Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa APLICACIÓN DEL MÉTODO PROMETHEE EN LA JERARQUIZACIÓN DE TÍTULOS DE UNA CARTERA DE VALORES Nuria Padilla Garrido1 María Teresa Arévalo Quijada2 Flor María Guerrero Casas3 1 Dpto. de Economía e Historia de las Instituciones Económicas Universidad de Huelva 2 Dpto. de Economía Aplicada III Universidad de Sevilla 3 Dpto. de Economía y Empresa Universidad Pablo de Olavide Resumen: La selección de una cartera de valores es un proceso complejo en el que han de evaluarse numerosos títulos en función de criterios en conflicto. La imposibilidad de alcanzar simultáneamente todos los objetivos perseguidos, unido a la falta de un modelo financiero globalmente aceptado, crean la necesidad de innovar el enfoque de dicha selección y convierten a la Decisión Multicriterio en una herramienta complementaria para resolver este tipo de problemas. Con dicho propósito proponemos construir una cartera de valores siguiendo dos etapas, la primera consiste solamente en jerarquizar los distintos activos mediante el método PROMETHEE, y la segunda trata de asignar los porcentajes de inversión respectivos en función de la ordenación cardinal obtenida y del intervalo de variabilidad elegido por el decisor. El primer procedimiento requiere, además, otorgar unos pesos a los diferentes criterios, para lo que puede utilizarse una herramienta, como el método AHP, que realice dicha asignación de una manera fiable con información cualitativa y no cuantitativa. Nuestro trabajo será complementado con una aplicación práctica real que facilite la comprensión de estas metodologías. Palabras clave: Cartera, multicriterio, PROMETHEE, AHP. 575 Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M. 1. INTRODUCCIÓN La llegada de un espectacular flujo de liquidez al mercado bursátil en los últimos tiempos, es un fenómeno ocasionado, entre otras razones, porque la Bolsa sigue siendo una de las mejores fórmulas para rentabilizar el ahorro. Sin embargo, la incertidumbre existente al invertir en este mercado, crea la necesidad de disponer de alguna herramienta básica que oriente a aquellos ahorradores individuales que opten por tomar posiciones directamente en el mismo. En este sentido, si tenemos en cuenta la necesidad del inversor de evaluar numerosos títulos en función de criterios en conflicto, la elección de un método multicriterio como el PROMETHEE (Brans, Mareschal y Vincke, 1984, 1986), puede ser una opción complementaria a la propuesta por los modelos de selección de cartera tradicionales. La necesidad de otorgar unos pesos a los diferentes criterios al aplicar este método, exige, además, contar con alguna herramienta, como el método multicriterio AHP (Saaty, 1977, 1980), que avalado por su éxito empírico, realice dicha asignación de una manera fiable. Pero con la aplicación de estas técnicas sólo conseguimos jerarquizar los títulos atendiendo a los criterios elegidos, siendo necesario completar el problema de selección de cartera mediante la determinación de los porcentajes de inversión en cada uno de ellos, para tal fin empleamos la propuesta de Hens, Pastijn y Struys (1992). La descripción de ambas metodologías y la asignación de los porcentajes de inversión, propios del problema de cartera de valores, se complementará en nuestro trabajo con el desarrollo de una aplicación práctica real, que facilitará la comprensión de lo expuesto y pondrá de manifiesto la ayuda que pueden aportar las técnicas multicriterio al campo de la selección de inversiones. 2. LOS MÉTODOS PROMETHEE Y AHP 2.1. PROMETHEE El método PROMETHEE (Preference Ranking Organization METHod for Enrichment Evaluations), como técnica de decisión multicriterio, trata de establecer, mediante la evaluación en función de k criterios, f1 , f2 , ..., fk , una ordenación jerarquizada 576 Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa en el conjunto A de alternativas. La principal idea que subyace en su filosofía, consiste en enriquecer la relación de dominio existente entre las distintas alternativas, para lo cual desarrolla las siguientes etapas: 1) Definición del criterio generalizado Esta fase requiere que a cada criterio fj se le asocie un criterio generalizado, pj (x), el cual valorará la preferencia de una alternativa a respecto a una b como una función de la diferencia entre evaluaciones, fj (a) - fj (b). Con el propósito de facilitar la elección de un criterio generalizado asociado a cada criterio, Brans et al (1984) proponen seis tipos diferentes1 (véase Figura 1), para cada uno de los cuales, el decisor deberá fijar, como máximo, el nivel de dos parámetros de claro sentido económico. Dichos parámetros son los siguientes: q (umbral que define el área de indiferencia), p (umbral que define el área de preferencia estricta) y s (parámetro que relaciona los valores de p y q). Figura 1. Tipos de criterios generalizados 2) Construcción del índice de preferencia multicriterio El paso siguiente consiste en definir un índice de preferencia multicriterio, π(a,b), que mida el grado en que a es preferido a b en todos los criterios: π(a, b) = ∑ w j P j (a , b ) k j=1 k donde wj > 0 (j=1, ..., k) es el peso de importancia asociado2 al criterio j, siendo ∑ w j = 1 . j =1 577 Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M. 3) Adopción de la decisión final Se consideran dos flujos de ordenación, el saliente y el entrante, que reflejan el grado en que una alternativa i domina o es dominada por las restantes, y que se definen 1 ∑ π (i, x) n- 1 x∈A 1 + φi = ∑ π (i, x) n- 1 x∈A respectivamente del siguiente modo: − φi = El flujo de orden saliente representa el carácter dominante de una alternativa, su poder dominador, por ello será mejor aquella alternativa que tenga mayor flujo de orden saliente. El flujo de orden entrante representa la debilidad de una alternativa, en tanto es dominada por las demás, así será mejor aquella alternativa que tenga un flujo de orden entrante más pequeño. A través de estos dos flujos se puede definir un orden parcial entre las alternativas (Método PROMETHEE I), pudiéndose producir incomparabilidades entre ellas. Para obtener una ordenación total de las alternativas (Método PROMETHEE II) se define el denominado flujo neto de orden: φa = φa+ - φade modo que, una alternativa a superará a otra b si φa > φb y serán indiferentes si φa = φb. Este flujo de orden neto elimina el problema de las incomparabilidades entre alternativas, aunque se pierda parte de la información proporcionada por los anteriores flujos. 2.2. AHP A finales de la década de los 70, Thomas L. Saaty, propuso uno de los métodos multicriterio más conocidos hoy en día, el Analytic Hierarchy Process o AHP. En este artículo, lo emplearemos, exclusivamente, para determinar los pesos asociados a los criterios para implementar el método PROMETHEE. La ventaja de la utilización de este procedimiento está en la utilización de información cualitativa en términos de “importancia extrema”, “importancia moderada”, “importancia débil”, etc. 578 Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa Para resolver este subproblema, una vez estructurado el problema a modo de jerarquía, se realiza un análisis en el que mediante pares de comparaciones, denominadas «comparaciones pareadas», se mide la importancia relativa de los elementos de un nivel de la jerarquía con respecto a los del nivel superior. Fruto de las mismas surgen unas matrices, A, las cuales reciben el nombre de «matrices de comparaciones pareadas». En una fase posterior, la determinación del principal autovalor de cada matriz A, λmax, permitirá resolver una serie de problemas del tipo A w = λmax w, donde cada vector w se denominará «vector de prioridades relativas». La agregación multiplicativa de estos últimos entre niveles jerárquicos, permitirá obtener, finalmente, los pesos buscados. 3. ORDENACIÓN DE TITULOS SEGÚN DIVERSOS CRITERIOS Cuando un inversor decide repartir su presupuesto de inversión entre distintos títulos, trata de combinarlos de modo que la cartera resultante le proporcione la máxima rentabilidad y liquidez y el mínimo riesgo. La resolución de este tipo de problemas de carácter multicriterio exige, en primer lugar, disponer de una metodología adecuada. En este sentido, el método PROMETHEE puede aportar algunas ventajas para ordenar previamente los títulos, entre las que destacan disponer de un software especítico, PROMCALC (PROMethee CALCulations) y de un modelo visual asociado, GAIA (Geometrical Analysis for Interactive Aid), que facilitarán su aplicación, incluso al usuario que no conoce los fundamentos matemáticos que lo sustentan. La aplicación del método PROMETHEE comienza por la construcción de una matriz de decisión (véase Figura 2), en cuya parte superior, el decisor deberá recoger los siguientes aspectos: 1. Los criterios de decisión. Optamos por seleccionar cinco indicadores: la rentabilidad histórica y el PER (indicadores de rentabilidad), la beta y la volatilidad (indicadores de riesgo) así como el volumen de contratación (indicador de liquidez), que actuasen como criterios de decisión y permitiesen valorar a los títulos en función de los objetivos perseguidos. 2. El tipo de criterio generalizado asociado a cada uno de los criterios. Una vez decidida la maximización o minimización de los criterios anteriores, seleccionamos, de acuerdo con los 579 Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M. seis tipos diferentes de criterios, el tipo III para la rentabilidad histórica y el PER mientras que el tipo II para los criterios restantes. Se han elegido estos tipos a modo de ejemplo, pero pueden elegirse cualquiera de las seis propuestas de acuerdo con las preferencias de un supuesto decisor. 3. El valor de los parámetros asociados a los criterios generalizados (en nuestro caso se seleccionaron p=5, p=3, q=0.2, q=3 y q=100, respectivamente). Así, por ejemplo, el valor p=5 asociado al primer criterio indicaría, que al comparar dos títulos, el inversor prefiere uno estrictamente al otro siempre que la diferencia entre sus rentabilidades históricas supere el 5%, mientras que en caso contrario, sólo existiría una preferencia lineal entre ambos. Sin embargo, para un criterio generalizado del tipo II, como el asociado a la volatililidad, el parámetro q debería interpretarse como un umbral de indiferencia, por debajo del cual, siempre que la diferencia entre las volatilidades de dos títulos sea menor o igual a un 3%, ambas alternativas serían indiferentes. 4. Los pesos asignados a los criterios, que previamente vamos a calcular mediante el procedimiento AHP. En la parte inferior de dicha matriz de decisión, se reflejarán el conjunto de alternativas de inversión así como la evaluación de las mismas en función de los criterios seleccionados (para ello se obtuvieron datos pertenecientes al año 1998 tanto en la Revista de la Bolsa de Madrid como en el Departamento de Información y Promoción de la misma). 580 Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa Una vez completada la matriz, sería interesante conocer la ordenación total de las alternativas por medio del método PROMETHEE II, tal y como refleja la Figura 3. Figura 2. Matriz de decisión del problema de selección de carteras Figura 3. Ordenación total de las alternativas y flujos netos de orden La adjudicación de unos pesos concretos a cada uno de los criterios juega un papel crucial en la obtención de este resultado final, por eso cuando el decisor no puede establecer con exactitud dichas ponderaciones, un análisis de sensibilidad mediante la obtención de los «intervalos de estabilidad», será de vital importancia, ya que nos permite conocer los valores entre los cuales puede variar un peso, permaneciendo constantes los demás, de modo que la ordenación final de títulos no se altere (véase Figura 4). Este tipo de análisis puede enriquecerse, además, mediante la matriz de correlaciones entre criterios (véase Figura 5). En nuestro ejemplo, merece la pena destacar la elevada correlación existente entre los dos criterios relacionados con la rentabilidad (0,67 entre rentabilidad histórica y PER), así como entre los criterios representativos del riesgo (0,72 entre beta y volatilidad). 581 Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M. Figura 4. Intervalos de estabilidad de los pesos asociados a los criterios Figura 5. Matriz de correlaciones 4. CONSTITUCIÓN DE LA CARTERA DE VALORES El principal inconveniente del método PROMETHEE en la resolución de un problema de inversión como el nuestro, es que el resultado provoca una ordenación total de las alternativas, pero no una guía que nos oriente sobre cómo distribuir nuestro presupuesto entre los distintos activos, que es lo que verdaderamente constituye el problema de selección de cartera. En este sentido, siguiendo la propuesta realizada por Hens, Pastijn y Struys3, la información proporcionada por los flujos netos asociados a cada alternativa 582 Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa puede ser muy útil, ya que si consideramos que éstos varían en la escala [-0,60272, 0,62455], ésta, a su vez, puede transformarse en otra escala de tipo porcentual, que conserve los tamaños relativos del intervalo y en donde cada título lleve asociado un nuevo valor de acuerdo con el flujo neto asociado por PROMETHEE II. Así, denominando pi al porcentaje de inversión en el título i, dicho valor se obtendría mediante la siguiente fórmula de transformación lineal: pi = pmin + pmax - pmin ( φ i - φ min ) φ max - φ min i = 1, ... , 12 (1) y considerando además que el presupuesto de inversión ha de repartirse entre los distintos títulos, o sea: 12 ∑ p =1 (2) i i =1 obtendríamos un sistema de 13 ecuaciones ((1), i = 1, ..., 12 y (2)) con 14 incógnitas: pmax, pmin, pi (i=1, ..., 12), el cual resolveríamos simplemente dando un valor a cualquiera de ellas en función de las preferencias personales del decisor. Así, por ejemplo, si el decisor establece que el porcentaje máximo que desea invertir en un determinado título es del 15% con el objetivo de diversificar entre las distintas alternativas disponibles, o sea, pmax=15%, y exigiendo, lógicamente, que la inversión en cada título sea, al menos, igual a cero, nuestro sistema tendría una solución única, que nos indicaría el porcentaje a invertir en cada uno de los 12 títulos: Títulos A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 Porcentaje 1,9 8 9,9 4,4 2,2 10,1 2,5 12,1 11 15 14,6 8,3 4. CONCLUSIONES Si tenemos en cuenta que no existen aún claves automáticas para ganar invirtiendo en Bolsa, las múltiples polémicas suscitadas en torno a los modelos de cartera deben motivarnos en la búsqueda de nuevos planteamientos y nuevas técnicas que complementen las utilizadas tradicionalmente, como son los procedimientos de decisión multicriterio. 583 Padilla N., Arévalo M.T., Guerrero F.M. Mediante la aplicación del método PROMETHEE se ha querido recoger la decisión del inversor con criterios en conflicto cuando pretende evaluar títulos. Esta acción es llevada a cabo antes de determinar la cartera de inversión final. La aplicación de dicho método refleja, por una parte, la amplitud de las desviaciones en las evaluaciones de cualquier par de alternativas, también, es independiente de las escalas elegidas para los distintos criterios y, además, incluye parámetros técnicos de claro significado económico. Por último, la utilización del criterio dado por Hens, Pastijn y Struys para determinar los porcentajes de inversión entre los títulos elegidos y ordenados, dependiente de la escala de variabilidad impuesta por el decisor, nos lleva a una cartera de inversiones distinta de los modelos tradicionales y cuya construcción es relativamente sencilla. BIBLIOGRAFÍA BOLSA DE MADRID (1999): “Información Estadística”, Bolsa de Madrid, nº 73, pp. IXXIV. BRANS, J. P., MARESCHAL, B. y VINCKE, P. H. (1984): “PROMETHEE: a new family of outranking methods in multicriteria analysis”, en: J. P. Brans (ed.), Operational Research´84, North-Holland, pp. 477-490. BRANS, J. P. y VINCKE, P. H. (1985): “A preference ranking organization method, the PROMETHEE method”, Management Science, vol. 31, pp. 647-656. BRANS, J. P., VINCKE, P. H. y MARESCHAL, B. (1986): “How to select and how to rank projects: The PROMETHEE method”, European Journal of Operational Research, vol. 24, pp. 228-238. HENS, L., PASTIJN, H. y STRUYS, W. (1992): “Multicriteria analysis of the burden sharing in the European Community”, European Journal of Operational Research, vol. 59, nº 2, pp. 248-261. SAATY, T. L. (1977): “A scaling method for priorities in hierarchical structures”, Journal of Mathematical Psychology, vol. 5, pp. 234-281. SAATY, T. L. (1980): The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, Nueva York. SAATY, T. L., ROGERS, P. y PELL, R. (1980): “Portfolio selection through hierarchies”, Journal of Portfolio Management, vol. 6, nº 3, pp. 16-21. 584 Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa FUENTES DOCUMENTALES Departamento de Información y Promoción de la Bolsa de Madrid 1 No obstante, hay que destacar que este conjunto de seis criterios generalizados no es exhaustivo y que el decisor podrá considerar otros tipos diferentes de acuerdo con sus propias exigencias personales. 2 Debemos poner de relieve que dichos pesos son números reales positivos que no dependen de las escalas asociadas al criterio. 3 Véase Hens, Pastijn y Struys (1992), pp. 256-257. 585