147 Rtvisla Mexicana de Física 31 No. 1 (1984) 141.182 EL CAMPO MEDIO EN LA FISICA CUANTICA DE MUCHOS CUERPOS Manuel de Llano de la Garza Instituto de FTsica y Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autónoma Apartado 01000 de México Postal 20-36~ México 20. n.F. (recibido mayo 29, 1984; aceptado junio 19, 1984) REStJ.lEN A manera de introducción al problema cuántico de muchos cuerpos exponemos de forma panorámica la clase de teorías más elementales, llamadas de "campo medio". En ellas caben: i) la teoría del gas ideal de fermiones que implica de manera muy.simple la estabilidad de estrellas enanas blancas y de neutrones, ii) la aproximación de Hartree-Fock para sistemas termodinámicos que se ilustra aquí en el contexto de la transición de fase a un cristal-líquido, y iii) la teoría de Thomas-Fermi que se aplica a la ener gía de amarre total de los átomos neutros. ABSTRACf As an introduction to the quantum problem of many bodies we 148 present a panoramic view of the most elementary theories called mean field theories. They comprise: i) the fermions ideal gas theory which implies, in a simple manner, the stability oi white dwarf stars and oi neutron stars, ii) the Hartree-Fock approximation for thermodynamical systems which 15 presented here in the context oi a liquid-crystal phase transition, and lii) the Thomas-Fermi theory which i5 applied to the total binding energy oi neutral atoros. 1. lNfROOOCClON Es bien sabido que la ecuaci6n fundamental de la mecánica cuántl ca no-relativista, la ecuaci6n de SChrBdinger, admite soluci6n analítica o bien por métodos gráficos, 5610 para el problema de un solo cuerpo. Los poquísimos contra-ejemplos a esto lo constituyen algunos problanas.de muchos cuerpos exactamente solubles, pero hasta la fecha éstos representan modelos (hamiltonianos) demasiado esquemáticos y en dimensionalidad menor que tres, y JX>r tanto poco realistas. Gracias al advenimiento de computadoras electrónicas rápidas viene siendo factible resolver, por 10 menos p! ra el estado base, la ecuaci6n de SChrBdinger para centenares de partículas, principalmente bosones, que interactúan en tres dimensiones con fuerzas realistas. Estos métodos numéricos son los de Mbnte carIo, basados en la funci6n de Green (GFMC) del problema de N cuerpos, (1) y ofrecen una ve! dadera riqueza de "datos experimentales" frente a los cuales se puede comparar y comprobar la validez de las distintas teorías y aproximaciones de la ecuaci6n de SChr&:linger de ruchos cuerpos en interacción. De todas estas teorías trataremos aquí s610 las más elementales, que son las que po_ drían llamarse de "campo medio", en analogía a la teoría de van der Waals para la descripci6n de fluidos clásicos. Esperamos que esta exposici6n sirva de introducci6n al problema cuántico de muchos cueIlJos. Pn la secci6n 2 desarrollaremos algunos resultados algebraicos relacionados con la antisimetría de fermdones; en la 3 deducimos la ecuaci6n de estado de los gases ideales fermi6nicos y bos6nicos en su estado fundamental; en la 4 aplicarnos ideas de gas ideal (es decir, sin interacciones) de fermiones a la estructura estelar de enanas blancas y estrellas neutrónicas; en la 5 planteamos la aproximaci6n de Hartree-Fock y la ilustramos con una aplic~ ci6n a la transición de fase al cristal-líquido; en la 6 desarrollamos la 149 teoría de Thomas-Fenni, aplicándola a los átomos neutros; y en la 7 prese,!!. tamos algunas conclusiones. 2. Es conocido DETER.'l1NANrES DE SLATER que si teneros lDl sistema de N cuerpos idénticos, la ftmci6n de onda (empíricamente) será simétrica o antisimétrica ante la tra~ posici6n en ella de todas las coordenadas de dos partículas cualesquiera. El caso simétrico deja la ftmci6n de onda variante ante la trasposici6n y se refiere a partículas llamadas basones (de espín intrínseco ~). en tanto que el caso antisimétrico hace que cambie de signo la ftmci6n y de~ cribe partículas llamadas fermiones (de espín intrínseco semi-entero). Si dispone""s de un conjunto completo de ftmciones {~k(i=)l ('.9., de ondas planas) en términos de los cuales podernos desarrollar, e.g., w(r) de una partícula en un potencial cualquiera las eigenftu1ciones (si las eigenfuncioncs obedecen las mismas condiciones a la frontera que las funciones ~k (r)) , el conjunto de todos los posibles determinantes (1) _ (N!)-l ~ (r)~ (r).... ~ (r) kl N k2 N kN donde P = (-)p perrnutaci6n par o impar, "estados" k e. g., ; i será un conjunto eigenflD1ci6n antisimétrica. r. 6 - , sobre las coordenadas 1 o los ki:: (ni 2.im), completo \l.t(r¡, = + r2' .. " en términos del cual podremos r ), de lD1 h3miltoniano N desarrollar de N cuerpos, una que sea Es fácil ver que los determinantes (1) estarán normaliza- dos si las orbitales ~k(r)10 están, es decir, si 150 J <k Ik>= d'r¡I/\ ~ ) . ij + (r,)1il (r,) k. 1 <~ IIII~>de IDOS, (i,j 1,2, ... ,N) , 1) Un solo detenninante la expresi6n = ó .. ~ del conjlIDto (infinito) (1) podría utilizarse para calcular por el teorema de Rayleigh-Ritz, representado Con esto tendria- una cota r~rosa descrito superior '.9., la energía cinética 2 «v 1. 1. y - ~ ¿m la energía potencial ~ V(r .. ), cal . L. 1<) i=j los valores esperados de los operadores N F - 1) gen6ricos: N r fi G = ¿ i=l donde i,j a la ene! por ese hamiltonia- H en general está compuesto por operadores de uno y dos cuerpos, COTID eulemos por el valor esperado lIDhamiltoniano H de N cuerpos cualquiera. gía del estado flIDdamental del sistema físico no. (2) ) = O(i f j) = l(i=j), Ó + . (3) gij i<j 1,2, ... ,N son índices de partícula. Entonces, si P y P' se refieren a transposiciones que act6an sobre los conjuntos idénticos (sa1va por orden) {kiJ y {k¡J respectivamente, = ¿ (-) P+P' 1 = NI PP' J J' + d'r, ••• d'rN~l(r,)"'lilk P,P' + I-":p,p' ( d'r J * ..• Iil (r)1il N k N N 1 -+ k' N (r) p+p' : ------ ¿ (-) (N-l)! (r+N) N p+p' J • I (-) PP' d'r¡~k (r,)f,~.(r,) 1 1 N := • P,P' PP' N + J d'r2~ • + 2 (r,)~.(r2) 2 + _ 151 donde en el penÚ1timo paso se us6 el hecho que los indices i,j li' lj de son mudos yen el Ú1tirrDpaso se emplea la supuesta normalizaci6n Luego (2). (4 ) es decir, el valor esperado, que al principio era una integral de orden 3N, se reduce ahora a una suma de N términos de integrales de orden 3, pues (5) Análogarrente, <~IGI~>= = 1 1" 1 nr j'';: para el operador p+p I (-) P,P' I I de dos cuerpos f ( PP Jd'r, ••• d'rN G tendremos • \' k k."k'k' l 2 1 2: (6) donde hemos definido la integral sextuple (7) Observaws que la integral original de N(N-l) integrales de orden 6. de orden 3N se ha reducido a lUla suma 152 3. GAS lDEAL DE F£Rr.lIONES y DE BOSONESEN SU ESTADOFUNDAr-IENTAL Las eigenflll1ciones unidimensional de longitud 1- ljl (x) = k nonnalizadas de lUla partícula en lllla "caja" L son eikx /[ L (8) <k/k'> "Jdxljl* (x)1jl (x) Imponiendo • o = r 1 k k' e i (k I -k) L _ 1 i(k' - k) a la caja condiciones peri6dicas se tiene eikL = 1 ljl (x) " ljl (x + L) => k a la frontera k por lo tanto kL (n 2m = O, :tI, !2, ... La suma sobre k de tul. ftulci6n f(k) será, I f(k) I - n=O,::!:1,:!:2, k L 2n M inmediata la completitud 1: & f(k) L k (10) 2n T ni (i=x,y,z) J( dk 1 re ik (x' tenemos - x) que " ó (x - x') (11) para ondas planas. En tres dimensiones = 2n de este resultado L i le. ( 2n k = ••• como M " 1, J dkf(k) Como aplicaci6n es decir, '"f(n) (9) ) tendremos, con TI i en vez de la (9), O,:!: 1, :!:2, ... Entonces, en 153 vez de la Ec. (10), se tiene que If(k) r;;t (12) li,,]'Jd 'k f(k) k Consideremos ahora N partículas determinante (1) compuesto libres de spin 1/2 descritas por N orbitales ortogonales. por lUl 5610 El principio de autornfrticamente satisfecho, ya que el detenninante se anula si dos columnas cualesquiera son idénticas, es decir, si dos part1c~ Pauli queda entonces las ocupan el mismoestado cuántico. orden del determinante, El número N de partículas, ser~ ahora la SlD11a finita que es el dada por el número de 6r bi tas ocupadas: N LL a L 1 - k (ocC:) 1 ~v ~ bcc) Lo+- 00 f [L " 5J d'k =...:!L (2n) k <k 4r. k' 3 3 . (13) F F Aquí v es la ocupaci6n máximade cada 6rbita trones o neutrones polarizados, especial, 2 para neutrones y sería o electrones 1 para ele~ no polariza- dos (por las 2 posi,bles orientaciones de su esp!n), 4 para nucleones (pues cada nucleón puede ser neutr6n o prot6n), etc. Y k será el radio máximo F (llamado de Fenni) que se ocupa en el espacio V" L' es el volurren total (kx' ky' k,) en tanto que ocupado por los N fenniones .. La densidad de nQ mero no será entonces no " N/V = vk'/6n' (14 ) p Por otro lado, la energía total del sistema de fermiones libres es por definici6n energía cinética pura, o bien N <T> " <$1 - ~ L i=l ~2 2m L ~ V' 1 <k,alv~ 1$ > ~ IKI0> (15) k1,0 donde en el último paso usamos la Ec. (4). Ahora bien, por la Ec. (8) 154 ~ alv: <k1 ~ ~ 1 ( ¡¡(,a> "y J - ik 1 • r 1 d'r,e v k' = - .; f dr 3 J :: k~ - (16) v Por consiguiente. la energfa (cinética) por partfcula se reduce, si emple~ mos la (12), a -1 <T>/N= N h2 1iñ ...•.L , .1 v-+&. N kl h2 2m 1 VI , d'k k' ' J (h) , kl,o k1<k F _, h' vV 4n N -'---k' 2m (2n)' 5 3 h'~ r 3 - 2m 5 (17) °r 5 donde en el pen61timo paso se us6 la Ec. (14). La energfa o se llama la r máximaque puede poseer lOla paE. energía de Fermi y es la energía cinética tículu; la energía promedio es ~ntonces 3/5 de este valor máximo. mente, la energía por partícula en función de la densidad cir, la ecuaci6n de estado del gas ideal de felmiones Final- n," ~ • es de- será, usando la Ec. (14) en la Ec. (17), , ev n', Notemos que este resultado (18) riguroso se entiende heurísticamente nos de la relaci6n de incertidtmibre de Heisenberg (6pllX.tfij2) . . (6p), h' gia cinétIca por partícula sería entonces'\; -2.S ( 2 m m lIX) identificamos la longitud lIXdisponible pr()fredioentre partículas ecuación de estado referida "'(V/N) 1 3 = no a una partícula , -'o a temperatur3 en t~rmi- , pues la enerh'n j -.::-.::.L-, si m 8 con la separación La Ec. (18) es entonces la absoluta ~ es decir, al est~ do fundamentaldel gas ideal de feD,I\iones. Para bosones en vez de los determinantes (1) tendríamos pennanentes, o sea cido al (1) salvo que al desarrollar orbitales lU1 arreglo de orbitales todos los Ni términos (de N factores cada uno) llevan signo positivo. El permanentees entonces s~ trico ante el intercambio de dos colunmas cualesquicl"a, es decir, transposici6n de dos partículas par::, , ante la entre dos estados k., k.)cualesquiera. Pe 155 ro ade~~s,no hay ahora principio de exclusi6n de modo que podemos colocar todos los N bosones en el estado orbital (8) de menor energía, a saber k= O. Así, vernos que el resultado para el gas ideal de bosones correspo,!! diente a la Ec. (13) será v- n, " <1>/N " O N/V (19) Queda claro, pues, que la energía cinética ~ so de fermiones principio se debe a la "repulsi6n de exclusi6n de raulí. (18) que existe en el ca estadistica" La presi6n proporcionada por el termodinror.ica correspondiente es P " - (dF/dV)N,T donde F " E - TS es la energía libre de Helmholtz, dada en términos de la energía interna E (que aquí es la energia cinética <T» y la entropía F = E = P S veces la temperatura absoluta T. Como ésta es cero, <r> y entonces = n' o = ~ e n,~ d<T>/N ano 3 que es la llamada presi6n toda no' (20) v de Fermi. Para bosones, Para terrperaturas elevadas, o sea T la presi6n (20) se verán at.mentados, a lUla > claro está, P = O para O, tanto 'la energía (18) Y densidad fija, por efectos tér micos (2). Esto se deberá a que entonces habrá en la Ec. (13) una mezcla- v.! eik -; en de todos los estados más sobre los que tienen magnitud "distribuci6n" de estados + J( las sumas respectivas "£ F = no nada (21) = O coincide con la h'k'/2m (22) F liso (21) se vuelve tm "escal6n La liso" (en k) dado por e [1'1'k '12m - ~ (T) l/kT}- 1 o sea, que el esca16n mite: :k, y Irenor o igual a tm valor máximo kp. serfi ahora el "esca16n donde ~(T) es el llamado potencial químico que para T energía de Fenni definida en la Ec. (17). Es decir, ~(O) sobre abrupto" en este 1i 156 [1 (k~k,.l n (O) = 0(k K - k) =~ lO F (23) (k> kF) Esta última distribuci6n es la que se supone tAcitamente en las sumas e in tegra1es de las Ecs 4 o. o (13) ESTRELLAS y (17) o ENANAS BLANCAS, ESTRELLAS DE NElJIRONES y AGUJEROS NEGROS Una estrella "normal" (de la llamada "secuencia principal") como nuestro sol produce energia principalmente por la fusi6n de núcleos ligeros como el H a núcleos más pesados como el He. La presi6n ténnica, provenie.!! te de la energía cin~tica de las partículas constituyentes, más la presi6n de radiaci6n, se equilibran con la compresi6n gravitacional de las masas en atracci6n, y la estrellas mantienen una cierta estabilidad de tamaño, o radio, Re que es del orden de 7x 101 °cm. Al agotarse este mecanismo de fu si6n de producci6n de energia, y despu6s de pasar por una etapa de gigante roia en que la estrella se enfrió y se expandi6 enormemente, ocurre la mue~ te de la estrella. Esta puede acabar como: i) una enana blanca, compuesta principalmente por núcleos de he1io-4 (o carbono-12, o hierro-56) sume~ sos en un mar de electrones liberados, todo el sistema a temperaturas abs£ 1utas entre lOS y 107°K, Y densidades entre 106 y 188 gm/cm3 (contra ~1 gm/cm3 en el sol); o bien, ii) una estrella de neutrones con una densi dad 10 "gm/an (aproximadamente la densidad de un núcleo pesado como el 208Pb) compuesta en un 99% por los neutrones que restan después de la co!!. versi6n de los protones Y electrones de la enana blanca en neutrones por el proceso de decaimiento beta inverso p +e~ -+ n+ v; o finalmente, iii) un aguiero negro en que la contracci6n gravitacional redujo el tamaño del cue~ po a un límite tal que la velocidad de escape es igual a la velocidad de la luz, c, y ni un fot6n puede escapar. Este radio Rs, llamado de 2 Schwarzschild, está entonces definido por mc2 = ~ ' o bien Rs = zat/c , s donde G es la constante gravitacional, M Y m las masas estelar y de una 4 "partícula" cualquiera, respectivarrente. El tipo (i) de "cadáver" de es~ trel1a "normal" con que empezamos ocurre generalmente cuando la masa de és 157 tu es del orden de magnitud veces y de una masa solar Mg, el (ii) cuando es diez el (iii) cuando es cien o más veces (al grado tal que ningún me- canismo de presi6n es capaz de contrarrestar La Fig. 1 compara los tamaños relativos una enana blanca, una estrella dios de Schwarzschild rían, rcspcctivarrente, de neutrones Rs para cuerpos 1 en y 3 lan. la contracci6n gravitacional). de una gigante roja, nuestro sol, y el agujero negro. Los ra- con la masa de la Tierra y el Sol s~ Una enana blanca típica con una masa ~t~es de un radio R;; 10 km, poco por encima del Rs = 3 km correspondiente. SOL ENANA BLANCA ESTRELLA DE NEUTRONES ESTRELLA AGUJERO • DE NEUTRONES NEGRO Figura. La presi6n que equilibra 1 la compresi6n gravitatoria en la enana 158 blanca es básicaJlxmte la presi6n del gas (degenerade, es decir a telll"'rat!:'. ra T = O) de ferrniones fonnado por los electrones en la estrella liberados, Que estos dos sistemas puedan cOI~iderar5e a temperatura pesar de encontrarse a tC"l'eraturas tan elevadas, peraturas son varios 6rdenes de magnitud mada de Ferrni, TF definida kT :,c F F Por lo tanto, en tanto que de neutrones es esencialJoontc la de los fermiones neutrones. = h'k'/2m ITCTIJrcs está claro ya qt.C estas te!!! lla- Y (14), a saber: , = cero, a que la "temperatura", por las 50s. (17), (22) F absoluta h' [6,' n )' Lmlv o (24 ) la dysYiaci6n del esca16n abrupto (23) que describe sistewas a T = O será completamente despreciable. Tratándose de una esfera la energia potencial gravitatoria de radio R y masa total M tendremos es aproximadamente que igual a la energía ci nét ica de Fenni, o sea (25) donde = F c Aquí ~l J l f¡'k;J211); (estrella hL2ki-C2 - m;c li - es la masa del neutr6n (26) neutr6nica) (supuestos Do.relatiy]stas usa la Ec. (17)) Y n'e es la masa de los electrones blanca (supuestos expresión relativistas. relativista V = por su pequeña para )a energía cinética). miones son de dos especies (27) mee2 (enana blanca). y, por tanto, liberados de la enana masa, y por tanto se usa la 81 ambos casos, los fer- (v : Z) y por 10 tanto de la Ec. (14) con 4,R'/3 tendremos que , [~~], Consideraremos (28) explícitamente se el caso de las enanas blancas. Combinandolas Ecs. (25) y (27) se tiene la ecuaci6n 159 (29) con N el número de electrones mente la de los nucleones con u el nwro Como la masa total es prulcipal- liberados. de los núcleos ionizados: de Jlucleoncs por elcctr6n. de helio~4 examinaremos aqu1, lJ c: 2. COJOO Para la enana blanca compuesta el nÚJrero de Jlucleones en el sol es N • 10" Y @ N '/' - hc @ "00' • 10" (31) N la Ec. (29) se vuelve N' + 2N'/'l'-N= e (32) AC Dividiendo por N~/3 tendremos que ~ N1¡:J = 1. A 2 e [[9n]1/' 4 1. _ X xJ ~ O (33) = (N/N )'/, = CM/2M )'/' x @ - @ donde la última igualdad se debe a queM.Nmya 6 6 N lA desigualdad en (33) es idéntica a la desigualdad la Ec. (30) con U 2. (34) que es llamada el limite de M;¡¡¡: 1.45 Me' nerada J El límite tma estrella Cbandrasekb3r. sugiere Un análisis menos burdo(3) da que para poder morir come una estrella con masas superior a 1. 4S M(i'l deg~ deberá despojarse por al 160 gún mecanismo siva. (por ejemplo, una cxplosi6n Slwernoya) de De no ser así, se piensa en la actualidad, mo un aguiero vitaci6n, blancas negro, o sea un objeto corro veremos colapsado De las aproximadamente por la gr~ 200 enanas unas diez tienen medi~ls sus masas y radios. identificadas, lar típico acabará co- la estrella casi totalmente adelante. JMS de su masa exce- El va de x en la Ec. (33) es tal que (35) El an&lisis burdo que parte de las Ecs. (26) y (27) nos lleva, para el caso de una estrella M neutránica con radio de 13 km, a la masa = 0.026 M•. Si nuestra tonces, estrella normal empez6 a la masa solar M@, y no se despoj6 masa permitiendo lla neutr6nica, la compresi6n gravitacional ces la intensidad bosones y tícula. o corno nucleares), una estre- su curso hasta produgravitacion~ (siendo ~lO-38v£ no hay nada qt~ detenga (estrella) inevitable el es suficientemente de la materia debido a la en el límite N-+-co, que produce una energ1a total '\,_N3para 7j3 '\,_N para fermiones. l~ energía total será un equilibrio e~ potencial gravitacional de incertidumbre Esta dimensi6n dcbico '\,-GN2/R de fleisenberg) y t::.x es una dimensi6n bal del sistema mioncs, seguirá de la naturaleza si la masa del cuerpo Eshocew.os aquí el colapso tre la energía principio de las fuerzas que producen grande. de Pese a que las fuerzas les entre dos masas son las más débiles gravitaci6n, en su vida del exceso que acabe ya sea como una enana blanca cir el llamado rol<lpsO gravitacional. colapso con masas bien superiores, durante pongan las partículas. (por el lineal en que puede moverse lineal es ~R para bosones a que el prinCipiO Y la cin~tica o.N/(6X)', donde R es el radio gl-,,- de exclusi6n pero cada pa!. (t::.x)3'\,R3jN para fe!. de Pauli impide que se sobre Entonces, sustituycndo tcnemos que la energía total es r 1{2- E(R) '\, NS/3 R' N' Gl{ (bosones) (36) N' -GR (fenniones) 161 Minimizando en R encuéntrese rZ/GN o para que E' (Ro) (bosones) (37) Ro ~ lZ/GN'/3 (fermiones) 10 que deja, al sustituir en la Ec. (36), el resultado (bosones) (38) (femones) En ambos casos la energía por partícula diverge a - 00 cuando N-+ 00, y la "densidad m:::dia" N/~ R~ djverge como N" para bosones y N2 para fenniones. La exactitud asint6tica de la tcaria de Thomas-Fermi para neutrones ha sido establecida pcr Hertel, Narnhafer y Thirring (197Z)(4) quienes rigurosa mente encuentran 73 / , que EN~OO ~ - N quedando corroborada El cuerpo que se colapsa irremediablemente y representa una verdadera 5. de estructura bre un gas de fenniones 10 detenninante a temperatura La funci6n estelar absoluta acabado de ver se basa so- cero y sin interacciones de onda correspondiente a la aproximación to lleva a la aproximaci6n de Hartree-Fock que son ondas planas, del determinante un sistema de N cuerpos operadores de uno y dos cuerpos de masas N v" L i:l corno en idénticas único: m el hamiltoniano T6rnese para la suma de - N T. + ~ LV.. i<j ~J es- (19Z9) que en realidad puede como un primer paso en una teoría perturbativa. H " T + e~ es por tanto un s~ Preguntemos si puede irse más allá del caso del gas ideal pero aún limitándonos considerarse es el aguiero negro, espeluznante. (1) cOlllJuesto por "orbitales" las Ecs. (15) a (17). (38)~ APROX1MACION DE HARTREE-FOCK El tratamiento trc las partículas. singularidad la estimaci6n (39) 162 La interacci6n entre pares v .., e.9., podria ser la repulsión trónica c2/rij en un áton~, rnol~Lula o cristal. interelec- >] El operador Ti puede ser - ~ V' Y atracci6n e1ectr6n-núc1eo -2e' Ir .• ",ro i ~ periódico en un metal, etc. Sea 410 el determinan la suma de energia cinética o inclusive el potencial te único (N!fl = cuyas orbitales . . ~ ki (r.) ki eXIgIremos f det[~ (r.ll (40) J 1,2, ... (i,i J . ~ d3r~ k)" 3 pero qlre . (r)~ k. , N) son desconocidas, a saber, ser ortogonales, (r) = ó ( 41) k, ,k. 3 ) El valor esperado del 133I11i1toniano(39) ser& por las Ec. (4), si etiquetarnos los N estados k. 1,2, oo., = (6) Y (7), N, 3 ( 42) donde en el último paso empleamos de matriz llamados lIdirecto" una abreviaci6n e "intercambio". mo, máximo o PWlto de inflexi6n) 3 ,, donde Ak k ~=' k (es decir, mio,!, considerada como LUla sujeta la extre 3 (41), se obtiene de -.i, <[E[~',,p l k £, desconocidas 3 mal a la condición 6~ El extremal de la energía E[~~'~k] de las orbitales funcional obvia para los elementos I k1,k2 son constantes Ak k 1 2 <1jJk I~k 1 2 >} (43) = O llamadas multiplicadores de Lagrange. Para c&1cu1ar la Ec. (43) usamos el hecho de que ó (44 ) ó,p' ~ e (r) Por ejemplo, 163 (45) y así sucesivamente. La Ec. (43) se reduce entonces a (46) * ~ ~ ~u1t ipl icarulo la Ec. (46) por ~k(r,) e integrando sobre r, queda la ~ci6n matricial <o,Ok!T,lo,Ot> + ~ < lj\1j)k, Iv" l1j)to,Ok, - o,Ok, o,OR'" < 1j)klHOllo,Ot > = Atk (47) donde es fácil partícula, total comprobar que el operador Ho1 es un hamiltoniano de actuando sobre la partícula 1, proveniente lUla sola del hamiltoniano (39), 11 H, = + V N 11, - I N I Hoi =: i:1 LDl<l interacci6n N (Ti + Ui) ; V -- 1=1 que ahora está cOqlucsta más # I N Vij - I i<j de tUl. hamil toniano de partícula residual V. Ui (48) iE1 independiente Ha En el hamiltoniano independiente corres- a la i~ésima partícula, pondiente (49) aparece ahora LID campo medio Ui agregado el operador a los campos Ti' que por la Ec. (47) está definido ci6n V12 original por antes cxistente5 en en t~rminos de la interne 164 <~kIUllljJ~>= (50) < ~k~k2Iv121~~~k2- ~k2~~> ~ 2 es decir, en forma llamada Tornando N combinaciones autoconsistente. les, digamos ~k ' de las N orbitales originales tal manera que queda diagonal izada la matriz nos transfonnará el problema {ljIll! = 1,2, (47), es decir, ••• A.V, linea , N} de -+ £k6kt ' en (51) Suponiendo que las N nuevas ~k to, de modoq'" LI~k><~kl son parte de un conjunto (infinito) compl~ 1, la Ec. (51) se vuelve, al multiplicarse = por I~k> y sumarse sobre k: (52) que representa N ecuaciones integro-diferenciales (k1, k2 = 1,2, ... de eigenvalores de partícula de ~~rtree-Fock(HF). son las ecuaciones J N) no lineales acopladas independiente. Para cada eigenestado ta pues de una ecuaci6n tipo Schr1ldinger de una pardcula Estas k1 se tra- (la # 1) que se encuentra en el campo (medio) producido por todas las demás partículas. Por ejemplo, el prtmer corchete es la contribuci6n directa a este campO; el último término del miembro izquierdo es la llamada contribuci6n tercambio pero su interpretaci6n Finalmente, calculado deja de ser heurística. la energía de Hartree-Fock con las orbitales de in- de lW (el valor esperado ~k(r) que satisfacen (42) ) ,la Ec. (52) scrti , recordando la Ec. (39), E = < 4lolHl41o > :: <H> - <T> + <v> . (53) Ahora, de la Ec. (48) E=<H>=<T>+7<U> 1 (54) 165 donde usarnos el resultado, que sigue de la Ec. (50) (con k sobre k) y de la Ec. (42) (si reconocemos que la autoconsistencia <u> exige que ),deque k 1, k2 (55) = <T> + alternativamente como 1 1 = ¿ <T> + ¿ <H,> <U> = i de la Ec. (48), podemes escribir Mostremos caja de volumen del tipo ¿ k=l «~k IT ,1~k ) > + £ (56) k ~ Y sumada sobre k. que para un sistema de N fcnmiones V, e interactuando VI2 :::: la Ec. (54) N donde en el ú1timc paso usamcs la Ec. (52) con k cial r y s~'lldo = 2<v> Luego, come <li,> E =i ~ k1<k2 = ~ ver} r 2) encerrados entre si a través de cualquier (nonecesariarrente central) en una poten~ las ondas planas (57) proporcionan una soluci6n (trivial) a las ecuaciones -= de HF (52). notamcs que en la Eco (52) T, ~~ lr,) - tl' V'~~ (r~,) ¿ID 1 k¡ El término directo además r.!: kl de la Eco (52) será, = tl?l ID <P;> k 1 Prirrero (rJ o (58) ( v(q) = .-+ -+ 1qor Jd'r e- v(r) (59) donde hemos definido la transformada de Fouricr v(q) de la intcracci6n v(~).siendo ~ = TI - r2. Por otro lado, el término de intercambio Ec. (52) se Vl..Clve. multiplicando por e-ik1. ik ;le ¡.;1 =:1 de la 166 "- 1 (60) .v donde en el último paso hemos interpretado fd3r2 como Jd3r y usando la Ec. (59). Como todos los ténninos del miembro izquierdo de la Ec. (52), con las soluciones (57), equivalen se satisface la Ec. (52). a un n(~ro de veces la soluci6n .9..:LQ., --- ~ 'k, (11), En el presente caso este niJrneroes (61) Como mera ill~traci6n de la posibilidad les, es decir. no onda plana, analicemos de soluciones el siguiente no-trivia. ejemplo muy sencillo de un cristal-líquido. SUpÓngase, como generalizaci6n de las orbitales de rnldaplana (57), las orbitales(5) (62) que ocuparán el determinante k< k F y que siguen obedeciendo la ortogonalidad (6:;) (41), la que tomando en cuenta el espín se escribe , r ~ 3 • Jd r$k (rHk, (r) z v (64 ) 167 c _1 [(1 + a')V] , (65) En la Ec. (62) Xc (oz) es una funci6n de espDo con variable Oz = ,j y estado a = ti. Aquí a y q serán parámetros variacionales adicionales al parámetro kF (que por la Ec. (14) está relacionado a la densidad no , N/V de part!culas). Empleando condiciones peri6dicas para las orbitales (62) ten aremos integrales del tipo '\l.o (66) n 0, tI, !2, ... x o" ; = etc. Definiremos lo que podríamos llamar la densidad local (a diferencia de la N ~ global no ' V), en el punto r • n(r) , L l~k(r)12 =vC' k 111 ~ ~ -+ aeiq' r [2 (67) ~ k donde se emplea la Ec. (62) Y el hecho de que I<x Ix a del índice de suma y la sumando es independiente a > = a I 1 = v. El 'o,.¡. S"",1 sobre k da N/v; por lo tanto + ---- 1 es decir, la densidad ~} 2a + cos ~ q' r (68) a2 local tiene una variaci6n del espacio (la que se elige para el vector q) cosenoidal en ~ direcci6n para la soluci6n no-trivial n(r) = no que tenemos para la soluci6n trivial (57). a la que se reduce la (67) cuando a ~ O. (62), en contraste con el caso especialmente homog6neo La Fig. 2 contrasta estos dos casos que podríamos identificar c~ JJK) tm "11quido" (desorden posicional la llamada fase ¿,ml.c.:tica-A petpendiculares al vector líquido bi-dimensional) completo) y con un "cristal-líquido", (ordenado en "láminas", paralelas entre sí y qJ cada una de las cuales se comporta comotm (ver Fig. 3). Para analizar la transici6n del 168 "liquido" al "cristal-líquido" basta considerar hamiltoniano lID pendiente del espín para el cual la energía de HF, llamado (39) inde- Ika> a la Ec. (62), será, de las Ecs. (4) y (6), (69) {liq"idl~Jrl desorden ::;:= = o "cristal-liquido" ( a > O) "liquido" (a =0) Fig. 2 donde usarnos las sumas sobre espines antes vistas. racci6n - Tomemos para la inte- la tipo delta (70) Vo = etc, con la que la Ec. (69) se reducirá con B" a' '"q 1 " q/2J<,. ~ 1 '" 2mE 3 £(q,B) ,,-= h'k'N S F a la energía por partícula Y 20 B 1 + - -3 1+ v = 2 , ",} B adimensional, q' si ().-+O, 8-+ O Y caemos en el caso trivial 3 rnv,p + - -4 h'k' F II -----1.1 I + 'B (1+ B)' (71) de ondas planas COP)que es 169 Cristal - Uquido Fig. 3 mv,p 3 Eop = 5 3 + :1 (72) h'k' F Debemos ahora minimizar la Ec. (71) con respecto a ~ ~ 1 Y pregwttar luego si existe tm3 B ~ O. y energia menor que la trivial dada por la Ec. (72). Es evidente por inspecci6n de la Ec. (71) que el mínimo en ~ OCurre precisamente para q = 1, o sea q : 2k. Introduciendo el par~tro de aco plruniento adimcnsional, F (73) 170 donde se us6 la Ec. (14) con v 2 en el último paso, la Ec. (7l) con ~= 1 se reduce a o(S) J, + 4 = S__ 1 +S A[l+_S + (l El valor de S, digamos + J (74) S)'J S ~ O S" que satisface o'(S,) O es (75) A> 2 La última conclusi6n en la energía se puede entender graficando 60 contra A. 5610 se verifica, sin embargo, El minimo si > O= a ~ - 2 o "(S,) (76) Es decir, habrá m1nirno únicamente si la interacci6n (70) es atractiva. y lo suficientemente as1. o(B,) = O(A) = y buscamos Sustituyendo (75) en (74) se tiene 13 " 2 + I 3 + ~ A una ganacia en energía (77) de amarTe, es decir, que (78) para A ~ - 2. La Fig. 4 muestra la curva de la Ec. (78): vemos que efecti vamcntc, para A $ - 2 la soluci6n no triYial energía) que la trivial, (tiene renor (curva llena) .• La curva en trazos corresponde la (75) a valores negativos El punto indicado con un círculo equivalen es más estable de 60 = a , que 2 no se admiten si no es real. en A = -2 es un mmto de bifurcaci6n las energías de los d05 estados, y puede considerarse de la transici6n. 2a, (l+a:) por donde el punto El 'parfimctro de orden", el factor 21Bo' (l+S,) en la Ec. (67) vale cero en el punto de bifurcaci6n, y crece en valor con- 171 forme disminuye A a partir del valor crítico -2. cristal-líquido continuamente. La transici6n líquido a es de segundo orden ya que el parámetro de orden aumenta a partir de cero (Fig. 4). /:;'E 2 O I -I{quido--,' , ,,, -2 , -3 I cristal 'd o IqUI J:¿ I I I -4 4 ," ,, -1 3 I 3 2 I -). -). • 4 I I Fig. Finalmente haceros 4 notar la naturaleza no perturbativa de nues- tro resultado. Es decir, la diferencia 6£ de la energía (78) no es analítica en A alrededor de A = O sino que tiene un polo simple allí. 6. APROXIMACION DE 1HC"lAS FERMI De gran interés es la vicja (1927) teoría de Thomas y de Fermi (TF) para la dcscripci6n de sistemas coulombianos dos, etc.) por su sencillez (áton~s)moléculas, frente a la teoría de Hartree-Fock. última se trabaja con N orbitales funciones de r, mientras ría de TF hay una sola ftmci6n, la densidad local n(r). s61l En esta que en la teo- Además, mientras 172 que en la tearia de IW un conjunto de orbitales (y aun si la minimizan minimiz~ la energía soluci6n éste no es necesariamente mínimo más bajo), en la teoría de TF el extrema! luto. El interés en la teoría TF ha aumentado 10 años pues esta descripci6n resulta es siempre enormemente ser asint6ticamente mite en que el número de cargas Z ~ ~, para átomos, (Tambiénes así para estrellas que en el fondo interactúan bianas- g{3vitatorias, bla aquí se refiere con fuerzas puramente tiende al infinito). al régimen fd'r n(r) = el mínimo ah so en los últimos exacta en el lí- moléculas y s61idos. -tipo cOlllo~ atractivas La exactitud de la que se ha no relativista. un núcleo ~untual con carga 2e, colocado por una nube electr6nica de carga negativa el ene! límite en que el n(unero de partículas, exclusivarr£nte Considérese gen, rodeado no necesariamente esféricamente en el ori- sirrétrica con densidad n(r), tal que (79) N ser~ el número total de cargas -e en la nube. mo neutrOj si N> Z de llil Si N = Z se trata de un áto- i6n negativo y si N< Z de un i6n positivo. La energía total 8 se compone por: i) energía cinética electrónica T; ii) energía potencial núcleo-electr6n Vne; y iii) energía de repulsión electrón-electrón V . Evidentemente, ésta será una funcional de n(r) y ee de la fonna (80) E[n(r)] donde Vne - -eJd'r~n(r)n(r) V ee = - ; i eJd'r~e(r)n(r); ~n(r) - ~ e (r) - Ze/r -efd~rl n(r') Ir _ r' I T _ Jd'r n(r) t (r) • Aquí, ~n(r) es el potencial electrostático en el punto r debido al núcleo puntual en el origen y ~e(r) el debido a la nube electr6nica. AUemás, 173 ter) es por definici6n la energía cinética (electr6nica) en el punto r, por electron. 1homas y Fcnni ahora suponen como hip6tesis ter) de trabajo = C,n(r) '/' , que (81) en analogía al resultado (18) obtenido para un gas ideal de fermiones con \) = 2 en tres dimensiones. Admitido esto, la energía total (80) se vuel- ve la funcional explícita en n(r) dada por E[n(r)) = c,Jd'r n(r)5/' - Ze' Jd'r n~'1 + (8Z) + 1 e'Jd'r Jld'r' n(:) n ~r') T + V Ir - r' I ¿ se busca ahora una ecuaci6n (de Euler-Lagrange) en n(r) tal que E[n(r)J sea (por lo menos) estacionaria, o extremal, ante variaciones funcionales en n(r), sujeta la variaci6n a la condici6n (79) donde N es una constante. (Esta extremal resulta cienda el multiplicador _0_ ser siempre el m!nimo absoluto). Es decir, introdu de Lagrange e~o, tenemos {E[n(r)] - e~oJd'rn(r)f) = O (83) on(r") Para calcular la expresi6n (83) usamos, en analogía a la Ec. (44), que o n(r) = é(r - rOO) y por consiguiente queda la ecuaci6n on(r") ,-s C,n(r,,)'/3 . Ze' e2 - -+ rOO J n(r') r' ¿3 ----+ -+" -+, 1r - r I e$o = O Notando que el segundo y tercer término no son más que -e~n (r") y -e$e(r"), respectivamente, definiendo el potencial total ~(r) - ~n(r) y cambiando + ~e(r) la variable T" a r teneros (84) 174 n(r) r2me ( l --- L 1J'/' (85) 't~(r) - ~0f.j A esta ecuaci6n afiadiremosuna segunda ecuaci6n que eslabona ~(r) con n(r) que es la ecuaci6n de Poisson de la electrostática clásica: V'~(r) = 4ne n(r) t (r (86) O) Combinando ahora las Ecs. (85) Y (86), reconociendo que por la simetrfa es l d' férica y la constancia de ~o se tiene que V'~(r) = -r ~ur r[~(r) - ~ol llegamos a la ecuaci6n de 1homas-Fermi para el potencial total ~(r) d' l -r[Hr)-~ol r 4e(2me)'/' ----[Hr)-~ol'/', dr' que claramente es una ecuaci6n diferencial condiciones (87) 3nh' a la" frontera i) ~(r) ii) $(r) Requeriremos dos que serán: ~o ~ = no~lineal. (88) 2e/r (89) (para r ~ ro) (2- N)e/r La condici6n (i) implica, por la Ec. (85), que n(r) -ct r ..•. u cte es decir, la densidad (ii) (90) ~ r3{2 de carga electr6nica hemos definido un radio fo anula, de modo que el potencial diverge en el origen. En la a partir del cual la densidad de la nube se total $(r) es la diferencia indicada, gra- cias al teorema de Newtonde que el efecto de la nube es cano si toda su carga se colocase en el origen. Asf, por las Ecs. (85) y (89) podemos deducir el significado ~o de = ~(ro) = (2 - N)e/ro (91) --_._-----------------------------------175 corro el potencial total en el "borde" de la nube electr6nica. Observ3lllas que la ecuaci6n flIDdamental (87) es lID tanta pues tendría que resolverse vos (N, Z). Puede deducirse gran desventaja. X = una ecuación Introduciendo Z; - to" universal una longitud y una función T/a es adimcnsional, Hr) para cada valor de la pareja f(x) de enteros que no adolece (por averiguarse) adimensional incánoda positl de esta a tal que f(x) por la ecuación x " r/o. (92) y sustituyendo. en la Ec. (87) llegamos a IX d'f(x), f'/' (x) dx' i) f(x) _ 1 0.'2 ~ x ~ a [3'J'/' T 1, ii) ecuaciones -~ x i: Xo O, (93) a. -:z'l' que es la ecuación universal primeras f(x) de la teoría de Thomas-Fermi. re~ucltas con computadora electrónica Fue una de las digital en 1931 por Bush y Caldwell. La Fig. 5 muestra tres tipos de solución numérica: TIJ "'ml(~tCJm.)5 neutros); B) en que la nube tiene "soporte compacto"; cripci6n averiguado (iones positivos, TO<OO y C) soluciones de lID átomo ligada en lID cristal. que, para N f(x)"i«"<i = A) Z>N), apropiadas De la saluci6n en que es decir para la de~ numérica se Z, 1-1.58807x + jx'/' + ••• (94) -~+ x » 1 144 x' ha 176 f(x) ...,,"" e / x o Fig. 5 Antes de calcular la energía total de Thomas-Fenni E, en funci6n de Z, para átomos neutros, estiman~sque ésta será de la forma -z • Z/Z -'/" = -z /' ya que tenemos Z electrones interactuando con Z cargas positivas nucleares, a distancias ~Z.1/3 por la Ec. (93). La energía QQI electr6n £/2, entonces, diverge a menos infinito como .Z~/3 para Z ~ es decir, no existe para el átomo neutro el límite termodinámico, consistente en una energía extensiva, es decir, proporcional al número de partfculas, coro se espera en la materia condensada (liquidos, s61idos, etc.). OCurre lo semejante para un sistema de N fenmiones idénticos que interactúan por gravedad, por ejemplo una estrella, donde la energ1a total diverge como -N'/', véase la Ec. (38). Para calcular E(Z) en forma precisa usaremos el siguiente resultado formidable: El teorema del virial para un átomo poli00, electr6nico afirma que E =<T>+<V>= -2<T> (95) donde E es la energía exacta (no relativista) del estado fundamental y los valores esperados del operador de energía cinética T y de la energía poten cial V se toman con la funci6n de onda exacta (desconocida) del estado fun damental. Este resultado, válido para la energia y estado fundamental exactos~ también es válido enla aproximaci6n de Thomas-Fermi. Esto se de- 177 muestra si en la Ec. (79) reemplazamos (x,y,z) por (>.x, AY, AZ) = (X,y,z) las coordenadas con A real. (cartesianas) Entonces (96) es decir, frente al citado escalamaento n(r) --+ A'n(Ar) (97) Luego, la Ec. (72) se vuelve E[A'n(Ar)] = C'A')d'rA'n(Ar)'/' (98) n(Ar) n (Ar') lAr - Al" I Ty V donde son la energía cinética Ec. (82), tomandoen cuenta 4ue allí do la Ec. (97) con respecto a A y y potencial ryr t promedio definidas son variables~. exigiendo que para A en la Derivan = 1 la derivada se anule, se llega a tr+v=o (99) E ~T + V = - -2T = 1", "2" ' que coincide con el resultado exacto (95). tes, la energía total en la aproxUmaci6n como E -2 c,fd'r n(r)'/' -D)d'r ~5/'(r) Por tanto si D y F son const~ de Thomas-Fenmi podrá expresarse 178 = i = -0.'768745 (100) F f' (O) Z7/' e' a, al caso neutro (N = Z, 410= O) Y usamos la Ec. (75). En la penúltima igualdad se us6 el valor numérico de la f'(O) de la Ec. (94), habiendo llegado a esa igualdad por las siguie~ donde en la segtm.da igualdad especializamos tes consideraciones. La integral por la Ec. (93). Integrando por partes OO I = f f' ( Jdx(f')' lo (101) -f' (O) - f dx(f')' Por otro lado, también I = dx f '/' - o ?' [ = Zf '/' (x) ¡ 100 (00 , X-S) dx x' o f' /, f' o Suponiendo que el té11l1ino integrado se anula esto da, usando de nuevo la Ec. (93), I = -5 f x. f'f" dx - -5fudV (10Z) = % fdx(f')' Combinando ahora las Ecs. (101) y (102) queda I El resultado = - i f'(O) , Q.E.V. para la energía de un átomo neutro de Thomas-Fermi (100) es de suma importancia dado que Lieb sulta exacta en el ¡£mite Z ~ oo. ...oceánica cuántica no relativista & Simon(6) demostraron que re- Es decir, coincide con el resultado en ese Imite, o sea, con el estado TI.:.'ltal de la ecuaci6n de Schrtxlinger. Además, se conjetura de la flUld.a- que la (100) es • 179 el término dominante de una serie asint6tica empezando con 7, 6, 6, rie, o •• , de Z1/3. en potencias descendientes, Una deducci6n heuristica de esta se- a veces llamada de Thomas-Fermi-SCott y Schwinger (TFSS), proviene de despreciar la repulsi6n cargas nucleares electr6n-electr6n positivas. noide la energía total Por la f6nnula de Bohr para lD1 y Z ~tomo hidroge- será (en unidades de e'/a,) 1 2n'. [- fn,-J" - E(Z) = en el átomo con electrones (103) Z'N n""l donde 2n2 es la degeneraci6n capas totalmente r Z llenas. Z n' = de la n-ésima Por esto último j N(N + I)(Z y hay, digamos, capa at6mica también N + 1) " j N' 1 3, .. -J tendremos + N' + N la relaci6n jN (104) n=l Por desarrollo Z-./, binomial [i]' ~ ./, ~ rL y, si irrJcrtimos la serie a. 1 -:-r¡, '" Ñ Z N"'-- - donde 31, fl + [ 1 32, 33 de la Ec. (105) . '" E(Z) Z»l -::rT3 + a + y ... I Z'f' J + + _8_ a, - 1.1447 son constantes 8. Sustituyendo Z7/' (106) ... 1J + z'/' 7.'7' ••• -, a, Z" L (105) tenernos a, Z'h a, 1 I-Z¡¡+3NN N »1 en la Ec. (103) queda + 1 1 Z' - 0.0728 Z5/' detcnninablcs a partir finalmente + ••• (107) Este resultado heurístico es serrejanteal correcto, que sí tomaen cuenta las repulsiones E(Z) z» =1 electr6n-electr6n - 0.768745 (serie Z7/3 + ~ Z' L. TFSS) 0.2699 Z5/' •••• (108) 180 obtenido por Plindov ra el resultado tras & Dimitrieva(7) y por SCh~inger(8). l~ Fig. 6 compa- de esta serie con las energías ~mpirica5 de los átomos ncu (tomadas como las de HFpara Z> 17, donde el error con las energías de Sdhr5dinger sería despreciable a la escala de la gr~fica). ximo es ~7% y ocurre para la Z menores (9). 0.768745 THOMAS- , El error má- FERMI , \\ 0.7 ,, 290-\_268 218 \-168 1 - El (Q. 118-\ ..100 85\_75 65,_60 50.\_45 40A,_35 Zm 30-\ .-25 U,) 2(\~~,.-17 15~: ',0-12 0.6 10),,°,,_9 8,"-,.,1 ~ ~~~< ¡ SchrCidinQer Hortree - Fock Z -, 0,8 0.9 .l/3 0.5+--~~-~-~~-~-~O 0,1 0.2 0.3 0.4 0,5 rige Entre los defectos principales 0.6 • 0.7 6. de la teoría de Thomas-Fcrmi es que predice que un cúmulo de átomos no puede ligarse entre sí para fOlmar una molécula -teorema de Teller(lO,11). la realidad física. Esto por supuesto es contrario a 181 7. f~mos visto OONCWSIONES a lo largo de esta monografía tal del "campo medio" en la física cuántica cientemente rico como para ilustrar nes de fase y las energías . La estabilidad da por el equilibrio cIernen que el concepto de muchos cuerpus es lo sufi- la estabilidad estelar, las transicio de amarre de los átomos neutros . de estrellas ~nanas y neutr6nicas entre las atracciones gravitatorias qued6 establec~. y la presi6n de en el primer caso y los neutrones un gas ideal de Fermi, de los electrones Vimos ademns que esta prcsi6n no es capaz de impedir el c~ en el segundo. lapso gravitacional, por ejemplo, si hubiese suficiente en un agujero negro, que sería inevitable masaen la estrella. Laaproxl.m.lCi6n de lIartree-Fock se plante6 para sistemas termo<ii- námicos (es decir, con un número muy grande de partieulas) y se ilustr6 la posibilidad de soluciones mos la existencia energía, ilustrado mas comúnmente de transiciones sino en la temperatura. que describen fases ordenadas. de fase como puntos de bifurcación a través del ejemplo conocida "cristales-líquidos no triviales del cristal-líquido. no lo es en la densidad, Vien la La transici6n como en nuestro ejemplo, No se excluye, sin embargo, la posibilidad de cunnticos" con transiciones en el estado flmdarnental, es decir, a temperatura absoluta cero. Finalmente deduj irnos la aproxirnaci6n se maneja una sola funci6n. la densidad de Tho1Tl3s4Fenn~, en la que local, en vez de N funciones como en la teoría de Hartn:e-Fock. REFERENCIAS 1. D.N. Ceperley, & M.H. Kalos, en "Topies un Current Physies", Vol. 7: MaMe Cma Me.thacú-in s.tat,¿6t-ical PhyÚCA , ed. por K. Binder (Springer-Ver1a9, 1979). 2. MeQuarrie (1976). 3. L.D. Landau. & E.W. Lifshitz,. Statil>tical Plty~-iCA, (Per9amon, 1958) p. 334. 4. P.H. f'erte1, H. Narnhofer & W. Thirrin9, Cammun. Matlt. Plty~. 28 (1972) 159. 5. M. de Llano, & A. P1astino, PIty~. Rev., AI3(1976) 1633. 6. E.H. Lieb & B. Simon, Phy~. Rev. Lett., II (1973) 681; Adv. Math.• 23 (1977) 22. 7. G.1. Plindov & I.K. Dmitrieva, Phy~. Lett., 64A (1978) 348. 182 8. J. Schwinger, Phy •. Rev. A22 (1980) 1827 24 (1981) 2353. 9. V.C. Aguilera-Navarro, M:-Qe Llano, O. RojCi& S.L.L. Verardi, J. Chem. Phy •• , 77 (1982) 6131. 10. E. Teller, Rev. Mod. Phy'., 34 (1962) 627. 11. N. Balazs, Phy •• Rev., ~ (1967) 42.