s2-op07 determinación del módulo de young en nuevos materiales

DETERMINACIÓN DEL MÓDULO DE YOUNG EN MATERIALES
ELASTÓMEROS DE FORMA IRREGULAR UTILIZANDO TÉCNICAS ÓPTICAS
J. A. Rayasa, R. Rodríguez Veraa, Amalia Martíneza, Oliverio Rodríguezb
a
Departamento de Metrología Óptica, Centro de Investigaciones en Óptica A. C.
Loma Del Bosque 115, C. P. 37150, León, Gto. jrayas@cio.mx
b
Centro de Investigación en Química Aplicada. Blvd. Enrrique Reyna 140, C.P. 25100 Saltillo, Coah.
RESUMEN
Se describe una técnica óptica en la que se determina el módulo de Young de muestras de nuevos polímeros
elastómeros. La técnica considera la construcción de una pequeña máquina de tracción que sirve para aplicar
cargas tensionantes sobre las muestras. Construyendo un interferómetro de iluminación dual y aplicando la
técnica ESPI, fue posible medir las deformaciones. Dado que el esfuerzo está determinado como fuerza por
unidad de área y dado que las muestras tienen un área transversal irregular, se implementó la técnica de
contorneo por proyección de autoimágenes de Talbot para determinarla.
1
INTRODUCCIÓN
Las máquinas de ensayos mecánicos, ahora computarizadas, someten a cargas controladas a una probeta
estandarizada bajo un procedimiento también estandarizado llamado ensayo. A partir de la medición de la
carga aplicada, la deformación resultante y la geometría de la probeta, es posible determinar características
mecánicas como el módulo de Young1 y la razón de Poisson, importantes en el estudio, caracterización y
aplicación de los materiales. Cabe señalar que la medición de los resultados del ensayo la realizan aparatos
específicos; para medir la carga aplicada se usan celdas de carga y para cuantificar las deformaciones se usan
extensómetros, cuyo funcionamiento puede estar basado en principios mecánicos, eléctricos, ópticos o
combinaciones de éstos. Las técnicas ópticas son de gran utilidad cuando los objetos bajo prueba tienen un
módulo de elasticidad pequeño, es decir que con poca carga se deforman mucho, pues no entran en contacto
directo con el objeto y por lo tanto no lo deforman al intentar medirlo 2. La interferometría electrónica de
patrones de moteado3 (ESPI, por sus siglas en inglés: Electronic Speckle Pattern Interferometry), es ideal para
ser usada como extensómetro en la medición de deformaciones sobre materiales superelásticos. Los
extensómetros interferométricos tienen la ventaja de medir deformaciones sobre toda la superficie del
espécimen, además de hacer medidas más fieles de las deformaciones. En el caso que nos ocupa, contamos
con 3 muestras poliméricas en forma de barra (un tanto irregular) que imposibilita la determinación del
módulo de Young por medio de un ensayo estandarizado, por lo que fue necesario construir un dispositivo
electromecánico para tensionar las muestras. También se implementó la técnica de Interferometría de Talbot4
que nos permitió recuperar fielmente la topografía de las muestras y así determinar el área sobre la que actúa
la carga, necesaria para determinar el módulo de Young de las muestras. Cabe señalar que en el presente
trabajo no es materia de interés la composición del polímero ni las posibles aplicaciones que pueda tener.
2
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1
MÓDULO DE YOUNG
La elasticidad es la propiedad que hace que un cuerpo, que ha sido deformado, regrese a su forma original
después de que se han removido las fuerzas deformadoras. La ley de Hooke dice que el esfuerzo es
proporcional a la deformación, esta relación es fácilmente identificable en un diagrama esfuerzo-deformación
desde el origen y hasta llegar al límite de elasticidad, puesto que es la única sección recta del diagrama. Esta
constante de proporcionalidad fue calculada a principios del siglo XIV por Thomas Young 5; por lo que es
llamada módulo de Young ó módulo de elasticidad del material en cuestión y está dado por1:
E=

.

(1)
donde  es el esfuerzo unitario y  es la deformación unitaria.
El esfuerzo es una consecuencia de las fuerzas internas que se producen en un cuerpo por la aplicación de
cargas exteriores. A la intensidad de la fuerza por unidad del área transversal (en la que actúa la fuerza) se le
llama esfuerzo unitario. Si la resultante de las fuerzas aplicadas pasa por el centroide de la sección
considerada, se puede usar la siguiente expresión1:
P
(2)

A
donde P es la carga aplicada y A es el área sobre la cual actúa la carga.
Por su parte, la deformación unitaria se define como el cambio en la longitud por unidad de longitud, si el
objeto sometido a tensión tiene una sección transversal constante, se puede expresar como 1:

donde  es la deformación total y L la longitud original.

(3)
L
2.2
INTERFEROMETRÍA TALBOT
Cuando se coloca un patrón de franjas periódico al paso de un haz monocromático colimado se puede
observar que a ciertas distancias periódicas se forman imágenes idénticas a la rejilla original. A esto se le
conoce como Efecto Talbot (autoimágenes de Talbot) y es provocado por la difracción que sufre la luz al
pasar por la rejilla. Tomando como referencia la rejilla física, los planos donde se forman las autoimágenes se
pueden localizar con la siguiente relación4:
k 
 
k p2
(4)

donde k = 1,2,3,… (orden de los planos de Talbot), p es el periodo de la rejilla de difracción y  es la
longitud de onda de iluminación.
PC
CCD
Montura
a pasos
Láser
Filtro
Espacial
Lente
Colimador
a
Rejilla de
Ronchi
Espejo

Objeto
Fig. 1. Esquema para interferometría Talbot
2.2.1
Contorneo por proyección de autoimágenes de Talbot
Formando una de estas autoimagen de Talbot sobre un objeto, se puede observar que la rejilla se deforma de
acuerdo a la topografía del objeto. Esto hace posible aplicar la teoría de contorneo electrónico de moiré 6 y así,
recuperar la forma del objeto a partir de la deformación de la autoimagen. La rejilla deformada es captada con
un CCD y superpuesta con una rejilla ya sea física o sintética de la misma frecuencia, pero sin deformación,
obteniendo un patrón de moiré que contiene la información del relieve del objeto. La distancia entre franjas
del patrón de moiré, representa una medida de la variación del relieve del objeto dada por 6:
z 
np
,
sin 
(5)
donde n es el orden de franja de moiré,  es el ángulo de iluminación con respecto al eje de observación y p
es el periodo de la rejilla que genera la auto imagen.
Existen técnicas computacionales para calcular el valor de z en cada píxel de la imagen captada por el CCD
llamadas técnicas de calculo de fase7. Para demodular los patrones de franjas deformados se utiliza la técnica
conocida como “cálculo de la fase por portadora lineal espacial (método directo) 8” que se basa en la idea de
recuperar la información (en nuestro caso de forma) que se encuentra modulada en una señal portadora (el
patrón de franjas proyectado). El mapa de fase está dado por 8:
 S x, y  

 C x, y  
 x, y   tan1 
(6)
donde S(x,y) es el resultado de multiplicar el patrón de franjas por el seno de la señal portadora (conocida) y
C(x,y) de multiplicarlo por el coseno. Como es conocido, las técnicas para el cálculo de la fase que utilizan la
función “arcotangente” en el proceso de demodulación, arrojan un resultado llamado “fase envuelta” haciendo
necesaria la implementación de técnicas de desenvolvimiento de fase. En el presente trabajo utilizamos la
técnica conocida como: “Regularized phase tracking unwrapper 7”. Después de este proceso se puede obtener
un mapa con la forma en medidas reales del objeto al rescribir la ecuación 5 como:
z ( x, y) 
 ( x, y) p
2 sin 
(7)
2.3
INTERFEROMETRÍA ELECTRÓNICA DE PATRONES DE MOTEADO (ESPI)
El moteado es un efecto que se puede observar cuando iluminamos una superficie rugosa con un haz de luz
coherente8. La iluminación es reflejada desde la superficie rugosa del objeto hacia todas direcciones haciendo
interferencia aleatoria y formando el patrón de moteado. Los métodos de interferometría de moteado se basan
en la adición de un segundo frente de onda (de referencia) al patrón de moteado del objeto9, por lo que el
patrón de moteado estará formado por la interferencia de dos haces coherentes entre sí. Cuando el objeto sufre
deformaciones, la intensidad en el patrón resultante depende de la distribución relativa de la fase de la adición
de los haces9.
Lente
colimadora
x
y
z
P

k1 
 S
k2
Filtro
espacial
Espejo
Divisor
de haz

CCD
Objeto
Láser
Fig. 2. Interferómetro ESPI de iluminación dual
Los patrones de motas son registrados electrónicamente por una cámara digital. Cuando el patrón de moteado
deformado es comparado con el patrón inicial (correlación), mediante la sustracción digital de intensidades;
tenemos como resultado la aparición de un conjunto de franjas claras y obscuras que corresponden a los sitios
de diferencia de la fase igual entre los frentes de onda9. Esta diferencia de fase () se relaciona con la
diferencia de camino óptico introducido por el movimiento de la superficie9, haciendo posible su
cuantificación. En la figura 2 se muestra el diagrama de un interferómetro sensible a desplazamientos en el
plano. Según esta geometría la componente de deformación en el plano puede ser calculada como3:

n
,
2 sin 
(8)
donde  es el cambio en la longitud y n es el número de franjas en el patrón correlacionado.
3
RESULTADOS EXPERIMENTALES
3.1
ÁREA TRANSVERSAL DE LAS MUESTRAS
Las 3 muestras bajo estudio (figura 3) están hechas de un polímero que se encuentra actualmente en fase de
prueba; es por esto que se pretende caracterizar algunas de sus propiedades mecánicas. Dichas muestras están
depositadas sobre una base plana, por lo que únicamente se recuperó la topografía de una sección central (3
cm) de la cara superior. Para lo cual, se construyó un arreglo óptico, similar al de la figura 1, que nos permitió
aplicar la técnica de interferometría de Talbot. Con ángulo de iluminación  = 26° y una rejilla de ronchi con
una frecuencia de 50 líneas por pulgada. Una vez obtenida la forma de la superficie, se tomó el promedio de
los perfiles y se determinó el área bajo la curva; correspondiente al área de interés como se muestra en la
figura 4.
7 cm
3 cm
Fig. 3. Muestra bajo estudio
M1
14.6mm2
M2
11.3mm2
M3
3.2mm2
Fig. 4. Graficas tridimensionales de la topografía de las muestras y gráficas del perfil promedio
mostrando el área de interés. M1 = muestra 1, M2 = muestra 2 y M3 = muestra 3.
3.2
MÓDULO DE YOUNG
Con la finalidad de utilizarse como extensómetro, se construyó un interferómetro de iluminación dual con
sensibilidad a deformaciones verticales, como el presentado en la figura 5. Se utilizó un láser con  = 633 nm
iluminando a un ángulo  = 3.8°. La muestra se posicionó en el área de interferencia sujetando uno de sus
extremos a un dinamómetro digital fijo y el otro extremo se sujetó a una montura de desplazamientos
controlada por un motor a pasos. Al accionar la montura, la muestra se estira produciendo los patrones de
franjas (ver figura 6) que cuantifican la deformación, mientras que el dinamómetro indica la fuerza que se está
aplicando. Con la carga aplicada y el área transversal, medida anteriormente, se determina el esfuerzo, se crea
el gráfico esfuerzo deformación (figura 7) y se determina el módulo de Young que es la pendiente de la línea
graficada.
M1
 (Pa)
Fig. 5. Fotografía del arreglo montado para ESPI.
M2
M3
Fig. 6. Patrones de franjas resultantes
1600
Muestra 3
E = 1288.5 KPa ± 150.5 KPa
1400
1200
Muestra 2
E = 1178 KPa ± 136 KPa
1000
800
600
Muestra1
E = 960 KPa ± 73.7 KPa
400
200

0
0
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001
0.0012 0.0014
e
Fig. 7. Diagrama esfuerzo deformación y módulo de elasticidad de las tres muestras bajo estudio
4
CONCLUSIONES
Fue posible determinar el módulo de Young de las 3 muestras poliméricas al implementar la técnica óptica de
interferometría electrónica de patrones de moteado (ESPI) como extensómetro en un ensayo mecánico
tensionante. Este ensayo se diseño exclusivamente para el tipo y geometría de los muestras. Al calcular los
esfuerzos producidos en el ensayo, se observó que la forma irregular de las muestras hacia complicada la
medición del área sobre la que actúan las cargas por medios mecánicos, por lo que se implementó otra técnica
óptica, ahora para recuperar la forma de las muestras y así medir el área de interés. La técnica de proyección
de autoimágenes de Talbot fue implementada para este caso.
En la figura 6 (M3) se puede observar que la muestra tiene un defecto en la parte central, el cual se puede
observar a simple vista, pues el periodo de las franjas no es constante; en la parte central es menor que en la
parte superior. Esto influye en el valor del módulo medido.
BIBLIOGRAFÍA
1. Robert W. Fitzgerald, Mecánica de Materiales, Alfaomega, México D.F., (1998).
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3. Rajpal S. Sirohi, Speckle Metrology, [Editor], Marcel Dekker, New York, (1993).
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Mendoza-Santoyo; Journal of Modern Optics, 1991, Vol. 38, No. 10, 1935-1945.
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(1994).
6. R. Rodríguez-Vera, “Three-dimensional gauging by electrónic moiré contouring”, Rev. Mex. Fis. 40, No.
3 (1994) 447-458.
7. D. Malacara, M. Servín, Z. Malacara, “Interferogram analysis for optical testing”, Marcel Dekker Inc.,
1998, pp. 393-397.
8. K. J. Gasvik, “Optical metrology”, Third edition, John Wiley & Sons, LTD., 2002, pp. 289.
9. R. Rodríguez-Vera, J. A. Rayas, Amalia Martínez y A. Dávila, Algunas Aplicaciones Industriales de la
Interferometría Electrónica de Patrones de Moteado, Simposio de Metrología, CENAM, Querétaro,
(2001) D3-6.