
pequeña.
Varianza residual
La varianza residual se define como la varianza de los errores o residuos
Varianza residual de una variable aleatoria X con respecto a otra Y es igual a la
varianza de Y por (1-r2), siendo r el coeficiente de correlación lineal entre ambas
variables.
La varianza residual o no explicada 2r 
1
(yi *  y j )2 n ij  2y (1  r 2 )

n i, j
Siendo el valor ajustado o teórico= yi *
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207
Desviación típica
La desviación típica o desviación cuadrática media es la raíz cuadrada positiva de
la varianza:    (  2 )  
k
 (x
2
i  X) fi
o bien,   
i 1
k
x f
2
i i
X
2
i 1
Desviación típica muestral
La desviación típica muestral es la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral.
( x i  X) 2 n i
S 

( N  1)
i 1
k
N

N 1
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52
Coeficiente de variación de Pearson
Es el cociente de la desviación típica y la media. CV 

X
Es siempre positivo y no existe si la media vale cero.
Es frecuente expresarlo en tanto por ciento.
Es independiente de la unidad que se utilice, pues no tiene unidades y por
tanto nos permite comparar la dispersión de dos distribuciones que tengan unidades
diferentes, o que tengan medias muy distintas.
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27
Sesgo
Para obtener una medida adimensional de la simetría de una variable
estadística, se define el coeficiente de asimetría o sesgo
Coeficiente de Asimetría de Pearson: As 
X  Mo
.

 Mide la asimetría respecto de la moda.
 Si As=0 es simétrica respecto de la moda. X  M0 .
 Si As>0 es asimétrica a la derecha de la moda. X  M0 .
 Si As<0 es asimétrica a la izquierda de la moda. X  M0 .
 Si la moda no es única, no está definido.
n x
1
k
Coeficiente de Asimetría de Fisher: g1 
3

3 n
i 1
i
i
X

3
3
 Es un coeficiente adimensional y mide la asimetría respecto de la media.
 Si g1=0 la distribución es simétrica o no sesgada.
 Si g1<0 la distribución es asimétrica o sesgada a la izquierda y
X  Me  Mo .
 Si g1>0 la distribución es asimétrica o sesgada a la derecha y Mo  Me  X .
El sesgo es la diferencia entre el valor esperado de un estimador y el verdadero
valor del parámetro: E(θ*) - θ
Curtosis
El coeficiente de Curtosis es el grado de apuntamiento de una distribución. Será
mayor cuanto mayor sea la concentración de valores alrededor de la media.
Se mide en relación a la distribución Normal, de la misma media y
desviación típica.
El coeficiente de apuntamiento de Fisher, es: g 2 
4
3
4
De forma que es nulo para la distribución normal. Si el coeficiente es
positivo la distribución está más apuntada que la distribución Normal (de la misma
media y desviación típica), y se dice leptocúrtica. Si es menos apuntada el
coeficiente es negativo y se dice platicúrtica. Mesocúrtica es cuando el
coeficiente es nulo.
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42
Cuantiles
Cuantil de orden  es un valor de la variable estadística que deja a su izquierda
una parte  de la población y a la derecha una parte 1-  de la población.
El Cuantil de orden  (0    1) es x  tal que F( x  )=. Siendo F la función de
distribución o la frecuencia relativa acumulada.
Los más utilizados son los cuartiles Q1, Q2 y Q3 que dejan a su izquierda
1/4, 1/2 y 3/4 de la población respectivamente.
Obsérvese que Q2 = M
(Mediana).
Los deciles D1, D2, ..... , D9 dejan a su izquierda 1/10, 2/10, ..., 9/10 de la
población respectivamente.
Los percentiles P1, P2, ........, P99 dejan a su izquierda 1/100, 2/100, .....
99/100 de la población respectivamente.
El cálculo de los mismos es similar al cálculo de la mediana.
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33
Diagrama de cajas o Box-plot
Se construye sólo para variables cuantitativas.
Pasos a seguir:
•Se dibuja un rectángulo cuyos extremos son Q1 y Q3 y se indica la posición de la
mediana mediante una línea vertical. También se indica la media mediante una cruz
(+).
•Se dibuja una línea desde cada extremo del rectángulo hasta el valor más alejado
no atípico.
•Se calculan los límites de admisión (barreras o bigotes)
LI =Q1 -1,5 (Q3- Q1)
LS =Q3 +1,5 (Q3- Q1)
•Se marcan todos los datos considerados como atípicos (outliers) son los que
quedan fuera de los límites de admisión se indican mediante un círculo. Existen
otros valores atípicos más graves (atípicos extremos) que superen 3 veces el rango
intercuartilíco y se representan por cruces (x).
Si no hubiese ningún dato atípico las barreras llegarían hasta el valor mínimo y
máximo.
Q1
Q2 = M
Q3
+
Q1-1,5(Q3-Q1)
Q3+1,5(Q3-Q1)
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56
Distribución de frecuencias
Distribución de frecuencias: es conjunto de modalidades con sus respectivas
frecuencias. Según sean éstas (absolutas, relativas,....) así lo será la distribución
correspondiente.
Las distribuciones de frecuencias se representan mediante tablas estadísticas.
Se clasifican en dos tipos:
- Sin agrupar: aparecen los datos individualizados con sus respectivas
frecuencias. Se utiliza cuando la variable toma pocos valores diferentes.
- Agrupados en intervalos se divide el campo de la variable en
intervalos llamados de clase, que tendrán como frecuencia el número de elementos
que estén en el intervalo. Se utiliza cuando la variable toma muchos valores
distintos entre sí.
La distribución de frecuencias quedaría así:
Intervalo
Marca de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia
absoluta
relativa
relativa
absoluta
clase x i
acumulada acumulada
e0 , e1 
 e1 , e2 
x1
n1
f1
F1
N1
x2
n2
f2
F2
N2
...........
...
...
...
...
...
xi
ni
fi
Fi
Ni
...
...
...
...
...
xk
nk
fk
Fk
Nk
 ei 1 , ei 
...........
 ek 1 , ek 
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64
Varianza muestral o cuasivarianza
La varianza muestral viene dada por:
k
N
N
S2 
 2 , es decir: S2 
N 1
N 1
 ( x i  X) 2
i 1
N
k

 (x
i
 X) 2
i 1
N 1
Nótese que para N suficientemente grande la diferencia entre 2 y S2 es muy
pequeña.
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207
Rango de un sistema de vectores
Rango de un sistema de vectores es igual al número máximo de vectores
linealmente independientes que contiene.
Rango de una aplicación lineal
Rango de la aplicación lineal f es la dimensión del subespacio Imagen de f.
Rango de una matriz
Rango de la matriz A es el orden del menor de mayor orden no nulo de A. Lo
denotaremos por r(A) o bien por rg(A).
En Estadística
Rango o recorrido de una variable estadística
Es la diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.
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170
Momentos de una variable aleatoria
 El momento de orden k respecto al origen se define como
el caso de variables discretas:
continua:
m k  E x k 
=



m k  E x k 
en
n
m k  E x k 
x
=
i 1
k
i . P( x i )
y si la variable es
x k . f ( x).dx
La media o esperanza matemática es:
m1  E x  x  
 El momento de orden k respecto a la media, m1 , de la distribución se


define como  k  E  x  m1  .
Entre estos tiene particular importancia la varianza que es el momento
2
de segundo orden respecto a la media: 2  2  E  x  m1 
La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica 
k


Momentos de una variable estadística
Se llama momento de orden r respecto al valor "c" en una variable estadística,
a la cantidad:
k
k
i 1
i 1
 ( x i  c) r fi   ( x i  c) r
ni
, donde r es un entero positivo.
N
Según los valores de "c", se definen varias clases de momentos:
Momentos no centrales o respecto al origen,
k
k
n
r
c  0  m   x f   xr i
r
i i
i N
i 1
i 1
Momentos centrales o respecto a la media
k
k
i 1
i 1
c  X   r   ( x i  X ) r fi   ( x i  X) r
ni
N
 A los caracteres de una variable estadística bidimensional les vamos a
llamar x e y, cada uno de ellos presentará varias modalidades x1 ,....., xr e
y1 ,....., ys respectivamente.
Momentos respecto al origen:
m h,k
1 r s h k
   x i y j n ij
N i 1 j1
Momentos respecto a la media:  h,k 
1 r s
  ( xi  X) h ( y j  Y) k nij
N i 1 j1
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144
Rango intercuartílico
El rango intercuartílico es la diferencia entre los cuartiles Q1 y Q3 de una
variable estadística: IQR  Q 3  Q1 .
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171
Polígono de frecuencias
 Polígono de frecuencias de una variable discreta, sin agrupar:
es una línea que se obtiene uniendo los extremos superiores de
las barras en el diagrama de barras.
frecuencia (absoluta o relativa)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
 Para variables estadísticas agrupadas en intervalos de clase.
El polígono de frecuencias es una línea que se obtiene uniendo los
puntos medios de las bases superiores (los techos) de cada rectángulo
en el histograma. De forma que empiece y acabe sobre el eje de
abscisas, en el punto medio del que sería el intervalo anterior al
primero y posterior al último.
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