Universidad de Montevideo Macroeconomia II Danilo R. Trupkin Class Notes (very preliminar) Money-In-the-Utility Function (MIU) 1 Introduccion En lo que va del curso, hemos visto modelos reales donde las transacciones no requieren de medio de cambio, donde tampoco hay razones para almacenar dinero en forma de reserva de valor, y donde tampoco existe la necesidad de utilizar dinero que sirva las veces de unidad de cuenta. Con el objeto de introducir dinero en un modelo neoclasico Walrasiano, la primer pregunta que uno se hace es la siguiente: Cual es en realidad el rol del dinero para generar que los agentes lo demanden? Es que para que el dinero tenga valor positivo en equilibrio, debe haber demanda positiva por este. En otros terminos, la pregunta fundamental es como modelar la demanda por dinero. En ese aspecto, podemos destacar dentro de la literatura de economia monetaria, tres enfoques:1 1. Asumir que el dinero brinda utilidad (modelo de Sidrauski, 1967) 2. Imposicion de costos de transaccion: • Costos al intercambio de assets (modelos a la Baumol-Tobin) • El dinero como medio requerido para transacciones de ciertos bienes (modelos de cash-in-advance; i.e., Clower, 1967) • Dinero y tiempo se combinan para producir servicios de transaccion para compras de bienes (Brock, 1974) • El trueque directo es costoso (search models; i.e., Kiyotaki and Wright, 1989) 3. Dinero como asset utilizado para transferir recursos intertemporalmente (Samuelson, 1958; modelos de OLG con dinero) La dificultad que se observa en la teoria monetaria en general, y en estos enfoques en particular, es que todos los modelos, de una manera u otra, involucran “shortcuts”, i.e., asumen ciertas condiciones, que luego deben ser evaluadas en terminos de su robustez. 1 Las referencias mencionadas en estas notas, las pueden encontrar en Walsh (2003), cito en el programa del curso. 1 2 Un Modelo Simple de MIU Supongamos que la funcion de utilidad del agente representativo es u = u(ct , zt ) donde ct es el consumo, y zt son los flujos de servicios de transaccion que brindan las tenencias de dinero. La funcion u se asume standard tal como la venimos viendo en el curso, pero ademas asumimos que el limz→0 uz (ct , zt ) = ∞, para todo c. Que es zt ? El concepto de zt no puede ser cisrcunscripto solo a la cantidad nominal de dinero, sino a su comando sobre los bienes, es decir a una medida de los servicios de transaccion. Al agente ciertamente le importa: Mt 1 Pt ≡ cantidad de “pesos” × valor de cada “peso” en terminos de bien. Si el flujo de servicios es proporcional al valor real del stock de dinero per capita, entonces podemos escribir zt = Mt ≡ mt . Pt La critica natural a este tipo de marco conceptual es que el dinero no es modelizado explicitamente. Una de las defensas esgrimidas es que los modelos con demanda de dinero explicita pueden ser representados en realidad a traves de un modelo de MIU. Asumimos que existen bonos cuya tasa nominal de interes es it , y transferencias reales lump-sum del gobierno, τ t , en terminos per capita. Suponemos ademas poblacion constante normalizada a 1, de manera de abstraernos de la diferencia entre variables per capita y agregadas, y del crecimiento poblacional. La restriccion de recursos de esta economia es yt + τ t + (1 − δ)kt−1 + M t Bt (1 + it−1 )Bt−1 Mt−1 + = ct + kt + + , Pt Pt Pt Pt donde yt es output, δ la tasa de depreciacion, y kt−1 y Bt−1 los stocks de capital fisico y de bonos al comienzo del periodo. Dicha restriccion se encuentra expresada en terminos reales, es decir en terminos de bienes. Dado que B y M son activos expresados nominalmente, se divide a ambos por Pt de modo de expresarlos en funcion de sus poderes de compra. Asumimos que es el capital formado al final del periodo precedente el cual se usa para producir bienes en t : yt = f (kt−1 ). Notemos que las variables de estado de esta economia llevan subindices t − 1: kt−1 , Mt−1 , y Bt−1 . Por otro lado, son las tenencias de dinero al 2 final del periodo, Mt Pt , lo que le da utilidad al agente. Reescribiendo la restriccion de recursos en terminos reales, y expresando los bonos y el dinero como Bt−1 Pt Mt−1 Pt = = Bt−1 Pt−1 bt−1 = Pt−1 Pt 1 + πt Mt−1 Pt−1 mt−1 = , Pt−1 Pt 1 + πt tenemos que f (kt−1 ) + τ t + (1 − δ)kt−1 + (1 + it−1 )bt−1 + mt−1 = ct + kt + mt + bt , 1 + πt donde 1 + π t ≡ Pt /Pt−1 . El problema en forma de Lagrangiano: L= ∞ X t=0 β t (1 + it−1 )bt−1 + mt−1 u(ct , mt ) + λt f (kt−1 ) + τ t + (1 − δ)kt−1 + − ct − kt − mt − bt 1 + πt Las condiciones necesarias de primer orden con respecto a ct , kt , bt ,y mt , a las que hay que agregar la restrciccion de recursos y la transversality condition, son: uc (ct , mt ) − λt = 0 (1) −λt + βλt+1 [fk (kt ) + 1 − δ] = 0 1 + it −λt + βλt+1 = 0 1 + π t+1 1 um (ct , mt ) − λt + βλt+1 = 0 1 + π t+1 (2) Del cociente entre (2) y (3), tenemos que βλt+1 [fk (kt ) + 1 − δ] λt , = 1+it λt βλt+1 1+π t+1 lo que implica la siguiente ecuacion: (1 + it ) = [fk (kt ) + 1 − δ](1 + π t+1 ) = (1 + rt )(1 + π t+1 ), que se puede aproximar ademas como it ≈ rt + π t+1 , 3 (3) (4) siendo esta una expresion de la ecuacion de Fisher. Reescribamos ahora la condicion (4) como λt = um (ct , mt ) + βλt+1 1 1 + π t+1 , y dividamos ambos lados por la condicion (1), utilizando ademas el hecho de que λt+1 = uc (ct+1 , mt+1 ). De esta manera, tenemos: um (ct , mt ) βuc (ct+1 , mt+1 ) + uc (ct , mt ) uc (ct , mt ) um (ct , mt ) βuc (ct+1 , mt+1 ) =1− uc (ct , mt ) uc (ct , mt ) 1= 1 1 + π t+1 1 1 + π t+1 , o, . (5) De la condicion de Euler, deducida de (2) y (1), tenemos que βuc (ct+1 , mt+1 ) 1 = , uc (ct , mt ) 1 + rt con lo que (5) queda expresada como um (ct , mt ) uc (ct , mt ) 1 = 1− 1 + rt 1 = 1− 1 + it it = , 1 + it 1 1 + π t+1 (6) para lo cual se ha usado la relacion de Fisher que nos dice que (1 + it ) = (1 + rt )(1 + π t+1 ). La relacion (6) muestra que la tasa marginal de sustitucion entre los saldos reales y el consumo, um (ct ,mt ) uc (ct ,mt ) , se iguala, en el optimo, al costo de oportunidad de mantener dinero, it 1+it . Interpretacion: A un momento cualquiera t, una alternativa al dinero lo constituye el bono, que paga i/(1 + π) en terminos reales en el periodo t + 1. Su valor presente sera i/(1+π) 1+r = i (1+r)(1+π) = i 1+i . Este es precisamente el costo de oportunidad del dinero. Finalmente, en equilibrio, tenemos que la demanda de dinero es igual a la oferta de dinero: Mtd = Mts , mientras que las tenencias de bonos se igualan a 0 ya que el modelo asume agentes identicos. Por otro lado, asumimos que la oferta de dinero crece a una tasa constante θ : Mt = (1 + θ)Mt−1 , y que dicho crecimiento del dinero se introduce en la economia a traves de las 4 trasferencias, τ : τt = (1 + θ)Mt−1 − Mt−1 θMt−1 Pt−1 θmt Mt − Mt−1 = = = . Pt Pt Pt−1 Pt 1 + πt (7) Dados estos supuestos, tendremos entonces que el equilibrio en el mercado de dinero implica: Mt (1 + θ)Mt−1 Pt−1 (1 + θ)mt−1 = mt = = . Pt Pt−1 Pt 1 + πt (8) Habiendo descripto hasta aqui las condiciones de equilibrio del modelo, evaluaremos ahora las propiedades del mismo en steady state (el largo plazo), para luego centrarnos en la dinamica de corto plazo. Para esto ultimo, modificaremos el modelo simple a traves de la introduccion de incertidumbre y la eleccion de ocio-trabajo por parte del agente. 3 El Steady State El sistema de equilibrio del modelo, en steay state, se expresa de la siguiente manera. La ecuacion de Euler, junto con las condiciones optimas de bonos y dinero resultan uc (c, m) = βuc (c, m)[fk (k) + 1 − δ] 1+i uc (c, m) = βuc (c, m) 1+π 1 uc (c, m) = um (c, m) + βuc (c, m) 1+π (9) (10) (11) La restriccion de recursos, por su parte, resulta: f (k) + τ − δk + m = c + m. 1+π Notemos que de (7), las transferencias en steady state son τ= θm , 1+π en tanto que de (8) se deduce que m= (1 + θ) m, (1 + π) lo que implicaq que π = θ. De esta manera, la restriccion de recursos queda expresada como f (k) + θm m − δk + = c + m, 1+π 1+π 5 (12) la cual resulta en f (k) − δk = c. (13) 1 = fk (k) + 1 − δ, β (14) De (9), tenemos que de donde se extrae el nivel de capital fisico en steady state. De la restriccion de recursos (13), luego se deduce el nivel de consumo de steady state, mientras que de la funcion de produccion resulta el nivel de output de steady state. Asi, tenemos que los niveles de las variables reales de largo plazo no dependen de la tasa de inflacion (superneutralidad del dinero). Por otro lado, notemos que en el sistema de steady state el dinero solo aparece en la forma de m, i.e., los saldos reales. Esto implica que cualquier cambio en la cantidad nominal de dinero, acompanado por un aumento proporcional de precios que deja invariante m, no tiene efectos sobre el equilibrio real de la economia (neutralidad del dinero). En consecuencia, que variables son afectadas por la tasa de inflacion? De la ecuacion (10), tenemos que 1+π = 1 + i, β ⇒ i= 1+π−β . β Con lo cual, aumentos de la tasa de crecimiento de dinero (que llevan a aumentos de la tasa de inflacion) generan aumentos de la tasa de interes nominal de largo plazo. Asimismo, de esta expresion se obtiene el valor de la tasa de interes nominal de steady state. Finalmente, dados el nivel de consumo y la tasa de interes nominal determinados previamente, de la condicion (6) en steady state, i.e., i um (c, m) = , uc (c, m) 1+i (15) se obtiene el nivel de saldos reales de largo plazo. Elasticidad de la demanda de dinero a la tasa de interes Supongamos que la funcion de utilidad es del tipo CES (constant elasticity of substitution) en consumo y saldos reales: 1 1−b ; 0 < a < 1, b > 0, b 6= 1. u(ct , mt ) = [ac1−b + (1 − a)m1−b t t ] 6 De esta manera, b uc (ct , mt ) = [ac1−b + (1 − a)mt1−b ] 1−b ac−b t t b um (ct , mt ) = [ac1−b + (1 − a)mt1−b ] 1−b (1 − a)m−b t t De la condicion de equilibrio (6) se tiene que um (ct , mt ) it (1 − a)m−b t = = −b uc (ct , mt ) 1 + it act ⇒ mt = 1−a a 1/b it 1 + it −1/b ct En logaritmos, la demanda de dinero resulta 1 log mt = log b 1−a a 1 − log b it 1 + it + log ct . De aqui que la elasticidad de la demanda de dinero respecto a su costo de oportunidad, una funcion de la tasa de interes, es igual a −1/b. Por su parte, la elasticidad-consumo (paralelo al concepto de elasticidad-ingreso de la demanda de dinero) es igual a uno. Notemos que en steady state, m= 1−a a 1/b 1− β 1+π −1/b c, Lo cual implica que los saldos reales de largo plazo son funcion decreciente tanto de la inflacion como del parametro a (el peso relativo de las preferencias sobre el bien de consumo). La Tasa de Inflacion Optima Hemos visto que el costo de oportunidad privado de mantener dinero es una funcion de la tasa de interes, es decir de i/(1 + i). Por otro lado, el costo marginal social de producir dinero (de imprimirlo) es cercano a cero. La brecha que aparece entre ambos costos, cuando la tasa de interes es positiva, implica una ineficiencia para la sociedad. Esta ineficiencia podria ser eliminada si el costo de oportunidad es cero; y ello ocurre cuando la tasa nominal de interes es cero. Pero notemos que i = 0 implica lo siguiente. De la ecuacion de Fisher, sabemos que 1 + i = (1 + r)(1 + π) = 7 (1 + π) , β lo cual implica que con i = 0, tendremos 1= (1 + π ∗ ) , β ⇒ π ∗ = β − 1 < 0, es decir que la tasa de inflacion optima resulta ser una tasa de deflacion, e incluso esta se aproxima a la tasa de retorno del capital, ya que β= 4 1 , 1+r ⇒ π∗ = 1 r −1=− ≈ −r. 1+r 1+r Modelo Estocastico con Decision Ocio-Trabajo El modelo de Sidrauski tambien puede generar No-Superneutralidad durante la transicion hacia el steady state. Para analizar la dinamica del modelo, ahora vamos a introducir incertidumbre a traves de dos tipos de shocks. Un shock de productividad, y un shock monetario, i.e., a la tasa de crecimiento del dinero θ. Ademas, introduciremos en el modelo la posibilidad de eleccion entre ocio y trabajo. La funcion de produccion se asume de la forma α n1−α , yt = ezt kt−1 t donde zt es el shock de productividad, y n = 1 − l es el tiempo asignado a actividades del mercado, donde l es ocio. El shock real posee un proceso estocastico de la forma zt = ρzt−1 + et ; 0 ≤ ρ < 1, et ∼ i.i.d.(0, σ 2e ). Definimos ut ≡ θt −θ, como las desviaciones de la tasa de crecimiento del dinero respecto de su steady state. Estas desviaciones poseen un proceso estocastico descripto por ut = γut−1 + φzt−1 + ϕt ; 0 ≤ γ < 1, ϕt ∼ i.i.d.(0, σ 2ϕ ). La funcion de utilidad, por su parte, se asume de la forma 1−Φ lt1−η [ac1−b + (1 − a)mt1−b ] 1−b t +Ψ ; 0 < a < 1, b, η, Φ, Ψ > 0 u(ct , mt , lt ) = 1−Φ 1−η Al introducir la decision de ocio por parte del agente, debemos entonces adicionar a las condiciones de equilibrio enunciadas arriba, la condicion de primer orden respecto a aquella variable. En la forma general, la misma resulta similar a la hallada en los modelos de RBC vistos en clases anteriores, excepto por el hecho de que ahora el dinero afectara el tiempo 8 dedicado al trabajo. Es decir, dicha condicion de optimo resulta ul (ct , mt , lt ) = fn (kt−1 , nt ). uc (ct , mt , lt ) (16) Notemos que ahora ciertamente es probable que el dinero afecte los steady states de la oferta de trabajo y del consumo, eliminando asi la superneutralidad encontrada previamente. El sistema de equilibrio en su forma parametrica, con incertidumbre y oferta de trabajo elastica, queda ahora descripto por las siguientes siete ecuaciones: b−Φ X 1−b (1 − a)m−b it um (ct , mt , lt ) t , = t b−Φ = uc (ct , mt , lt ) 1 + it 1−b −b Xt act ul (ct , mt , lt ) Ψ(1 − nt )−η α n−α = = (1 − α)ezt kt−1 t b−Φ uc (ct , mt , lt ) Xt1−b ac−b t b−Φ b−Φ −b 1−b −b 1−b Xt act = βEt Xt+1 act+1 (1 + rt ) rt = Et αezt+1 ktα−1 n1−α t+1 − δ α ezt kt−1 n1−α + (1 − δ)kt−1 = kt + ct t 1 − θt mt = mt−1 1 + πt (1 + it ) = (1 + rt )(1 + π t+1 ) donde Xt ≡ ac1−b + (1 − a)m1−b t t . Tenemos entonces 7 ecuaciones, con 7 endogenas: c, m, n, i, k, r, π. Se procede luego a aproximar este sistema de ecuaciones no lineales alrededor del steady state, tal como lo describimos en clase cuando estudiamos la resolucion de modelos DSGE. El objetivo, en particular, es hallar los “paths” de las variables endogenas, consistentes con el equilibrio. Ahora, a diferencia de lo visto en el modelo simple con oferta de trabajo inelastica, los niveles de steady state dependeran de la tasa de crecimiento del dinero, a traves del efecto de la inflacion sobre la oferta de trabajo. De esta manera, se elimina la propiedad de superneutralidad del dinero. En particular, las variables en steay state resultan de la siguiente manera:2 2 Para mas detalle sobre las derivaciones del steady state, lean el Apendice del Capitulo 2 de Walsh (2003), y en especial las paginas 84 y 85. 9 1 y 1 c y − 1; = (r + δ); = − δ; β k α k k − 1 − 1 1 b b 1+θ−β a c n y 1−α = ; = 1−a 1+θ k k k r = m k Finalmente, se puede obtener una expresion para el nivel de equilibrio de steady state del trabajo: " − 1 b−1 # b−Φ 1−b b b nΦ β a 1 − = H 1 + (1 − n)η 1−a 1+θ (17) donde H es una funcion de parametros del modelo, la cual no depende del parametro θ, y por lo tanto no depende de la inflacion. Notemos que el lado izquierdo de la ecuacion (17) es una funcion creciente de n. Por su parte, el efecto del parametro de politica monetaria, θ, sobre el lado derecho de la ecuacion dependera del signo de ξ ≡ b − Φ. Si ξ ≡ b − Φ > 0, entonces un aumento de θ que eleva π, e i, y que por lo tanto baja m, genera una caida del lado derecho de la ecuacion (17), lo que implica que baja el nivel de n, y por lo tanto caen el consumo y el output. Esto, en realidad, se deduce del analisis del signo de la derivada cruzada de la funcion de utilidad respecto al consumo y los saldos reales: ucm (c, m, l). Si ξ ≡ b − Φ > 0, se puede mostrar que ucm (c, m, l) > 0, lo que es equivalente a decir que el consumo y las tenencias reales de dinero son complementarios. En ese caso, un aumento de π que genera una caida de m (esto sucede siempre), lleva a una caida de uc (c, m, l), lo que finalmente lleva a sustituir consumo por ocio (cae c y aumenta l), cae la oferta de trabajo, y por lo tanto cae el output y. Basados en la evidencia, el parametro b se estima en un valor cercano a 2.56, mientras que el parametro Φ se calibra en valores cercanos a 2 (este es el valor utilizado luego en las simulaciones). De ello resulta que los saldos reales serian complementarios con el consumo, y por lo tanto un mayor θ conduciria hacia una caida del empleo, del consumo y del output de largo plazo. Para finalizar con el analisis del steady state, notemos que el caso ξ ≡ b − Φ = 0 implica que el dinero es superneutral, ya que no habra efectos de π sobre el nivel de n. Calibracion Los parametros “reales” son calibrados tal como lo vimos en Cooley and Prescott (1995). Los parametros “monetarios” fueron calibrados de la siguiente manera: θ = .0125 (consistente con una tasa anual de crecimiento del dinero del orden del 5%), σ ϕ = .0089, a = .95 (consistente con un ratio m/c ≈ 1.4) , b = 2.56 (consistente con una elasticidad de la demanda de saldos reales al costo de oportunidad del dinero del orden de .4), Φ se fija en 2, 10 pero se modifica de acuerdo con las diferentes simulaciones, η = 1, ρ = .95, γ = .5 (tambien modificado en las simulaciones), σ e = .007. Dinamica Las simulaciones correspondientes al modelo desarrollado aqui se muestran en las notas de clase que tienen como titulo “Simulaciones Modelo MIU”. En particular, se puede destacar el caso en que γ = 0. En dicho estado, donde el proceso del shock monetario se puede escribir como ut = ϕt (por simplicidad asumamos φ = 0), no hay efectos de la politica monetaria sobre la economia real. Es que el shock monetario no afecta futuros cambios en la tasa de crecimiento monetaria, y por lo tanto tampoco afecta la futura tasa de inflacion. Esto puede interpretarse como un aumento de la cantidad de dinero de una vez y para siempre, seguido por un aumento inmediato de los precios (recordemos que aqui los precios no tienen rigidez alguna). En consecuencia, el nivel de m no varia y por lo tanto no hay transmision al lado real de la economia. Por el contrario, a mayor γ, mayor es la transmision del shock monetario a las variables reales de la economia. Vemos que cuando ξ > 0, un shock monetario genera caida de m,n, c, e y. Se podria destacar ademas el efecto de φ ante un shock tecnologico. Vemos que, con ξ > 0, un shock real expansivo genera una correlacion positiva entre output e inflacion cuando φ > 0, y viceversa. Naturalmente, cual hipotesis acerca de φ es la mas cercana a la realidad dependera del regimen estudiado de politica monetaria. 11