propósito del trabajo

LA RELACION ENTRE LOS EXAMENES DE FISICA
MERLO, Ricardo1 y GONZÁLEZ, María Elena2
1Prof.
Tit. de Física – F.R.N. – UNaF; 2J.T.P de Física I y Física II – F.Cs. Salud – UNaF
rjmerlo@arnet.com.ar
Resumen
En este trabajo se propuso utilizar la técnica de regresión lineal para demostrar la relación entre
las notas de evaluación sumativa durante el cursado de Física. Logrando que el docente disponga
cuantitativamente de los resultados académicos que puede esperar, luego de haber realizado
todos los cambios necesarios en el proceso de enseñanza - aprendizaje, en beneficio de los
alumnos.
Palabras claves: regresión, exámenes, relación lineal, recta teórica
Abstract
The proposal of this research is to use the lineal regression technic to almost rate the relationship
among the accumulative evaluation marks in the physics science course. Teachers/trainers will
make all the possible changes during the teaching – learning process in order to benefit students,
by making them get the best results during the course.
Keywords: evaluation, regression, linear relation, theoretical straight line
INTRODUCCIÓN
Enseñar Física requiere de práctica pedagógica y de un profundo análisis sobre los contenidos y
propósitos que como docentes nos proponemos1. Aún en ese sentido, la enseñanza presenta en los
alumnos dificultades para comprenderla2. Muchos aportes pedagógicos y nuevas estrategias
didácticas se presentan3,4,5 para mejorar el rendimiento académico, aumentar el interés, la
participación y la matrícula en los cursos de Física.
La evaluación del aprendizaje es un indicador6 utilizado como marco de referencia para realizar
cambios durante el cursado y evitar disminuir la cantidad de alumnos cursantes. Además, la
actividad de trabajos prácticos contiene cuestiones acerca de los temas desarrollados en las clases
teóricas, pero con un bajo entendimiento conceptual, debido a las dificultades que tienen los
alumnos en conectar diversas representaciones, gráficas, diagramas ó conceptos básicos.
Entonces en este marco, resulta significativo el análisis de los resultados del primer examen para
minimizar todas aquellas cuestiones vinculadas al proceso de enseñanza – aprendizaje y lograr
mejores resultados en los siguientes exámenes que se realizan durante el cursado de Física.
PROPÓSITO DEL TRABAJO
Determinar la relación entre la nota que obtienen los alumnos en el primer y segundo examen
parcial de Física en el nivel universitario.
MATERIAL Y MÉTODOS
Se utilizaron los resultados de los exámenes de alumnos que cursaron Física en el primer año de
Ingeniería Zootecnista durante 2009. Los datos utilizados correspondieron a todos aquellos
estudiantes que fueron evaluados en su primer exámen, segundo exámen y/o su exámen
recuperatorio del primer o segundo examen.
Los datos del primer exámen correspondió a la variable independiente (x), mientras que los datos
del segundo exámen a la variable dependiente (y). Las notas oscilaron entre 1 y 10.
Considerando la existencia de una relación lineal entre x e y, entonces el modelo de regresión
poblacional se expreso:
y  0  1.x    Ey x  
Siendo
(1)
Ey x el valor esperado de y dado x.
Utilizando la ecuación de regresión
yˆ  0  1.x
(2)
Se determinaron los coeficientes 0 y 1 con el método de mínimos cuadrados.
 x
n
1 
i 1
i

 x . yi  y
 x
n
i
i 1
x



2
S xy
(3)
S xx
(4)
0  y  1.x
Para el método de mínimos cuadrados se considero que:
a) Para cada valor de x, la variable aleatoria  (error) se distribuye normalmente.
b) Para cada valor de x, la media o valor esperado del error es cero, es decir:
c)
E     0
Para cada valor de x, la varianza del error es la constante 2, denominada varianza del
error.
d) Los valores del término de error  son independientes.
Despejando de (1), el error aleatorio es:
(5)
 i  yi  yˆi
Y la varianza residual se define para n – 2 grados de libertad:
Se 
2
SSE
n2
(6)
Siendo SSE la suma de cuadrados de los errores.
Para usar la ecuación (2) con fines de predicción, la pendiente de la recta (1) no debe ser cero,
porque sí es cero, entonces para cualquier valor de x, la
distinta de cero, la desviación:
Ey x   0 . Para la pendiente de la recta
y  y se puede separar en dos términos: uno debido al error y el
otro debido a la regresión y determinar la contribución de cada término. Es decir:

y  y   y  yˆ   yˆ  y

(7)
Puede demostrarse algebraicamente que el cuadrado de la desviación es igual a la suma de los
cuadrados del error (SSE) más la suma de los cuadrados de la regresión (SSR):
(8)
y  y
2

2
  y  yˆ   yˆ  y

2
El SSR proporciona una estimación independiente para la varianza del error, y que permitió aplicar
un estadístico de contraste, para determinar sí la pendiente es diferente de cero, entonces la
ecuación (2) se puede utilizar con propósitos de predicción.
El estadístico se define para n – 2 grados de libertad:
F
Siendo
Se
2
SSR
2
Se
(9)
la varianza residual o varianza de los errores y SSR es la suma de los cuadrados del
error.
Considerando que la distribución F se relaciona con la distribución t de la siguiente forma:
t2  F  t  F 
1
 Se

 S
 xx
(10)




Entonces el estadístico t también se puede usar para poner a prueba la hipótesis nula, es decir la
pendiente igual a cero.
La pendiente nos da una estimación del cambio por término medio en la variable y por cada
unidad en que se incrementa x. Entonces existirá cierta incertidumbre en la estimación, que se
podrá conocer mediante intervalos de confianza para ambos valores, construidos mediante la
hipótesis de normalidad de los residuos, mediante límites para un intervalo del (1 - ).100% de
confianza para 1 mediante:
1  t .
2
Para n – 2 grados de libertad. Siendo
Se
Se
SSx
(11)
el error standard residual o de estimación y
SS x
es la
suma de cuadrados
A partir de la determinación de la ecuación (2), se utilizo la ecuación de regresión (1) para hacer
predicciones, estimando el valor promedio para y, dado x. Es decir predecir el valor aleatorio y
para un valor de x dado. Los límites de un intervalo del (1 - ).100% de confianza para
Ey x
están dados por la expresión (12), con n – 2 grados de libertad:

1 x0  x
yˆ  t  S e .

n
SSx
2

2
(12)
Por último se determino el coeficiente de correlación entre las notas del primer y segundo exámen
para establecer la intensidad de la relación lineal, mediante:
r
SS xy
SS x SS y
(13)
Siendo
SS x , SS y
y
SSxy
la suma de cuadrados y productos de x e y.
RESULTADOS
Para n = 70, los valores promedios de x e y fueron:
x
y
5,1;
6,0
A partir de (3 y (4) se obtuvieron los coeficientes los coeficientes 0 y 1, que se presento en la
tabla 1.
Datos
Coeficientes
Sxx
188,3
Sxy
81,3
Constante 0
3,81
Variable 1
0,43
Tabla 1: Datos de la construcción de la recta teórica
yˆ  0  1.x  3,81 0,43.x
La ecuación (2) es:
Luego se presento la tabla de residuos.
Errores
Valores
Error cuadrático promedio (2)
Suma de cuadrados de los errores (SSE)
Varianza residual (Se
2)
1,68
117,86
1,73
Tabla 2: Residuos
Con la determinación de los coeficientes 0 y 1, se construyo el gráfico 1. Con el propósito de
ilustrar, se representaron solamente para nueve pares de valores.
Gráfica 1: Diagrama de dispersión y recta teórica
Los puntos experimentales están distribuidos en torno a la recta de regresión determinada.
A partir de (8), se calculo la suma de los cuadrados de regresión (SSR), cuyo resultado fue: 34,82;
que permitió determinar el estadístico (9)
F
34,82
 20,13
1,73
Se utilizo  = 0,05 y de tabla se obtiene el valor crítico F(1,n-2) =F0,05(1,68) =3,98
Entonces como 20,13 > 3,98 se rechaza la hipótesis de pendiente igual a cero, de manera que la
ecuación (2) se puede utilizar con propósito de predicción.
Comprobando a partir de la distribución t, también se llego a resultados similares.
t
0,43
 1,32 


 188,3 


 4,5  t 2  20,3
Los límites de confianza del 95% ( = 0,05) para la ecuación (2) a partir de (11)
1  t 
2
Se
 1  1,995
. 0,096  0,43  0,19
S xx
Por lo tanto, se pudo obtener un intervalo del 95% de confianza, para que el valor 1, tenga una
pendiente de regresión poblacional en el intervalo (0,24; 0,62)
De manera similar se procedió para el intervalo de confianza de (2), a partir de (12), teniendo en
cuenta que el promedio de las notas del primer examen fue 5,1. De manera que para un intervalo
de confianza pequeño, se tomó x0 = 6.
yˆ x6  3,81 0,43.6  6,4
 1 6  5,12 
  yˆ  1,995.1,32.0,26  yˆ  0,68  6,4  0,68
yˆ  t .Se .  

n
188
,
3
2


Por lo tanto, un intervalo del 95% de confianza para el promedio de notas de exámenes es 5,72;
7,08). Es decir sí se tuvo en cuenta que las notas son números enteros, el intervalo fue (6; 7)
En la gráfica 2 se represento la banda de confianza del 95% para valores de x. Es más ancha en
sus extremos y es más angosta en la parte correspondiente al valor medio de x, porque es un
mínimo que resulta en el intervalo de confianza más angosto. También la banda de confianza a
modo de ejemplo fue realizado con nueve pares de valores.
Gráfica 2: banda de confianza para la recta de regresión
En cuanto al coeficiente de correlación, dio:
r
81,3
 0,48  0,5
188,3.153
El valor hallado representa la intensidad de la relación supuesta entre las notas del primer exámen
y las respectivas del segundo examen. Tanto el coeficiente de correlación, como el modelo de
regresión lineal se miden sobre la misma entidad: x.
CONCLUSIONES
La correlación hallada de 0,5 entre los resultados de las notas del 1° exámen y del 2°
respectivamente, es relativamente alta. Indicando que ambos procesos sumativos de evaluación
están vinculados. Por otra parte, la técnica de regresión utilizada permitió comprobar que es
posible utilizar la ecuación lineal para evaluar las posibles notas previas al examen. De manera que
los resultados puedan ser mejorados buscando técnicas didácticas alternativas para mejorar el
proceso de enseñanza – aprendizaje durante el periodo que transcurre entre el 1° exámen y el 2°.
La metodología mostrada podría ser de aplicación en otras áreas de la ciencia para obtener un
mejor control de la calidad del trabajo docente.
Citas Bibliográficas
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prática docente. Revista Iberoamericana de Educación. N° 42/7. Edita: Organización de Estados
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