Juan Caramuel y el Cálculo de Probabilidades

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 44, Núm. 150, 2002, págs. 161 a 173
Juan Caramuel y el Cálculo de
Probabilidades
por
FRANCISCO JAVIER MARTÍN PLIEGO
Facultad de Ciencias Jurídicas y Sociales
Universidad Rey Juan Carlos
JESÚS SANTOS DEL CERRO
Facultad de Derecho y Ciencias Sociales
Universidad de Castilla-La Mancha
RESUMEN
En este trabajo tratamos de recoger las aportaciones de Juan Caramuel a la moderna teoría de probabilidades, cuya Kybeia, que constituye un breve tratado de 22 páginas contenido en su obra titulada
Mathesis biceps, representa el segundo tratado sobre el moderno
Cálculo de Probabilidades de la historia después del de Huygens. En
esta Kybeia, término de origen griego que se refiere a los juegos de
dados, su autor realiza un análisis sobre cuestiones relativas a juegos
de azar y apuestas aplicando la teoría combinatoria. Caramuel representa el primer precedente relevante en la relación de la “geometría
del azar” pascaliana con cuestiones filosóficas y morales, cuya conexión definitiva realizó Jacques Bernoulli en su Ars Conjectandi. Solamente cuando el concepto probabilitas, procedente de la Teología Moral fue asimilado por la “geometría del azar”, el moderno Cálculo de
Probabilidades podrá alcanzar el enorme desarrollo que adquirió después de la publicación de la obra de Jacques Bernoulli.
162
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Palabras clave: Historia de la Probabilidad, Probabilismo, Juegos de
azar, Casuística, siglo XVII.
Clasificación AMS: 60-03, 01A45
I.
INTRODUCCIÓN
No es nueva la idea, que muchos albergan, de que España ha ido siempre a
remolque y con gran retraso en el cultivo y recepción del Cálculo de Probabilidades,
cuyo origen y posterior desarrollo se realizó completamente en países europeos
tales como Francia, Países Bajos, Inglaterra, etc. Esta idea no es completamente
cierta, como veremos en este trabajo, especialmente en los primeros pasos del
moderno cálculo de azares fundado por Pascal y Fermat, debido a una figura
excepcional en la historia de la ciencia como fue Juan Caramuel Lobkowitz (16061682), hombre célebre por su sabiduría y enciclopedismo, nacido en Madrid y que a
los diecisiete años ingresó en la orden cisterciense. Cursó estudios en las Universidades de Alcalá, Salamanca y alcanzó el título de doctor en la de Lovaina. Cultivó
las más variadas materias tales como las matemáticas, la astronomía, la arquitectura, la teología, etc., a las que su vasta cultura, propia de un hombre del Renacimiento, y gran ingenio dedicó más de dos centenares de obras.
II. CONSIDERACIONES EN LA LITERATURA DE LA FIGURA DE CARAMUEL
En la Historia del Cálculo de Probabilidades, tanto antigua como reciente, la
mayoría de los autores no han dedicado ni siquiera una breve referencia a la obra
de Caramuel. Sólo unos pocos como Todhunter, Keynes y Hald han recogido
sucintamente las aportaciones de Caramuel a la moderna teoría de la probabilidad,
si bien ninguno de ellos señala que su Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de
Alea et Ludis Fortunae serio Disputans (1670) constituye el segundo tratado sobre
el moderno Cálculo de Probabilidades que se publicó en la historia después del
tratado de Huygens De Ratiociniis in Ludo Aleae (1656). Sí reconocen aquel mérito
Wieleitner en su Historia de la Matemáticas, Manuel Velasco Pando en su Discurso
Inaugural del año académico 1957-58 de la Real Academia de Ciencias Exactas,
Físicas y Naturales y Santiago Garma en un artículo titulado La Combinatoria y las
Probabilidades en el siglo XVII, según Caramuel (1982).
Todhunter dedica el capítulo sexto de su A History of the Mathematical Theory
of Probability (1865) al estudio de algunas investigaciones entre 1670 y 1700, por el
siguiente orden: Caramuel, Sauveur, James Bernoulli, Leibnitz, el traductor del
tratado de Huygens en lengua inglesa (Arbuthnot), Roberts y Craig. El contenido
JUAN CARAMUEL Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
163
del citado capítulo es un conjunto de información que comprende desde la publicación del tratado de Huygens hasta los trabajos de James Bernoulli, Montmort y De
Moivre. En las líneas en las que se refiere a Caramuel lo más llamativo, desde
nuestro punto de vista, es la dura crítica que realiza Nicolás Bernoulli hacia Caramuel y su aportación. En concreto, hace referencia a una carta de Nicolás Bernoulli
a Montmort, recogida por este último en la segunda edición de su libro Essay
d´Analyse sur les Jeux de Hazard. En ella critica muy duramente a Caramuel, a
pesar de lo cual lo cita inmediatamente después de Huygens y Pascal en un contexto en el que Nicolás Bernoulli trata de alentar a su amigo Pierre de Montmort
sobre la preeminencia de este último en la publicación de ciertos métodos del
Cálculo de Probabilidades.
Esta postura nos parece excesiva, incluso el propio Todhunter lo considera exagerada y señala aquello que Caramuel realiza correctamente y lo que, en cambio,
son errores. Conviene en este punto destacar que pocos años antes de que el
cisterciense español cometiese tan “imperdonables” errores, el mismo Pascal
parece no entender el método que Fermat le propone sobre el reparto de la
apuesta para el caso de tres jugadores. El mismo Huygens comete un error que
arrastra a lo largo de un apéndice a su De Ratiociniis in Ludo Aleae, escrito originalmente en latín y que puede encontrarse en castellano en el libro Los Inicios de la
Teoría de la Probabilidad: siglos XVI y XVII de Marisol de Mora.
III. LOS ERRORES DE CARAMUEL
Caramuel estudia distintos juegos, como el problema de los dados y el de la división de las apuestas. Algunos los resolverá perfectamente, en otros, ya lo veremos, comete algunos errores que le conducen a soluciones incorrectas. Resuelve
perfectamente el problema de la división de las apuestas (recordemos que consiste
en establecer una regla que permita dividir lo apostado en un juego de azar cuando
éste se interrumpe antes de que finalice) entre dos jugadores de los que a uno le
falta una partida para ganar y al otro dos, tres, cuatro, etc., y así sucesivamente, de
lo que se deducen las proporciones correctas a repartir en las sucesivas situaciones: 3 a 1, 7 a 1, 15 a 1, 31 a 1, etc., respectivamente. Caramuel va resolviendo
estas situaciones sucesivas al hilo de dos ejemplos: uno de juego de dados y otro
de juego de pelota. El método que utiliza es el mismo que usan Pascal y Huygens.
En uno de estos ejemplos, una de las múltiples situaciones es la siguiente:
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“Jugaban a los dados Camilo y Federico, cada uno de ellos habría apostado una
moneda de oro con la siguiente condición, el que venciese tres veces, se llevaría
todo lo apostado. Federico habría conseguido dos victorias, Camilo sólo una”(1).
El razonamiento está basado en el método recurrente de Pascal, que más tarde
seguirá Huygens:
“Si Camilo gana en este cuarto punto, estarán igualados; y si a continuación se
retiran, cada cual recupera lo suyo. Si en el cuarto punto ganase Federico se lo
llevará él todo y Camilo nada. (...). Entre el 1 y el 2 hay 1½, luego si antes de
concluir el juego se separan, y desisten de la propuesta hecha al comienzo del
juego, aparece una desigualdad (½ y 1½) que significa que hay que obrar con
equidad”(2).
En todas las situaciones de interrupción del juego con dos jugadores lo resuelve
perfectamente, pero cuando intenta estudiar este mismo problema, interviniendo
tres jugadores, Caramuel obtiene una respuesta errónea. Supone tres jugadores a
los que les faltan uno, dos y dos puntos, respectivamente, para vencer. Las proporciones que obtiene son 2, 1 y 1, en el mismo orden. Veamos que esto no es así:
supongamos que estamos en el caso en el que falten uno, uno y dos puntos a los
tres jugadores, respectivamente. Utilizaremos la siguiente notación para describir la
situación de la partida mediante una terna de valores que indican los puntos que
faltan a cada jugador para ganar la partida, de modo que la situación inicial en este
ejemplo viene dada por (1, 1, 2). Si se jugase un punto adicional podría ocurrir (0, 1,
2), lo cual supone que se llevaría todo el primer jugador; (1, 0, 2) lo que implicaría
algo similar a lo anterior para el segundo jugador y (1, 1, 1) que significaría un
reparto equitativo.
La proporción que correspondería al primer jugador en la situación (1, 1, 2) sería
1 1
11 4
1
1
11 1
= , lo mismo para el segundo y 0 + 0 +
=
1+ 0 +
para el tercero.
3 3
33 9
3
3
33 9
Si se interrumpe el juego cuando el estado del mismo está representado por la
terna (1, 2, 2), procederíamos del siguiente modo: si se jugase un nuevo punto
podría suceder (0, 2, 2), (1, 1, 2) ó (1, 2, 1). Por tanto, la proporción de lo apostado
para el primer jugador sería
1 1 4 1 4 17 1
14 11 5
+
=
+
=
1+
0+
,
para el
3 3 9 3 9 27 3
3 9 3 9 27
segundo y lo mismo para el tercero, lo cual representaría las proporciones 17, 5, 5
respectivamente y no 2, 1, 1.
(1) Caramuel (1670): “Kybeia, quae Combinatoriae Genus est, de Alea et Ludis Fortunae
serio Disputans” en “Mathesis biceps(vetus et nova)”.Campania, Num. LVIII p. 976.
(2)
Caramuel (1670): Ibidem, Num. LIX p. 976.
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JUAN CARAMUEL Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
“Supongamos que hay tres Alcones: Iodoco, Termes y Blafiro, a éste le falta un
punto y a los demás dos a cada uno. (...).Por lo que Iodoco tendrá 24, Termes 24 y
Blafiro 48, según la columna D”(3).
El error que comete Caramuel es desviarse del problema inicial al considerar
apuestas entre cada par de jugadores. Más precisamente, supone que cada par de
jugadores apuesta un doblón de oro cada uno entre sí, de tal modo que lo que le
corresponde a cada uno de ellos es la suma de lo que le correspondería en su
apuesta particular con cada uno de los restantes jugadores, individualmente. Esto
resultaría así:
Iodoco y Termes
Iodoco y Blafiro
Termes y Blafiro
Estado
(2,2)
(2,1)
(2,1)
Apostado
1 + 1 doblones
1 + 1 doblones
1 + 1 doblones
Reparto
(1,1)
(1/2,3/2)
(1/2,3/2)
A Iodoco le corresponderían 1 + 1/2 = 3/2 doblones de oro, a Termes lo mismo y
a Blafiro 3/2 + 3/2 = 3 doblones de oro, con lo que la regla de proporciones es 1, 1,
2. El mismo error comete en el caso en el que a dos jugadores les falte un punto
para ganar el juego y al tercero dos. Siguiendo con nuestra notación se trataría del
estado expresado por la terna (1, 1, 2), a partir de la que, si se jugase otro punto,
se podría alcanzar una de estas tres situaciones (1, 1, 1); (0, 1, 2) ó (1, 0, 2). La
proporción de lo apostado que le correspondería al primer jugador sería
11 1 1
4
11 1
1
1
+ 1+ 0 = , lo mismo para el segundo y
+ 0+ 0 =
para el tercero,
33 3 3
9
33 3
3
9
o lo que es lo mismo, lo apostado se repartiría según las proporciones 4, 4, 1.
Caramuel se vuelve a equivocar y da un resultado incorrecto, a saber: 5, 5, 2.
Plantea, también, un problema similar a los anteriores. A diferencia de los casos
estudiados más arriba, en este nuevo problema el juego se interrumpe antes de
comenzar a jugar pero, por el criterio que sea, existe un orden previo en el que los
jugadores intervienen. El ejemplo concreto se refiere al lanzamiento de un dado en
donde gana el primero que obtenga un cierto número del 1 al 6. Al interrumpirse el
juego surge la necesidad de averiguar la proporción en que se han de repartir lo
apostado. La respuesta de Caramuel es que se ha de repartir según las razones 37
a 35, respectivamente, entre el primer y segundo jugador.
El cálculo correcto sería el siguiente: el primer jugador puede ganar en el primer
lanzamiento del dado, o en el tercero, o en el quinto, etc., y el segundo en el se-
(3)
Caramuel (1670): Ibidem, Num. LXVI. pp. 978-979.
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gundo lanzamiento, en el cuarto, o en el sexto, etc., de tal modo que las probabilidades que tienen de ganar ambos jugadores son:
P (ganar el primer jugador) = P (gane en el 1er lanzamiento ó gane en el 3er lanzamiento ó gane en el 5o lanzamiento ó ...) =
1
6
5
+ 
6
2
1
6
5
+ 
6
4
1
6
+ ... =
6
11
P (ganar el segundo jugador) = P (gane en el 2o lanzamiento ó gane en el 4o
lanzamiento ó gane en el 6o lanzamiento ó ...) =
5 1
6 6
5
+ 
6
3
1
6
5
+ 
6
5
1
6
+ ... =
5
11
Por tanto, la razón correcta es 6 a 5.
IV. TEOLOGÍA Y MATEMÁTICA
Puede resultar sorprendente para un lector actual ver unidos dos términos tan
“dispares” como son la teología y la matemática. Se concibe en la ciencia actual, en
general, la probabilidad como un concepto meramente matemático, sin embargo,
desde un punto de vista histórico, la noción de probabilidad tiene un origen filosófico y teológico. Existe un acuerdo generalizado sobre la fijación del nacimiento del
moderno Cálculo de Probabilidades a mediados del siglo XVII por la conocida
correspondencia entre Pascal y Fermat. No obstante, en esta época lo que se crea
es el cálculo en sí mismo y no una noción nueva de probabilidad. Lo que se produjo
realmente fue una asimilación de una concepción ya existente en teología y filosofía a cuestiones relativas a juegos de azar.
En este proceso representa un papel relevante las elaboraciones del probabilismo moral, fundado por el dominico español Bartolomé de Medina (1528-1580) y
desarrollado principalmente por doctores españoles. Este probabilismo constituye
una doctrina moral y, como tal, se ocupa de cuestiones que afectan a la vida cotidiana de las personas, que utiliza la probabilidad como argumento basado en
razones de peso y en la autoridad de hombres sabios para discernir la licitud o
ilicitud de la puesta en práctica de ciertos principios morales en cuestiones de
conciencia que se suscitaban en la vida de cualquier cristiano.
Esta doctrina, fundada a finales del siglo XVI, tuvo un notable auge y difusión
por toda Europa durante el siglo XVII, en el que conviene destacar la polémica
mantenida en torno a dicha doctrina entre jesuitas, partidarios de la misma, y los
jansenistas, opuestos a la misma y al poder e influencia política de los jesuitas.
En este sentido, resulta de gran interés destacar que Pascal fue partidario y
defensor de los jansenistas a quienes prestó su pluma ágil y eficaz para luchar
contra los jesuitas y su doctrina probabilística. Esto puede constituir el motivo por el
JUAN CARAMUEL Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
167
que Pascal no utilizase en sus escritos reconocidos el término probabilidad sino
palabras como suertes, azares, etc.
Es sabido que Pascal y Fermat desarrollaron métodos diferentes en la resolución del problema de la división de las apuestas. El primero elaboró un método
recurrente que parte de resultados finales para ir retrocediendo sucesivamente
hasta el principio del juego. Fermat construyó otro método basado en las combinaciones, describe los caminos que conducen a ganar y a perder de cada jugador,
siendo la relación entre ambos la regla que se ha de seguir en el reparto de las
apuestas. Tal y como destacan Clero y Caramatie, Fermat describe una situación
mientras que Pascal razona directamente sobre el valor de la equidad. Por su parte
Caramuel, al comienzo de la Kybeia, después de realizar unas breves consideraciones históricas acerca de los juegos de azar establece el siguiente principio:
“En los juegos de azar, que dependen sólo de la fortuna, se debe observar en
todo momento la equidad”(4).
La consideración de Caramuel hacia los juegos de azar no se restringe exclusivamente a resolver problemas de carácter matemático sino que también trata
aspectos jurídicos y morales inherentes a la realización de los propios juegos.
Como se dijo antes, Fermat enfoca el problema de la división de las apuestas
desde un punto de vista puramente matemático, mientras que Pascal y Huygens
introducen una hipótesis de equidad o justicia en el juego. Por su parte Caramuel
establece clara y explícitamente la necesidad de utilizar tanto la Teología Moral
como las matemáticas para dar respuesta a los problemas sobre juegos de azar.
Para ello, Caramuel parte de la siguiente sentencia:
“Para que exista equidad, será necesario que el dinero de la apuesta se corresponda con el peligro de perderlo. De modo que los que se exponen al mismo
peligro deben desembolsar igual cantidad. Pero será desigual cuando el peligro es
desigual, porque uno se somete a mayor exposición que el otro. Mas aquí entre los
contendientes se observa toda la equidad (pues así resulta o por el peligro o por la
compensación). Por lo que este juego es lícito y ninguno está obligado a restituir. Y
también puede ser que los contendientes no observan una total equidad (pues la
desigualdad está en peligro o es el resultado de la compensación). Luego este
juego es ilícito y cuando se presta a la desigualdad, se está obligado a restituir”(5).
Para resolver estas cuestiones Caramuel acude a la Teología y a la Kybeia :
(4)
Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.
(5)
Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.
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“La primera [Teología] para que dilucide la Mayor del silogismo expresado y la
segunda [Kybeia] para examinar la Menor y se pueda medir el grado de peligro”(6).
De todos los autores que se dedicaron al cultivo de la nueva “geometría del
azar” hasta Caramuel, el cisterciense español fue el primero en relacionar explícitamente el cálculo de azares con la Teología, y en concreto con la Teología Moral.
Es sabido que la doctrina del probabilismo moral, fundada y desarrollada principalmente por doctores españoles, era utilizada por los casuístas españoles para
averiguar la licitud o ilicitud de ciertos actos morales. En este sentido, se decía que
una acción era probable cuando era aprobada por fuertes argumentos y por autoridades.
Como ya sabemos, la correspondencia epistolar entre Pascal y Fermat, que dio
lugar a la “geometría del azar” pascaliana, trata de la resolución de problemas
relativos a juegos de azar, tales como el de la división de las apuestas. La interrupción del juego antes de concluir expone a los jugadores ante una situación de
incertidumbre sobre ¿qué habría sucedido si el juego hubiese continuado? y lo que
es más importante, ¿cómo repartir la apuesta?. La regla resultante proporcionará
un medio de saber cómo actuar en una situación de incertidumbre, característica
por otra parte común a las situaciones que se presentan a la Teología Moral respecto de la licitud o ilicitud de un acto moral.
Pascal utilizará el mismo esquema de análisis relativo a juegos de azar para resolver problemas menos frívolos como realiza en su conocida “Pari” o “Apuesta de
Pascal sobre la existencia de Dios”. A pesar de ser asunto trascendente lo plantea
como una apuesta. Lo común en ambos tipos de problemas es la existencia de
incertidumbre por parte del conocimiento humano. Se trata de un género de problemas a los que estaban habituados los doctores escolásticos españoles, cuya
respuesta partía de la creación de la doctrina moral del probabilismo que fue aplicada a múltiples casos particulares en contratos mercantiles, en interpretación de
leyes civiles, ... .
Sin embargo, como ya se ha señalado, Pascal no llegó a utilizar en sus escritos
sobre su “geometría del azar” el término “probabilitas”, utilizado continuamente por
los doctores casuístas españoles. Tal vez la polémica que enfrentó a jansenistas y
jesuitas, en la que participó activamente Pascal, le impidió reconocer que el concepto que mejor se ajustaba al objeto de su nueva geometría era precisamente el
de la probabilidad de los doctores españoles, aunque el propio Pascal fuera conocedor de esta polémica.
(6)
Caramuel (1670): Ibidem, Num. XLIX, p. 973.
JUAN CARAMUEL Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
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La conexión definitiva entre el concepto de probabilidad utilizado en teología y el
contenido de lo que Pascal denominó “geometría del azar” fue conseguida por
Jacques Bernoulli en su Ars Conjectandi. Schneider señala que la intención de
Bernoulli es relacionar el concepto de probabilidad utilizado en filosofía y teología y
la “geometría del azar”.
“Sin embargo, la posibilidad de que este desarrollo surgiese fue solamente después de que se relacionase el concepto probabilitas, utilizado en filosofía y teología,
y el cálculo de las proporciones del azar”(7).
En su artículo “The Bernoulli” de la Encyclopedia of Statistical Science, Shafer
enfatiza la relación entre los términos probabilidad y suerte, insistiendo en la procedencia teológica y filosófica del término probabilidad, de la que Jacques Bernoulli
había bebido.
“En la larga tradición del pensamiento filosófico y teológico del que James Bernoulli fue heredero, la idea de probabilidad no fue estrechamente unida a la idea de
suerte [chance]. Pascal, Fermat y Huygens no utilizaron incluso la palabra probabilidad en sus escritos sobre suerte [chance]; probabilidad, como los escolásticos
sabían, era un atributo de la opinión, un producto del argumento o de la autoridad.
La teoría que James estableció en la IV Parte del Ars Conjectandi fue un intento de
llenar este vacío. Fue un intento de aplicar a la nueva teoría de los juegos de azar
la probabilidad manteniendo la idea de que la probabilidad está basada sobre
argumentos”(8).
Resulta muy difícil establecer con claridad la influencia que Caramuel pudiera
ejercer sobre el origen del nuevo Cálculo de Probabilidades y, en concreto, la
utilización del concepto probabilitas utilizado en teología en el cálculo de azares, de
lo que no cabe duda es de la intención explícita de este autor de tratar los problemas de la división de las apuestas no sólo desde una perspectiva puramente
matemática sino también teológica.
(7) Schneider, I. (1976): “The Introduction of Probability into Mathematics”. Historia
Mathematica 3, 1976. p. 138.
(8)
217.
Shafer, G. (1982): “The Bernoulli”. Encyclopedia of Statistical Sciences. Vol. 1º, p.
170
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W IELEITNER, H. (1932): «Historia de la Matemática». 2ª edición. Labor. Barcelona.
W USSING, H. (1998): «Lecciones de Historia de las Matemáticas». Siglo XXI. Madrid.
JUAN CARAMUEL Y EL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
JUAN CARAMUEL AND THE THEORY OF PROBABILITY
SUMMARY
The purpose of this paper is to study Juan Caramuel´ contributions
to the modern theory of probability, taking into account that his “Kybeia” is the second treatise on modern probability theory ever (after
Huygens´s). The work by Caramuel represents the first relevant
precedent in setting a relationship between random geometry and
moral and philosophical issues. The final connection was carried out
by Jacques Bernoulli in his Ars Conjectandi. Only when the probabilitas concept (precedent of Moral Theology) was assimilated by random
geometry Modern Theory of Probability reached the enormous development obtained after the publication of Jacques Bernoulli´s work.
Key Words: History of the Probability, Probabilism, Games of chance,
Casuistry, XVII century.
AMS Classification: 60-03, 01A45
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