Notas de clase del tema de Oscilaciones.

Oscilaciones
José Manuel Alcaraz Pelegrina
Curso 2007-2008
1.
Introducción
En el presente capı́tulo vamos a estudiar el movimiento en torno a una posición de
equilibrio estable, concretamente estudiaremos las oscilaciones de pequeña amplitud que
se producen en torno a una posición de equilibrio estable al separar ligeramente al sistema
de dicha posición de equilibrio. Este tipo de movimiento tiene una gran aplicación en otras
ramas de la Fı́sica como pueden ser la Acústica, los espectros moleculares, el estudio de
las vibraciones de un sólido, . . . Comenzaremos viendo el caso más sencillo que es el de
un oscilador en el que no hay perdidas de energı́a, para ir introduciendo posteriormente
nuevas fuerzas que describan los procesos de perdida de energı́a y como compensar estas
perdidas de energı́a.
2.
El oscilador armónico lineal
Vamos a estudiar el movimiento de una partı́cula en las proximidades de un punto
de equilibrio. Una partı́cula se encuentra en equilibrio si la fuerza que actua sobre ella es
nula. Para el caso de movimiento en una sola dimensión y para una fuerza conservativa
se tiene que:
F (x) = −
dU
dx
esto significa que la partı́cula se encuentra en equilibrio en los puntos en los que la pendiente de U(x) se anule. El equilibrio será estable si se encuentra en un mı́nimo de energı́a
potencial y será inestable si se encuentra en un máximo de energı́a potencial.
Vamos a estudiar el movimiento en torno a una posición de equilibrio estable. Para ello
comenzaremos tomando el punto de equilibrio como origen de coordenadas y de potencial,
esto es: xo = 0 y U (xo = 0) = 0.
Si consideramos únicamente pequeños desplazamientos podremos aproximar U(x) por
un desarrollo en serie:
dU
U (x) = U (xo ) + x
dx
!
xo
1 d2 U
+ x2
2
dx2
!
+ ...
xo
Teniendo en cuenta que xo es el origen del potencial y que el potencial en ese punto
presenta un extremo, nos queda:
1
U (x) ≈ kx2
2
1
Oscilaciones
donde
d2 U
k=
dx2
!
xo
que es positiva, ya que en xo el potencial presenta un mı́nimo. La expresiones anteriores
constituyen las expresiones de la energı́a potencial de un oscilador armónico. Sobre los
sistemas sometidos a este potencial actua una fuerza que viene dada por:
dU
F (x) = −
= −kx
dx
expresión conocida como ley de Hooke.
2.1.
Ecuación de movimiento del oscilador armónico
Para obtener la ecuación de movimiento podemos recurrir tanto a la formulación newtoniana com a la formulación lagrangiana de la mecánica. Como estamos en un caso en
una sola dimensión y conocemos la expresión de la fuerza que actua sobre la partı́cula, la
primera es más sencilla de utilizar.
De esta manera, la segunda ley de Newton nos dice que la ecuación de movimiento del
oscilador armónico lineal tiene la forma:
mẍ = −kx
que escribiremos como:
ẍ + ω 2 x = 0
k
>0
donde ω 2 = m
Tenemos entonces una ecuación diferencial lineal de segundo orden que puede resolverse fácilmente. Podemos resolverla utilizando diversos métodos, bien probando soluciones
de la forma eαt para obtener la solución general de la ecuación y luego particularizar en
función de las condiciones iniciales o bien, integrando la ecuación directamente. Utilizando
este segundo método y para suponiendo que en el instante inicial la x = xo 6= 0 y x˙o = 0,
obtenemos:
x˙2 = −ω 2 (x2 − x2 )
o
y volviendo a realizar la integración obtenemos:
x = xo cos(ωt + ϕ)
Esta es la expresión que describe el movimiento de un oscilador armónico. A xo se
le denomina amplitud del movimiento y determina los lı́mites extremos entre los que se
mueve la partı́cula. ω recibe el nombre de frecuencia angular o pulsación y depende de las
caracterı́sticas del oscilador. Relacionado con la frecuencia angular se define el periodo,
T, como el tiempo que tarda la partı́cula en realizar una oscilación completa, es decir, el
tiempo que tarda la partı́cula en volver a la misma posición y tener la misma velocidad
(modulo y sentido). La relación entre el periodo y la frecuencia angular es:
2π
T =
ω
Se define también la frecuencia, ν como el número de oscilaciones que realiza la partı́cula
por unidad de tiempo. Evidentemente, se tiene que la frecuencia es la inversa del periodo:
1
ν=
T
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2
Oscilaciones
2.2.
Energı́a mecánica del oscilador libre
Al haber trabajado con una fuerza conservativa, la energı́a mecánica total (E = T+U)
permanece constante, es decir, es una constante del movimiento. Es fácil comprobar que
se cumple que:
dE
=0
dt
Con ayuda de la solución de la ecuación de movimiento podemos obtener expresiones
para la energı́a cinética, Ec y para la energı́a potencial en función del tiempo. Ası́:
1
1
Ec = mx˙2 = mω 2 x2o sin2 (ωt + ϕ)
2
2
1 2 1 2
U = kx = kxo cos2 (ωt + ϕ)
2
2
Se tiene de esta forma que:
1
Ecmax = Umax = kx2o = ET OT AL
2
Durante el movimiento, la energı́a cinética se transforma en energı́a potencial y viceversa, de manera que la energı́a mecánica total se mantiene constante (véase la primera
integración de la ecuación de movimiento). Es fácil ver que en los puntos en los que la
posición es igual a la amplitud se tiene que la energı́a cinética se anula y la energı́a potencial es máxima y que en la posición de equilibrio (x=0) es donde la energı́a cinética
alcanza su valor máximo.
2.3.
Diagramas de fase
Los diagramas de fase describen el movimiento de los sistemas dinámicos y no son
más que representaciones (x,ẋ) o, en general, representaciones (q, q̇). Las cantidades x y ẋ
pueden considerarse como coordenadas de un espcio bidimensional, denominado espacio
de fases. En general, el espacio de fases de un sistema mecánico será un espacio con 2n
dimensiones, siendo n el número de grados de libertad del sistema. Un punto del espacio
de fases describe el estado del sistema que se moverá siguiendo una determinada curva a
lo largo del espacio de fases. Cualquier curva en el espacio de fases representa la evolución
temporal del sistema para unas condiciones iniciales dadas. Todas las rutas posibles para
un sistema en función de las diferentes condiciones iniciales que puedan darse constituyen
lo que se conoce como diagrama de fases del sistema. En el caso que estamos tratando
podemos obtener las curvas (x,ẋ) a partir de la solución de la ecuación de movimiento:
x = xo cos(ωt + ϕ)
ẋ = −xo ω sin(ωt + ϕ)
que son las ecuaciones paramétricas de cada una de las curvas que conforman el diagrama de fases de un oscilador libre en una dimensión. Eliminando el tiempo en ambas
expresiones obtenemos que las curvas del diagrama de fases de un oscilador libre tienen
la forma:
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Oscilaciones
x2
x˙2
+
=1
x2o x2o ω 2
o sea, que las curvas que representan el diagrama de fases de un oscilador libre son elipses
de semiejes xo y xo ω y que se recorren en el sentido de las agujas de un reloj. Debido a
la relación que existe entre la amplitud de las oscilaciones y la energı́a del oscilador, el
tamaño de los semiejes está relacionado con la energı́a, de manera que podemos expresar
la familia de elipses como:
x2
x˙2
+
=1
2E/k 2E/m
Debido al carácter determinista de la mecánica clásica, dos curvas diferentes del diagrama de fases no pueden cortarse.
3.
El oscilador amortiguado. Discusión de las soluciones.
En la sección anterior hemos considerado que la única fuerza que actuaba sobre la
partı́cula era la fuerza dada por la ley de Hooke. De esta forma, hemos obtenido que
la partı́cula o el sistema describen un movimiento oscilatorio de manera indefinida. Este
caso no es muy realista, ya que es bien sabido que siempre existen fuerzas disipativas o de
rozamiento que se oponen al movimiento y que tienen como consecuencia la disminución
progresiva de la amplitud de las oscilaciones hasta que se detiene el movimiento. Vamos
a considerar aquı́ el caso en el que la fuerza de rozamiento o disipativa dependa de la
velocidad de la partı́cula o del sistema que estemos estudiando. Como caso más simple
consideraremos que dicha fuerza es proporcional a la velocidad, es decir:
fdisipativa = −bẋ
dónde ya hemos particularizado para el caso de movimiento en una sola dimensión o con
un solo grado de libertad y b es una constante positiva 1 . Haciendo uso de la segunda ley
de Newton, la ecuación de movimiento será:
mẍ = −bẋ − kx
que podemos reescribir como:
ẍ + 2β ẋ + ωo2 x = 0
donde:
b
se denomina factor de amortiguamiento
2m
k
ωo2 = es la frecuencia propia del oscilador libre
m
β=
1
b es positiva ya que la fuerza se opone al movimiento
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Oscilaciones
Tenemos ası́ una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea. Para obtener
la solución general de esta ecuación, probamos soluciones de la forma x(t) = eαt , con lo
que se obtiene la siguiente ecuación caracterı́stica:
α2 + 2βα + ωo2 = 0
que tiene como soluciones:
α = −β ±
q
β 2 − ωo2
Según sea el radicando, tendremos soluciones reales (funciones exponenciales) o imaginarias (funciones trigonométricas). Los tres casos posibles son:
2
2
1. ωq
o > β . Tenemos lo que se denomina oscilaciones amortiguadas: α = −β ±
i ωo2 − β 2 y se tiene un movimiento seudoperiódico.
2. ωo2 = β 2 . Tenemos lo que se denomina amortiguamiento crı́tico: α = −β y se tiene
un movimiento aperiódico.
3. q
ωo2 < β 2 . Tenemos lo que se denomina movimiento sobreamortiguado: α = −β ±
β 2 − ωo2 y se tiene también un movimiento aperiódico.
3.1.
Oscilaciones amortiguadas: ωo2 > β 2
q
Definiendo ω12 = ωo2 − β 2 , tenemos que: β 2 − ωo2 = ±iω1 , con lo cual α = −β ± iω1
y la solución general tiene la forma:
1
x(t) = e−βt Aeiω1 t + A∗ e−iω1 t
2
que también puede escribirse como:
x(t) = ae−βt cos(ω1 t + φ)
y por lo tanto:
ẋ(t) = −ae−βt [β cos(ω1 t + φ) + ω1 sin(ω1 t + φ)]
La solución es una sinusoide cuya amplitud decrece con el tiempo. Nótese que si β → 0
se tiene que ω1 → ωo .
3.2.
Amortiguamiento crı́tico: β 2 = ωo2
En este caso α = −β es una raı́z doble, por lo que x1 (t) = e−βt es una solución
particular de la ecuación diferencial. Necesitamos otra solución que será de la forma:
x2 (t) = te−βt
Por lo tanto la solución general de la ecuación de movimiento para este caso será de
la forma:
x(t) = (a1 + a2 t)e−βt
que en función de las condiciones iniciales: x(t = 0) = xo yẋ(t = 0) = ẋo se convierte en:
x(t) = [xo + (ẋo + x0 β)t] e−βt
Para este caso se tiene que el tiempo requerido para acercarse a una distancia dada
del punto de equilibrio es mı́nimo.
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Oscilaciones
3.3.
Sobreamortiguamiento: β 2 > ωo2
q
En este caso α = −β ± β 2 − ωo2 = −β ± ω2 , con lo que la solución general de la
ecuación diferencial tiene la forma:
x(t) = e−βt a1 eω2 t + a2 e−ω2 t
ω2 no es una pulsación (frecuencia angular) ya que el movimiento no es periódico, sino
que tiende asintóticamente hacia la posición de equilibrio.
La velocidad es entonces:
h
ẋ(t) = e−βt a1 (ω2 − β)eω2 t − a2 (β − ω2 )e−ω2 t
i
dónde los parámetros a1 y a2 se determinan en función de las condiciones iniciales: x(t =
0) = xo yẋ(t = 0) = ẋo . De esta forma, tenemos que:
x(t) =
i
e−βt h
(ẋo + xo (β + ω2 )) eω2 t + (xo (ω2 − β) − ẋo ) e−ω2 t
2ω2
Dependiendo de cual sea el valor inicial de la velocidad, nos podemos encontrar con
tres casos diferentes:
ẋo > 0. En este caso x(t) alcanza un máximo antes de caer monótonamente hacia
la posición de equilibrio.
ẋo = 0. En este caso x(t) tiende monótonamente hacia la posición de equilibrio.
ẋo < 0. Si |ẋo | es lo suficientemente grande, x(t) puede pasar al otro lado de la
posición de equilibrio, para luego tender hacia dicha posición de equilibrio desde ese
lado.
4.
Oscilaciones forzadas
Hemos visto en la sección anterior que en el oscilador amortiguado se produce una
pérdida de energı́a que provoca que el sistema acabe deteniéndose. Para evitar esto, vamos
a considerar que sobre el sistema actua una fuerza externa que se encarga de compensar
estas pérdidas de energı́a. Estamos ante lo que denominaremos un oscilador forzado.
La ecuación de movimiento tendrá ahora la forma siguiente:
mẍ = −bẋ − kx + F (t)
donde F(t) es la fuerza externa, a la que denominaremos fuerza impulsora, que se encarga
de contrarrestar el efecto de la fuerza de amortiguamiento.
Como ejemplo de fuerza impulsora, vamos a considerar el caso de una fuerza armónica,
es decir, una fuerza que varia en el tiempo de forma senoidal o cosenoidal, por ser este un
caso sencillo desde el punto de vista matemático pero con bastantes aplicaciones. De esta
manera, tendremos:
mẍ = −bẋ − kx + Fo cos(ωt)
que se puede escribir como:
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Oscilaciones
ẍ + 2β ẋ + ωo2 x = f cos(ωt)
donde β y ωo tienen la misma definición que en un oscilador amortiguado y f = Fmo .
Tenemos ası́ una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con coeficientes constantes no homogénea cuya solución general es la suma de la solución de la ecuación diferencial ordinaria homogénea correspondiente, (xo (t)) mas una solución particular de la
ecuación no homogénea, (xp (t)).
Consideraremos el caso de amortiguamiento débil, esto es, β 2 < ω02 . En este caso, la
solución de la ecuación diferencial homogénea era de la forma:
xo (t) = ao e−βt cos(ω1 t + ϕ)
q
siendo ω1 = (ωo2 − β 2 ).
Para una fuerza impulsora de tipo armónico, una solución particular de la ecuación
diferencial no homogénea será también una función armónica del tipo:
xp (t) = a cos(ωt − δ)
siendo la frecuencia angular ω la misma que la de la fuerza impulsora y a y δ son dos
constantes que dependen de la amplitud de la fuerza impulsora, de su frecuencia, del
factor de amortiguamiento y de la frecuencia del oscilador libre.
De esta forma, la solución general de la ecuación diferencial será de la forma:
xg (t) = ao e−βt cos(ω1 t + ϕ) +
|
{z
Parte transitoria
}
a cos(ωt − δ)
|
{z
}
Parte estacionaria
El primer término del segundo miembro se denomina parte transitoria de la solución,
puesto que al haber una dependencia de la forma e−βt , a medida que transcurre el tiempo,
este término tiende a anularse, de manera que, cuando t β1 (en general, para t > 5−6τ1 ),
podemos despreciar este término frente al segundo miembro, al que denominaremos parte
estacionaria de la solución del oscilador forzado.
4.1.
Solución estacionaria. Amplitud y desfase.
Para obtener la forma de la parte estacionaria de la solución de la ecuación de movimiento del oscilador forzado vamos a utilizar números complejos, esto es, vamos a considerar que la solución es de la forma: xp (t) = Aeiωt , dónde A será un número complejo de
la forma: A = aeiα . Toda la dependencia temporal de la función la hemos incluido en el
término eiωt . De esta forma, sustituyendo en la ecuación de movimiento se obtiene que:
A=
f
2
2
ω
−
ω
−
i2βω
o
(ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
de manera que tendriamos:
a= q
f
(ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
−2βω
α = arctan
ωo2 − ω 2
!
(1)
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Oscilaciones
La solución de la ecuación de movimiento será entonces:
n
o
xp (t) = Re aeiωt−δ = a cos(ωt − δ)
dónde Re{} indica la parte real del número, a es una función de la frecuencia ω como se
ha obtenido anteriormente y hemos puesto δ = −α.
δ representa el desfase entre la fuerza impulsora y el desplazamiento. Para un ωo y un
β dados se tiene que:
δ = 0 si ω = 0
δ=
π
2
si ω = ωo y
δ → π si ω → ∞.
4.2.
Resonancia de amplitud
La amplitud de oscilación es una función de la frecuencia angular de la fuerza impulsora. Esta función presentará un máximo para un valor de la frecuencia angular al que
llamaremos frecuencia de resonancia, ωR , definida como:
da
dω
!
=0
ω=ωR
Derivando la expresión de la amplitud a respecto de ω e igualando a cero, se obtiene
que la frecuencia de resonancia es:
ωR =
q
ωo2 − 2β 2
2
Si ωo2 > β 2 > ω2o , no hay resonancia ya que el radicando serı́a nulo. En ese caso
se produce una disminución monotona de la amplitud al aumentar la frecuencia. Si el
amortiguamiento es débil, o sea β , se tiene que ωR ' ωo y, en general, se tiene que
ωR < ωo .
La amplitud de resonancia, esto es, el valor de la amplitud, cuando la frecuencia
angular es igual a la frecuencia de resonancia es función del factor de amortiguamiento.
4.3.
Resonancia de la energı́a cinética
La energı́a cinética del oscilador forzado está dada por:
m
1
ω2f 2
T = mẋ2 =
sin2 (ωt − δ)
2
2 (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
Si calculamos el promedio temporal de la energı́a cinética en un periodo obtenemos:
< T >=
ω2f 2
m
4 (ωo2 − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
que es una función de ω y presentará un máximo para un valor de la frecuencia angular al
que denominaremos frecuencia de resonancia de la energı́a cinética, ωE , que vendrá dado
por:
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Oscilaciones
d<T >
dω
!
=0
ω=ωE
Derivando el promedio temporal de la energı́a cinética e igualando a cero obtenemos
que la frecuencia de resonancia de la energı́a cinética está dada por:
ωE = ωo
4.4.
Potencia media absorbida
Vamos a calcular ahora, el promedio temporal en un periodo de la potencia suministrada al sistema por la fuerza impulsora. Esta viene dada por:
Pabsorbida =< F ẋ >
por lo que sustituyendo la expresión de la fuerza impulsora y de la velocidad del oscilador
forzado y realizando el promedio obtenemos:
mω 2 f 2 β
Pabsorbida = 2
(ωo − ω 2 )2 + 4β 2 ω 2
Tiene la misma forma que la energı́a cinética, por lo que también presenta resonancia
a la misma frecuencia angular que la energı́a cinética, esto es, para una frecuencia angular
de la fuerza impulsora igual a ωo .
5.
Oscilaciones bajo un potencial arbitrario
Vamos a considerar el movimiento de una partı́cula en un potencial arbitrario U(x).
Para un sistema conservativo en el que la energı́a mecánica se mantiene constante se
cumple que:
1
E = mẋ2 + U (x)
2
por lo que se tendrá que:
s
ẋ =
2
[E − U (x)]
m
El movimiento sólo será posible para aquellas zonas del espacio en las que el radicando
sea positivo, esto es, E − U (x) > 0. Los puntos en los que el radicando se anula se
denominan puntos de retorno del movimiento.
5.1.
Diagramas de fase
A partir de la forma de U(x) podemos tener información acerca de como será el
diagrama de fases del sistema y viceversa, conociendo el diagrama de fases del sistema,
podemos obtener información acerca del potencial.
Ası́, cuando el movimiento sea oscilatorio en torno a una posición de equilibrio estable,
el diagrama de fases estará formado por curvas cerradas. Cuando tengamos un punto de
equilibrio inestable, en el diagrama de fases, tendremos curvas que parten de dicho punto.
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Oscilaciones
6.
Oscilaciones de gran amplitud del péndulo plano
Para finalizar el presente capı́tulo dedicado a las oscilaciones, vamos a ver un ejemplo
de oscilaciones no lineales. Veremos las oscilaciones de gran amplitud de un péndulo plano.
Un péndulo plano está formado por una masa m, que está unida a una varilla de longitud
l (que supondremos de masa despreciable) que hace que la partı́cula se vea obligada a
describir una trayectoria circular bajo la acción de su peso.
Tomando el origen de energı́a potencial gravitatoria en la parte más baja de la circunferencia descrita por la partı́cula, la lagrangiana del sistema está dada por:
1
L = ml2 θ̇2 − mgl(1 − cos θ)
2
dónde hemos tomado como coordenada generalizada el ángulo de giro descrito por la
varilla respecto de la vertical. La ecuación de Lagrange que obtenemos para la variable θ
es entonces:
θ̈ + ωo2 sin θ = 0
dónde ωo2 = gl . Tenemos ası́ una ecuación diferencial no lineal debido al término sin θ
que aparece en ella. Para el caso de pequeñas oscilaciones en los que podamos aproximar
el seno por el primer término de su desarrollo en serie, obtenemos la ecuación de un
oscilador armónico para la variable θ. De esta forma, para pequeños ángulos, el péndulo
plano se comporta como un oscilador armónico, pero, en general, tenemos un sistema no
lineal.Haciendo una primera integración de la ecuación anterior obtenemos una expresión
de la velocidad angular en función del ángulo:
θ̇ =
q
2ωo2 (cos θ − cos θo )
dónde θo es el ángulo inicial. Esta expresión nos permite obtener los diagramas de fase del
sistema. Integrando esta ecuación podemos obtener la función θ(t) que nos indicará como
varı́a el ángulo en función del tiempo. Sin embargo, como tenemos una ecuación no lineal,
lo que vamos a hacer es utilizar dicha ecuación para obtener el periodo de las oscilaciones.
En efecto, podemos escribir:
dθ q 2
= 2ωo (cos θ − cos θo )
dt
que lo podemos expresar como:
dt =
dθ
1
r
θo
2ωo sin 2 1 − sin2 θ2
sin2 θo
2
Podemos obtener un cuarto del periodo de las oscilaciones integrando esta expresión
entre θ = 0 y θ = θo . Haciendo el cambio:
u=
sin 2θ
sin θ2o
obtenemos que el periodo viene dado por:
τ=
π
4 Z θo
du
dϕ
4 Z 2
q
√
√
=
ωo 0
ωo 0
1 − u2 1 − k 2 u2
1 − k 2 sin2 ϕ
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Oscilaciones
siendo k = sin θ2o . Las dos últimas integrales son dos formas de expresar lo que se conoce
como integral elı́ptica completa de primera especie que se encuentra tabulada. En la tabla
siguiente mostramos algunos de los valores que obtendriamos del periodo para distintos
valores del ángulo inicial:
θo
π
4
π
3
π
2
π
7.
τ ω4o
1.6336
1.6858
1.8541
∞
Bibliografı́a
En este apartado, vamos a comentar brevemente como tratan el tema de oscilaciones
algunos de los libros de mecánica utilizados a lo largo del curso. Comenzaremos por el
libro Classical Dynamics of particles and systems de J.B. Marion. Este libro dedica un
capı́tulo a las oscilaciones lineales, que incluye al oscilador libre y al oscilador amortiguado
y otro capı́tulo a las oscilaciones forzadas. El tratamiento es claro y bastante detallado.
La mayor parte de las secciones anteriores se basan en los capı́tulos de dicho libro.
El libro Mecánica de Landau dedica un capı́tulo a oscilaciones pequeñas. Aunque sigue
una lı́nea diferente a la aquı́ expuesta, ya que trata primero las oscilaciones forzadas y
luego las oscilaciones amortiguadas, es una lectura que es recomendable realizar.
Por último, el libro Mecánica Clásica de H. Goldstein tiene un tema dedicado a oscilaciones pequeñas, pero parte de que ya se conocen las propiedades del oscilador libre,
del oscilador amortiguado y del oscilador forzado y se centra en el estudio de osciladores
con varios grados de libertad. Es una lectura también recomendable, aunque como paso
posterior al estudio del tema tratado en las secciones anteriores.
Aunque se trata de un artı́culo, creemos que puede ser interesante la lectura del mismo, titulado Oscillations with three damping effects. Wang,X. et al. 2002. Eur.J. Phys.23,
155-164, en el que se describe tres dispositivos experimentales para estudiar oscilaciones
amortiguadas en los que hay una dependencia con la velocidad constante, lineal y cuadrática, respectivamente. Se describen los dispositivos experimentales y se presenta una técnica
para resolver la ecuación de movimiento de manera aproximada en los tres casos.
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