1 ” Los primeros Cálculos Probabilísticos” Dra. Marta García

” Los primeros Cálculos Probabilísticos”
Dra. Marta García Secades - Universidad San Pablo CEU - Facultad de CCEEDepartamento Métodos Cuantitativos -C/ Julián Romea, 23 .28003 Madrid -E-mail:
secades.fcee@ceu.es Teléfono: 91 456 63 00 Ext: 537
Resumen:
En esta comunicación analizaremos las contribuciones de los primeros autores que
dedicaron sus esfuerzos a resolver problemas relativos a los juegos de azar.
Distinguiremos los estudios realizados en este sentido en tres etapas: La primera
abarcará a aquellos autores que están situados en el tiempo antes de Pascal y Fermat:
Pacioli, Cardano y Galileo, La segunda, que abarcará los trabajos de Pascal y Fermat,
para concluir con un tercera etapa, donde se estudiará la probabilidad matemática de
Huygens y Caramuel.
Comunicación:
1.Los precursores de Pascal y Fermat.
Comenzaremos estudiando las aportaciones de Luca Pacioli (1445-1514)
contenidas en la obra denominada Summa Arithmetica, Geometria, Proportioni et
Proportionalita (1494). En ella encontramos planteado el problema de la división de las
apuestas; como es sabido, este problema consiste en establecer una regla que permita
dividir lo apostado en un juego cuando este se interrumpe antes de que finalice.
Aunque Pacioli menciona en su obra varios ejemplos de juegos y concursos en
los que existe la necesidad de repartir lo apostado, centra su análisis en un juego en
concreto: el problema del juego de la pelota. Veamos cómo lo enuncia:
<< Una brigada practica el juego de pelota hasta alcanzar 60 puntos. Cada partida
vale 10 puntos y apuestan un total de 10 ducados. Ocurre por accidente que no se
puede concluir el juego, quedando una parte con 50 puntos y la otra con 20. Se
pregunta, ¿qué toca a cada una de lo apostado?(1)
Y, cómo lo resuelve:
<< Digo que antes hay que considerar cuántas partidas se pueden llegar a jugar entre
la una y la otra parte, que serán 11, es decir, cuando se juega la última partida
teniendo 50 puntos cada una. Ahora ves que la parte que cuenta con 50 puntos le
corresponde 5/11 y la parte que tiene 20 le toca 2/11. Entonces se deduce que el
reparto se debe realizar en la proporción 5/11 y 2/11 y que sumando ambas hace 7/11.
Luego éstos 7/11 ganan 10 ducados que reparten según 5/11 y 2/11, de modo que a la
parte que tiene 50 puntos le corresponde 7*1/7 y a la de 20 puntos 2*6/7 >> (2)
La solución dada por Pacioli es errónea, la proporción correcta es 7 a 1, pues el
número de partidas que faltan para que el juego termine son tres, cuyas posibles
ordenaciones son 8, siendo favorables al primer jugador siete y una al segundo. Así, el
error cometido por Pacioli radica en considerar el número de partidas que llevan
ganadas en lugar de tener en cuenta el número de partidas que faltan para ganar.
Dos son las aportaciones de Luca Pacioli al desarrollo de la Teoría de la
Probabilidad. La primera, y a mi juicio, más importante es la influencia que ejerció su
obra en los autores posteriores y, la segunda, la labor que desarrolló al recopilar el
conocimiento matemático existente hasta la época.
Proseguiremos nuestro estudio analizando las contribuciones de Gerolamo
Cardano (1501-1576), que están contenidas en la obra intitulada Liber de Ludo Alae
(1663)(3)
Según F. N. David, fueron dos las contribuciones fundamentales de Cardano:
1
<< introducir la idea de las combinaciones para enumerar todos los elementos del
conjunto fundamental de probabilidad, y señalar que si todos estos elementos son de
igual peso, entonces el cociente entre número de casos favorables y el número total de
casos arroja un resultado en concordancia con la experiencia >> (4)
En efecto, enumera correctamente todas las combinaciones que pueden aparecer
en el lanzamiento de uno, dos y tres dados.
<< los puntos iguales dos a dos son 6, los desiguales son 15, y duplicados son 30, por
lo tanto todos son 36 >> (5) y (6)
<< Los tres puntos iguales de tres dados se basan, excepto en un aspecto, en los
precedentes, puesto que son 6. Los puntos en que hay dos semejantes y el tercero dispar
son 30; y como cada uno de ellos aparece de tres maneras, serán 90 >> (7) y (8)
De esencial relevancia nos parece la contribución de Cardano si atendemos a la
concepción temporal en el planteamiento de sus problemas en los juegos de azar: tiene
en cuenta las partidas que faltan a cada uno de los jugadores por ganar y no las que tiene
ya ganadas.
Con respecto a Galileo Galilei (1564-1642), podemos decir que si bien sus
aportaciones en materia de probabilidad no fueron muy relevantes, este autor es
extremadamente útil para conocer el estado en el que estaba el cálculo, por aquel
entonces.
Galileo establece correcta y claramente las combinaciones que pueden acaecer
en el lanzamiento de tres dados (9).
<< tres principios fundamentales: primero, que los tripletes, es decir, los puntos de las
tiradas con tres dados que se componen de tres números iguales no se producen más
que de un solo modo; segundo, los tríos que nacen de dos números iguales y el tercero
diferente se produce de tres maneras; tercero, aquellos que nacen de tres números
todos diferentes se producen de seis maneras. De estos fundamentos podemos deducir
fácilmente de cuántos modos, o mejor dicho en cuántas tiradas diferentes se pueden
formar todos los números de los tres dados, lo cual se comprende cómodamente en la
siguiente tabla: en la parte superior de la misma están anotadas las tiradas, desde 10 a
3, y debajo de éstas, los diferentes tríos de los cuales pueden resultar cada una de ellas;
junto a ellos están colocados los números según los cuales se puede diversificar cada
trío y bajo los que finalmente se recoge la suma de todos los modos posibles de
producir esas tiradas.
1
10
9
8
7
6
5
4
3
3
6
6,3,1 6 6,2,1 6 6,1,1 3 5,1,1 3 4,1,1 3 3,1,1 3 2,1,1 3 1,1,1, 1
10 6,2,2 3 5,3,1 6 5,2,1 6 4,2,1 6 3,2,1 6 2,2,1 3
15 5,4,2 6 5,2,2 3 4,3,1 6 3,3,1 3 2,2,2 1
21 5,3,2 6 4,4,1 3 4,2,2 3 3,2,2 3
25 4,4,2 3 4,3,2 6 3,3,2 3
27 4,3,3 3 3,3,3 1
108
27
25
21
15
10
6
3
1
(...) Y, finalmente, al pie de la columna de números de las tiradas se recoge la suma de
todas (...) todos los cuales, sumados juntos ascienden a 108; y habiendo otras tantas
tiradas para los números superiores, esto es, los puntos 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, se
recoge la suma de todas las tiradas posibles a hacer con las caras de tres dados, que
son 216>>(10)
2
2.-Pascal y Fermat
Hemos analizado hasta este momento, los esfuerzos de un conjunto de autores
italianos para establecer los conjuntos de casos posibles y casos favorables en el
lanzamiento de uno, dos o más dados; es decir, los primeros cálculos combinatorios. Sin
embargo, el paso fundamental en el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad no se da
en Italia, sino en Francia.
En efecto, la mayor parte de los autores que han dedicado sus esfuerzos y
desvelos al complejo estudio del Cálculo de Probabilidades, señalan como fecha clave
de su creación la segunda mitad del siglo XVII, cuando Blaise Pascal (1623-1662) y
Pierre Fermat (1601-1665), tratan de resolver ciertos problemas relativos a los juegos
de azar planteados por el Caballero de Méré, célebre jugador de la corte francesa de
aquel entonces, a Pascal.
Cierto es, que el planteamiento de este problema no es original sino que el tema
había sido tratado dos siglos antes por otros autores. Ahora bien, los resultados
obtenidos entonces pueden bien ser considerados, como meras aproximaciones, en
muchas ocasiones erróneas.
La correspondencia entre Pascal y Fermat, que a continuación analizaremos, se
ocupa fundamentalmente del llamado problema de las apuestas. También, podríamos
enunciar este problema con el siguiente enunciado: ¿Cuál es la probabilidad que cada
jugador tiene de ganar en cada etapa del juego?. Veamos cómo lo enuncia Pascal:
<< Para comprender la regla de los repartos, la primera cosa que hay que considerar
es que el dinero que los jugadores han puesto en el juego ya no les pertenece, porque
ellos han renunciado a su propiedad; pero han recibido en revancha el derecho a
esperar lo que el azar les pueda dar, de acuerdo con las condiciones que hayan
convenido antes.
Pero, como es una ley voluntaria, pueden romperla de común acuerdo; y así, en
cualquier fase que se encuentre el juego, pueden salirse de él; y, al revés de lo que han
hecho al entrar, renunciar a la esperanza del azar, y entrar cada cual en la propiedad
de algo. Y en este caso, la determinación de lo que debe corresponderles debe estar de
tal modo proporcionada con lo que tenían derecho a esperar de la suerte, que cada uno
de ellos encuentre enteramente igual tomar lo que se le asigna o continuar la aventura
del juego: y esta justa distribución se llama reparto >>(11)
La importancia de esta correspondencia no radica en obtener la solución correcta
de un problema sino en la construcción de criterios analíticos sistemáticos que
permitiesen medir con validez universal el concepto de probabilidad. Así, el concepto
de probabilidad propuesto es general, es decir, aplicable casi a todo tipo de casos, no
sólo a los juegos de azar.
Otro punto importante a destacar es que en ninguna de las cartas que a
continuación comentaremos, aparece el término de probabilidad, en su lugar se utiliza el
término de chance, hasard, suerte...etc. La causa de este hecho es, según algunos
autores, el obstáculo que representaban algunas pautas o normas religiosas y morales.
No sería hasta el Renacimiento, cuando se superó el rechazo a lo aleatorio. Ahora bien,
esto no quiere decir que no se jugase a juegos de azar pues, muy a pesar de los esfuerzos
de la Iglesia, estos juegos se practicarían con gran intensidad, sobre todo, el de los
dados.
Es sabido que Pascal y Fermat desarrollaron métodos diferentes en la resolución
del problema de la división de apuestas. Pascal, elaboró un método recurrente, según el
cual, partiendo de resultados finales irá retrocediendo, paso a paso, hasta el principio del
3
juego. Por su parte, Fermat, construyó un método basado en las combinaciones.
Finalmente, después de ciertas dificultades iniciales, ambos llegan a la misma solución.
Una de las conclusiones a las que ambos llegan es que los jugadores tienen las
mismas posibilidades de ganar un tanto, y sobre este acuerdo Pascal enuncia dos
resultados generales sin demostración, que G. Mateos – Aparicio nos resume
actualizando la notación:
<< I.-Supongamos que cada jugador ha apostado una cantidad de dinero representada
por “A”, que el número de tantos es “n + 1”, y supongamos que el primer jugador ha
ganado “n” tantos y el segundo jugador ninguno. Si los dos jugadores están de acuerdo
en no seguir jugando, el primer jugador tiene derecho a la cantidad: 2 A – A / 2n.
II.-Supongamos que las apuestas y el número de puntos del juego son como antes, y que
el primer jugador ha ganado un punto y el segundo jugador ninguno. Si los jugadores
están de acuerdo en no continuar el juego, al primer jugador le corresponde la
cantidad:
1 * 3 * 5 *...( 2n – 1)
A + A ----------------------2 * 4 * 6 *... ( 2 n )
>> (12)
No obstante, asegura Pascal en un primer momento, este método sólo es correcto
si hay dos jugadores pero, no si hay más de dos. La respuesta de Fermat no se hace
esperar. El veinticinco de septiembre de 1654 responde a Pascal, señalando dónde reside
su error y cuál es la solución correcta.
<< Tomo el ejemplo de tres jugadores, al primero de los cuales le falta una partida, y
dos a cada uno de los otros dos, que es el caso que me propone Vd.
No encuentro más que 17 combinaciones para el primero y 5 para cada uno de los
otros dos; pues cuando Vd. dice que la combinación acc es buena para el primero y
para el tercero, parece no recordar que todo lo que se hace después de que uno de los
jugadores ha ganado, ya no sirve para nada. Puesto que esta combinación ha hecho
ganar al primero desde la primera partida, ¿qué importa que el tercero gane dos a
continuación ya que, aunque ganase treinta, todo esto sería superfluo?.(...)
Y para que Vd. no dude más, si en lugar de tres partidas, extiende Vd., en el caso
propuesto, la ficción hasta cuatro, no habrá sólo 27 combinaciones, sino 81, y se tendrá
que ver cuántas combinaciones harán ganar a cada uno de los otros, y cuántas harán
ganar a cada uno de los otros dos antes que una al primero. Verá Vd. que las
combinaciones para que gane el primero serán 51 y las de cada uno de los otros dos
15, lo que se reduce a la misma proporción.
Que si toma cinco partidas o cualquier número que quiera, siempre encontrarás
tres números en la proporción 17, 5, 5 >>(13)
La respuesta de Pascal llega finalmente a Fermat:
<< Su última carta me ha satisfecho a la perfección. Admiro su método para los lotes,
tanto más porque lo comprendo bien; es enteramente suyo, no tiene nada en común con
el mío, y llega fácilmente al mismo resultado. Nuestra comprensión se ha
reestablecido>> (14)
Si bien Fermat tuvo un mayor y más fino ingenio a la hora de resolver los
problemas derivados de los juegos de azar, fue Pascal quien desarrollaría ideas que
aparecerían luego plasmadas en los Pensamientos y, más concretamente, en el
argumento intitulado Infinito – Nada ,en donde, se planteaba la necesidad de apostar a
favor de la existencia de Dios.
4
En los siguientes cincuenta años, el desarrollo del nuevo cálculo matemático es
vertiginoso. Si bien, no podemos decir lo mismo de las cuestiones que se refieren a la
probabilidad, las publicaciones eran escasas (15). De hecho, el primer texto escrito y
sistemático elaborado sobre esta materia fue escrito por Huygens en 1657, sin que al
parecer éste conociera más que por referencia, las cartas de Pascal y Fermat.
3.-Huygens y Caramuel
La siguiente contribución importante al Cálculo de Probabilidades es la
publicación en 1656 del primer texto de probabilidad De Ratiociniis in Ludo Alae(16)
del matemático holandés Christian Huygens (1629-1695)
Esta obra fue motivada por una visita de Huygens a París y fue allí donde entró
en contacto con el círculo de Pascal y fue interesándose poco a poco del problema de los
puntos. En efecto, después de tres meses de estancia en París, Huygens retornó a
Holanda e inició una correspondencia (17) con Carcavi y Fermat. Huygens se puso a
investigar por su cuenta en materia de probabilidad y en marzo de 1656 escribió a su
maestro, Franciscus van Schooten (18),exponiéndole que había preparado un
manuscrito sobre los juegos de dados. Dicho manuscrito fue traducido del holandés al
latín por su maestro y, fue finalmente publicado como apéndice en la obra intitulada
Exercitationes Mathematicae. De este hecho tenemos constancia por la carta que
Huygens envía a su maestro el veintisiete de abril de 1656:
<< Señor, sabiendo que al publicar los loables frutos de su inteligencia y de su celo se
propone, entre otras cosas, hacer ver, por la diversidad de los temas tratados, la
magnitud del campo por el que se extiende el excelente Arte del Álgebra, no dudo de
que el presente escrito acerca del Cálculo de los Juegos de Azar pueda servirle para
alcanzar ese objetivo >> (19)
De las palabras de Huygens se deduce claramente cómo eran conscientes que el
Cálculo de Probabilidades podía ser extensible a todas las ramas del saber.
M. S. de Mora nos explica cuál era el planteamiento de Huygens:
<< Para él la certeza no existe, solamente hay grados de probabilidad; la razón junto
con la experiencia debe ser el punto de partida, nada de abstracciones y
especulaciones, hay muchos temas concretos por resolver >>(20)
Dos son los méritos fundamentales de Huygens: el primero es conseguir la
explicitación de la noción de esperanza y, el segundo, es el de haber escrito el primer
tratado sobre el Cálculo de Probabilidades.
El tratado está compuesto por catorce proposiciones, cuatro proposiciones
adicionales y cuatro anexos. En la primera proposición afirma que si un jugador tiene
iguales posibilidades de ganar una cantidad “a” que otra “b” su expectativa de ganar es :
( a + b ) / 2.
Así lo enuncia:
<< Si bien en los juegos de azar puro los resultados son inciertos, la esperanza
(esperanza matemática) que un jugador tiene de ganar o perder posee sin embargo un
valor determinado. Ejemplo: si alguien apuesta a obtener con un dado seis puntos en la
primera tirada, es incierto si va a ganar o a perder; pero lo que es determinado y
calculable es cuánto sobrepasa la esperanza que tiene de perder su apuesta a la que
tiene que ganarla >> (21)
Y, así lo resuelve y desarrolla:
<< Yo juego x con otra persona, cuya apuesta es igualmente x, y se ha convenido que el
que gane entregará a al que pierda. Este juego es equitativo y resulta que tengo así una
esperanza igual de obtener a perdiendo 2x–a o ganando el juego; pues en este último
5
caso obtengo la apuesta 2x de la cual debo dar a al otro jugador. Si 2x-a fuera igual a
b, tendría una esperanza igual de obtener a o b. Hago pues 2x-a ∝
( a + b ) / 2 >> (22)
En la segunda proposición afirma que si un jugador tiene la misma probabilidad
de ganar “a”, o “b”, o “c”, su expectativa de ganar es : ( a + b + c ) / 3.
En la tercera afirma que si un jugador tiene la probabilidad “p” de ganar “a”, y
probabilidad “q” de ganar “b”, su expectativa de ganar es:
( p * a + q * b ) / p + q.(23)
De la cuarta a la novena proposición vuelve a discutir el problema referido
anteriormente; es decir, el problema de las apuestas pero esta vez con dos
(proposiciones cuatro a siete) y tres jugadores (proposiciones ocho y nueve). El método
que emplea para desarrollarlas es muy similar al de Pascal. Destacable es el hecho que
Huygens no empleara la teoría combinatoria, de ahí se deriva que los cálculos resulten
en algunas ocasiones pesados.
En la proposición número diez, investiga cómo puede obtenerse un seis en
diversas tiradas y un solo dado. En la proposición número once, cómo obtener un doce
con dos dados. Y, finalmente, en la trece y catorce resuelve las distintas situaciones en
que pueden encontrarse dos jugadores si juegan a los dados y el objetivo es ganar la
apuesta.
Añade al final del tratado cinco proposiciones adicionales. Curiosa nos parece la
segunda:
<< Tres jugadores A, B, y C toman 12 fichas, cuatro de las cuales son blancas y ocho
negras; juegan con la condición de que ganará el que, escogiendo a ciegas, saque
primero una ficha blanca, y que A elegirá primero, B a continuación y así
sucesivamente, por turno. Se pide la relación de sus esperanzas >> (24)
El enunciado de esta proposición lo resolverá en el segundo apéndice. Pero, nos
resulta necesario hacer un alto en el camino. ¿No es acaso este enunciado igual o muy
similar a los que desarrollamos en las aulas con nuestros alumnos? Así es. Luego, el
mérito de Huygens no sólo reside en haber realizado la primera explicitación del
concepto de esperanza, sino en haber sido el primero en elaborar un tratado
verdaderamente pedagógico dedicado al Cálculo de Probabilidades. En efecto, el tratado
de Huygens tiene las mismas aspiraciones de rigor que un tratado moderno.
Es destacable el hecho que la mayor parte de autores que se han dedicado al
estudio de estos temas no hayan mencionado(25) que Juan Caramuel (1606-1682)
realizó el segundo tratado publicado acerca de los juegos de azar (1670)
Pasemos a analizar con detalle las aportaciones de Caramuel en el campo que
nos ocupa: la Teoría de la Probabilidad y que están contenidas en el Syntagma VI de su
Mathesis Biceps, exactamente en el breve apartado de extensión veinticuatro folios
intitulado Kybeia (26). Consideraba este autor que el todo era la certeza y que las
probabilidades eran partes de esa certeza. A partir de este momento decide aplicar el
cálculo a esas probabilidades para que queden así evaluadas y poder de esta manera
conocer el grado de probabilidad.
Es cierto, que Huygens en su De Ratiociniis in ludo alae (1657) había ya
calculado antes que Caramuel las probabilidades en los juegos de azar. Estos progresos
eran conocidos por Caramuel; de hecho este trabajo es incluido y comentado(27) en su
Kybeia. Pero, la aportación de Caramuel al Cálculo de Probabilidades consiste en ir más
allá de calcular una probabilidad de un juego determinado como la expectativa de una
partida, puesto que su preocupación se extiende a la consideración de la licitud o ilicitud
6
de los mismos. Considera Caramuel, que un juego o una partida para que sea correcta y
lícita debe atenerse al principio de la equiposibilidad. Así pues, lo correcto y lícito no es
asunto exclusivo del tribunal de la matemática.
<< ha de atenerse a las leyes del derecho y de la teología, sobre las cuales,
ciertamente, nada puede decir un jurista o un teólogo sin la ayuda de la
matemática>>(28)
Comenzaremos analizando el problema de los dados. Es en este punto, cuando
Caramuel describe a la perfección todos los casos posibles que pueden acaecer en el
lanzamiento de dos dados:
<< Si se juega con dos dados, el número más pequeño será el dos, que en español se
dice azar, o sea desafortunado, y el mayor será el 12. Y como en muchos juegos no es el
mejor el mayor, intentaremos explicar brevemente los números posibles.
Binario sólo puede darse una vez, a saber cuando los dados dan el 1 y el 1.
El ternario se da cuando los dados marcan 1 y 2, o 2 y 1, luego puede salir de dos
maneras.
El cuaternario se manifiesta con el 1 y el 3, el 2 con el 2 y el 3 con el 1, por lo que se da
de tres maneras.
El quinario es el 1 con el 4; el 2 y el 3; el 3 con el 2 y el 4 con el 1, lo que supone
cuatro maneras.
El senario, se da con el 1 y el 5; el 2 y el 4; el 3 y el 3; el 4 y el 2; y el 5 con el 1, a
saber de cinco modos.
El septenario, 1 con 6; 2 y 5; 3 y 4; 4 y 3; 5 y 2; y 6 con 1, en total seis maneras.
El octonario, 2 y 6; 3 y 5; 4 y 4; 5 y 3; 6 y 2. Luego ya comienza la suerte a disminuir,
pues sólo tiene cinco modos.
El novenario, se da con el 3 y el 6; el 4 y el 5; el 5 y el 4; y el 6 y el 3; que equivale a
cuatro modos.
El denario, se da con 4 y 6; 5 y 5; 6 y 4, o sea tres modos >> (29)
Caramuel tratará de resolver también el problema de la división de apuestas.
Veamos cómo lo expone:
<< Muchas veces ocurre que por motivos diversos, el juego se da por terminado. Y
dirás ¿qué hay que hacer con los depósitos de dinero?. Aquí está la pregunta y su
solución: No sólo nos referiremos a los dados, sino también a la pelota y a cualquier
clase de juegos, lo que merece que los examinemos con cuidado >>(30)
Y, a partir de este enunciado resolverá este el problema de la división de
apuestas entre dos jugadores de los que a uno le falta una partida para ganar y al otro 2,
3, 4...etc. Correctamente deduce las proporciones a repartir en las sucesivas situaciones
que pueden plantearse: 3 a 1, 7 a 1, 15 a 1...etc. Estos resultados los va obteniendo al
hilo de dos ejemplos: juego de dados y juego de pelota.
<< Jugaban a los dados Camilo y Federico, cada uno de ellos habría apostado una
moneda de oro con la siguiente condición, el que venciese tres veces, se llevaría todo lo
apostado ( ... )
Otro ejemplo. Jugaban a la pelota Claudio y Aurelio, el primero ya contaba con 30
puntos y el segundo con 40, cuando se rompe la pelota y no se tiene otra de repuesto,
por lo que la partida no puede concluirse >> (31)
Pasemos a analizar cual es el esquema sobre el que basará su racionamiento:
Número de jugadores: 2 ( A y B).
Apuesta de cada jugador: x
Número de puntos restantes para conseguir la victoria: -Jugador A: 2. -Jugador B: 1.
En esta situación si el juego continuase podría ocurrir:
7
1.- Que continúe el juego el jugador B.
Situaciones posibles:
Resultados:
Conclusiones:
Gane
2x
Gana todo lo apostado
Pierda
x
Obtiene lo mismo que apostó
2.- Que continúe el juego el jugador A.
Situaciones posibles:
Resultados:
Conclusiones:
Gane
x
Obtiene lo mismo que apostó
Pierda
0
Pierde lo que apostó
Si el juego, por el motivo que fuere, tuviera que interrumpirse cuando al jugador
A le faltan dos puntos para conseguir la victoria y al jugador B tan sólo uno, ¿Qué
reparto debe hacerse del total de lo apostado? Responde Caramuel para el primer caso
contemplado, (1) que lo más justo sería que percibieran el punto medio entre las dos
posibles situaciones que podrían acaecer:
.-Para el jugador B: (2 x + x ) / 2 =(3 x) / 2
.-Para el jugador A: x / 2
Analicemos como Caramuel llega a esta conclusión, para los desarrollos expone
un ejemplo según el cual cada uno de los dos jugadores apuesta una moneda de oro.
<< Si Camilo gana en este cuarto punto, estarán igualados; y si a continuación se
retiran, cada cual recupera lo suyo. Si en el cuarto punto ganase Federico se lo llevará
él todo y Camilo nada. (...). Entre el 1 y el 2 hay 1 1 / 2, luego si antes de concluir el
juego se separan, y desisten de la propuesta hecha al comienzo del juego, aparece una
desigualdad ( 1 / 2 y 1 1 / 2 ) que significa que hay que obra con equidad >> (32)
Siguiendo el esquema anterior analiza las proporciones que le corresponden a
dada jugador cuando a uno de los jugadores ( B ) le falta uno para vencer y al otro ( A )
tres, y posteriormente cuando a uno de los jugadores ( B ) le falta uno para vencer y al
otro ( A ) cuatro. ¿Cuál es el criterio seguido por Caramuel?. El criterio de justicia, que
según él, es el del punto medio. Su forma de proceder es la misma que la que utiliza
Pascal, procede iterativamente.
<< ¿ Si tomase el dado y por una vez más continuase el juego, qué conseguirían?.
Aquél a quien le faltan tres juegos (llamémosle Teón) (...) debiera discurrir así: por el
dinero pùesto, si venzo esta vez, se me debe medio doblón, pero nada si pierdo. Por
tanto, si me encuentro entre 1 / 2 doblón o nada, se me tendrá que dar 1 / 4, si no
queremos tentar a la fortuna >>. (33)
A partir de aquí infiere los resultados siguientes: ( x, y )
x -> número de puntos que le faltan al jugador A para vencer.
y-> número de puntos que le faltan al jugador B para vencer.
¿Cuál sería la proporción a repartir en cada caso ?.
(x,y)
Proporción a repartir
(1,1)
1a1
(2,1)
1a3
(3,1)
1a7
(4,1)
1 a 15
(5,1)
1 a 31
(6,1)
1 a 63
.
.
.
.
.
.
(n,1)
1 a 2n – 1
Pasemos a analizar cual sería el punto de partida en una nueva situación:
8
Número de jugadores: 2 ( A y B). Apuesta de cada jugador: x
Número de puntos restantes para conseguir la victoria: -Jugador A: 3. -Jugador B: 2.
En esta situación si el juego continuase podría ocurrir:
1.- Que continúe el juego el jugador A.
Situaciones posibles:
Resultados:
Conclusiones:
Gane
X
Obtiene lo mismo que apostó
Pierda
0,125 de x
Estaría en la misma situación analizada en el caso
anterior, cuando al jugador A le faltaban dos
puntos para vencer y al jugador B tan sólo uno.
En este caso, resuelve Caramuel, que la proporción que justamente corresponde a cada
uno de los jugadores A y B vuelve a ser el punto medio entre las dos situaciones
posibles. Los resultados que obtiene son los siguientes:
-Para el jugador A: [ (1 / 2) + (1 / 8 ) ]/ 2 = 5 / 16. -Para el jugador B : 11 / 16
<<( A Pedro le faltan tres puntos y a Pablo 2 ) Si al tirar nuevamente el dado, vence
Pedro, estarían igualados y podría tomar el dinero depositado 16 / 32; si por el
contrario perdiese, el derecho sería de Teón y se llevaría 4 / 32. Entre 16 / 32 y 4 / 32,
la mitad sería 10 / 32 que es lo que a Pedro, si no sigue jugando, le pertenecería y el
resto, a saber 22 / 32 le tocaría a Pablo >> (34)
Si el punto de partida fuera hora: Número de jugadores: 2 ( A y B).
Apuesta de cada jugador: x Número de puntos restantes para conseguir la victoria:
-Jugador A: 4. -Jugador B: 2.
En esta situación, si se jugase un nuevo punto del juego podría ocurrir: que
ganara A o que ganara B. Al jugador A le correspondería de lo apostado: 5/16 y 1/16,
respectivamente
El punto medio para el jugador A sería entonces: [(5/16) + (1/16)] / 2 = 3 / 16
Luego le correspondería el 3 / 16 de lo apostado, al otro jugador, al B le
correspondería el 13 / 16 restante.
<< Continuemos con nuestra resolución, y veamos qué sucedería si continuásemos
jugando y determinemos cuál es la mitad. Si Estrindo ( jugador A ) gana esta vez ¿ qué
pasará?. Se igualará a Pedro y tendrá que ganar tres juegos y Arfidio (Jugador B) dos.
Por lo dicho antes, Estrindo tiene 10 / 32 de lo depositado. Si gana Arfilio, le faltará al
mismo un juego y a Estrindo cuatro. De lo dicho se deduce qué resulta. Arfilio tiene 30
/ 32 y quedará para Estrindo 2 / 32. Entre 2 / 32 y 10 / 32 la mitad exacta es 6 / 32, que
es lo que le pertenece a Estrindo y el resto 26 / 32 se le da a Arfilio >>. (35)
Caramuel complica aún más el asunto. Estudiará el mismo problema pero, esta
vez, no con dos, sino con tres jugadores. La situación que plantea es la siguiente:
Número de jugadores: 3 ( A, B y C). Apuesta de cada jugador: x Número de puntos
restantes para conseguir la victoria: -Jugador A: 1. -Jugador B: 2. -Jugador C: 2.
Representemos los resultados utilizando la misma nomenclatura que utilizamos
en el caso anterior: ( x, y, z ) (número de puntos que le faltan al jugador A, B y C,
respectivamente)
Tendríamos la terna: ( 1 , 2 , 2 ). Caramuel establece que las proporciones para
cada uno de los jugadores son, respectivamente, 2, 1 y 1.
<< Supongamos que hay tres Alcones: Lodoco, Termes y Blafiro, a éste le falta un
punto y a los demás dos a cada uno. (...). Por lo que Lodoco tendrá 24, Termes 24 y
Blafiro 48 >> (36)
Obtiene, por primera vez, una respuesta errónea. Las proporciones correctas
serían en este caso: 17, 5 y 5.
9
- Proporción para A: [[(1/3)*1]+ [(1/3)*4/9]+[ (1/3)*(4/9)]] = 17/27
- Proporción para B: [[(1/3)*0]+ [(1/3)*4/9]+[ (1/3)*(1/9)]] = 5/27
-Proporción para C: [[(1/3)*0]+ [(1/3)*4/9]+[ (1/3)*(1/9)]] = 5/27
El mismo error comete para la terna ( 1 , 1, 2 ), donde llega a la conclusión
siguiente: las proporciones a repartir son: 5, 5 y 2, respectivamente. Cuando en realidad,
lo apostado tendría que repartirse según las proporciones: 4, 4 y 1.(37)
Hemos comprobado como ha resuelto perfectamente Caramuel el reparto de la
división de apuestas entre dos jugadores si el juego por la razón que fuese no pudiera
concluirse. No así, cuando se presenta la misma situación y son tres los jugadores.
BIBLIOGRAFÍA:
*Bernoulli, C( 1713) Ars Conjectandi. Thurnisius. Basilea.
*Caramuel, J(1644). Mathesis Audax. Lovaiana.
*Caramuel, J (1659): Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae
serio Disputans. En Mathesis Bíceps ( Vetus Nova). Campania.
*David, F. N (1962). Games, God and Gambling. A History of Probability and
Statistical Ideas. Griffin. London.
*García Secades, M. (2002). Contribuciones del Probabilismo Hispano a la
Conceptualización de la Probabilidad. Tesis Doctoral. Universidad San Pablo CEU.
Facultad de CCEE. Madrid.
*García Secades, M. (2002). Antecedentes de la Concepción Subjetivista de la
Probabilidad. En: Historia de la Probabilidad y de la Estadística. AC, AHEPE. pp. 119132.
*Martín Pliego, F. J & Santos del Cerro, J (2000). Luca Pacioli: en el Origen del
Cálculo de Probabilidades. En: Revista de Historia Económica, Año XVIII – Primavera
– Verano, nº 2.
*Mateos-Aparicio Morales, G.(1993) Teoría Subjetiva de la probabilidad: fundamentos,
evolución y determinación de probabilidades. Tesis Doctoral. Universidad
Complutense. Madrid.
*Mora Charles, M. S (1989). Los inicios de la Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI y
XVII. Servicio editorial de la Universidad del País Vasco. San Sebastián.
*Pascal, B (1981). Obras: Pensamientos: Provinciales. Escritos Científicos. Opúsculos y
Cartas. Alfaguara. Madrid.
*Todhunter, I (1965) A History of the Mathematical Theory of Probability from the
time to Pascal to that o:f Laplace. Chelsea. New York.
Notas a pie de página
(1)Martín Pliego, F. J. y Santos del Cerro, J. (2000): Luca Pacioli: en el origen del
Cálculo de Probabilidades. Revista de Historia Económica. Año XVIII. Primavera –
Verano. nº 2. p. 412.
(2)Martín Pliego, F. J. y Santos del Cerro, J.(2000): Ibidem. p. 412.
(3)Este libro fue publicado casi un siglo después de que su autor lo escribiera.
(4)David, F. N(1962).: Games, Gods and Gambling. A History of Probability and
Statistical Ideas. Griffin. London. p. 56.
(5)Mora Charles, M. S. (1989):. Los inicios de la Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI
y XVII. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco. San Sebastián.p, 30.
(6)En efecto, V6, 2 = 6 * 5=30. Si incluimos los repetidos VR6, 2 = 62 = 36.
(7)Mora Charles, M. S.(1989): Ibidem. p. 32.
(8)En efecto, 2C6, 2 = 30 y, 3*30= 90.
(9)VR36 = 63 = 216.
10
(10)Galileo Galilei: . En Mora Charles, M. S (1989): Op. Cit. Los inicios de la Teoría
de la Probabilidad: siglos XVI y XVII. pp. 61 – 62.
(11)Pascal, B.(1981): Obras: Pensamientos. Provinciales. Escritos Científicos
Opúsculos y Cartas. Alfaguara. Madrid.pp. 692 – 693.
(12)Mateos – Aparicio, G.(1993): Teoría subjetiva de la probabilidad: fundamentos,
evolución y determinación de probabilidades. Tesis Doctoral. Universidad
Complutense. Madrid. pp. 41 – 42.
(13)Fermat, P.: Carta a Pascal de 25 de septiembre de 1654. En Mora Charles, M.
S(1989): Op. Cit. pp 92 – 93.
(14)Pascal, B.: Carta a Fermat de 27 de octubre de 1654. En Mora Charles, M. S.(1989):
Ibidem. p 94.
(15)Destacable es hecho que la conocida correspondencia entre Pascal y Fermat no
fuera publicada hasta tiempo atrás de su realización.
(16)Del Cálculo en los juegos de azar.
(17)Tenemos el conocimiento de la existencia de tres cartas: Carta de Huygens a
Carcavi (l6 de julio de 1656), Carta de Carcavi a Huygens (28 de septiembre de 1656) y,
finalmente, la carta que escribió Fermat a Huygens (diciembre de 1660).
(18)Franciscu van Schooten fue profesor de matemáticas en Leyden, Huygens fue su
discípulo predilecto.
(19)Carta de Huygens a van Schooten, de 27 de abril de 1657. En Mora Charles, M.
S.(1989): Op. Cit. p. 111.
(20)Mora Charles, M. S.(1989): Op.Cit. p. 107.
(21)Huygens, C.: De Ratiociniis in Ludo Alae. En Mora Charles, M. S.(1989): Op. Cit.
Los Inicios de la Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI y XVII. p. 112.
(22)Huygens, C.: Ibidem. En Mora Charles, M. S.(1989) Op. Cit. Los Inicios de la
Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI y XVII. p. 113.
(23)Esta proposición fue comunicada a Carcavi en una carta fechada el 6 de julio de
1656.
(24)Huygens, C.: Op. Cit. En Mora Charles, M. S.(1989): Op. Cit. Los Inicios de la
Teoría de la Probabilidad. Siglos XVI y XVII. p. 126.
(25)En efecto, la aportación de Caramuel a la Teoría de la Probabilidad la reconocen un
número no demasiado extenso de autores: Todhunter, Keynes, Wieleitner, Velasco de
Pando y Garma Pons.
(26)Kybeia quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae serio Disputans.
(27)Si bien, atribuido a Christian Severin Longomontam, bajo el título Diatribe. De
ratiociniis in Alea.
(28)Caramuel, J.(1644). Mathesis Audaz. Lovaina. p. 9.
(29)Caramuel, J(1659) Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis
Fortunae serio Disputans en Mathesis biceps ( vetus et nova). Num. LII. p. 974.
(30)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. Num. LVII. p. 976. (31)Caramuel: Kybeia
Ibidem. Num. LVIII. p. 976
(31)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. Num. LIX. p. 977.
(32)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. num. LXI p. 977
(33)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. num. LXIV. pp. 977 – 978
(34)Caramuel, J(1659) Kybeia. Ibidem. num. LXV. p. 978.
(35)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. num. LXV. p.979.
(36)Caramuel, J(1659) Kybeia Ibidem. num. LXVI. pp. 978 – 979
(37)Proporción para el jugador A: 1 / 3* 1 / 3 + 1 / 3* 1 + 1 / 3* 0 = 4 / 9.
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Proporción para el jugador B: 1 / 3* 1 / 3 + 1 / 3* 1 + 1 / 3* 0 = 4 / 9.
Proporción para el jugador C: 1 / 3* 1 / 3 + 1 / 3* 0 + 1 / 3* 0 = 1 / 9.
Resultado: 4, 4 y 1.
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