FI]NCIONTS TRI60NOI\,1ETRICAs Práetica I Dibujar sobre el plano cartesiano los siguientes ángulos en posición normal. Completar Ia tabla. .fiadio' , h. -150" l. - 60' a. 30" b. 60" c. 45" j d.110" k. - e. 235" l. f. m.225" 450' 3 metros 2 metros 1.080" -365' B metros c. 330" 30' a 6 metros Tres cuartos de rotación en sentido contrario a las 6 a. radianes El minutero del reloj de la manecillas del reloj. fotografÍa mide 15,24 cm Cinco sextos de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj. de largo. ¿Cuántos centímetros se desplaza su pun- ta en un cuarto de hora? de rotación en el sentido de las mane- e. Siete medios de rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj. f. Un quinto de rotación en el sentido de las maneci- ¿Cuántos centímetros desplaza en 30 minutos? b. se w La medida del radio de las ruedas de un.automóvil es 38 cm. Si las ruedas giran a razón de 4 revolu- ciones por segundo, ¿con qué velocidad se desplaza el automóvil? Convertir a radianes cada uno de los ángulos expresados en grados. Escribir la respuesta como múltiplos de r. a. 60' b. 4s' g.-60' m. -450" h. -175" c. i. -225" j. - 180" n. 1.080" o. -650' p. 900' q. -240' r.75" f. 120' 1 k. -350' l. - 700" 50' C. 4. Expresar en grados el valor de los siguientes ángulos: 5rl a.T .)., ¡¡ s b.34 5n 4¡t d.6 s.i e. 8'¡i" h. ¿'| 1 t_ - 5n' J -6 7t¡ J 5r¡' J t-- 7¡r k. J 2¡ TI 6 !?. E. rad iá n &" Resolver los siguientes problemas. d. 3s" e. 240' h\. OJ 0,2§ radianes 2 centÍmetros lla del reloj. Foz(n radianes 3 cillas del reloj: . 4 6 metros Media rotación en el sentido de las manecillas del d. Cinco octavos 3" a ,l reloj. b. *ngulb,,1. tr¡t' : : l'¡: "1r: ¡,.$.:',,.,,,1.'.:.,: 2 metros Encontrar la medida de cada ángulo en grados. Luego, dibujarlo en el plano en posición normal. a. ,..Y,,:' -270" n. g. -120' 2" 5. La curva de una vía de ferrocarril se va a trazar describiendo una porción de circunferencia. ¿Oué radio debería usarse si la trayectoria cambia de dirección 25' en una distancia de 120 metros? Una llanta de 40 cm de radio va rodando sobre una superficie plana desde una posición A hasta una ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por nrinu- to? ¿Cuál es su velocidad angular en radianes por posición B. ¿Cuál es la distancia que recorre la llanta, para llegar hasta la posición B, si tiene que dar seg u ndo? 7" Si 0 es el ángulo central, expresado en radianes, de una circunferencia de radio el área A del sector circular subtendido por 0 se calcula por medio de la expresión: 22 vueltas? I A: 1 B r2o 2 Por ejemplo, el área del sector circular de la figura es: El péndulo del reloj de Ia ' fotografía mide B0 cm y describe un arco de 10 cm. ¿0ué ángulo, en grados, recorre el péndulo al balancearse? f. 100 fotogra- 25r = 78,5 cm2 su 0 velocidad angular en radianes por segundoT ¿Cuál es la velocidad lineal en centímetros por segundo de un punto situado en el extremo de algún aspa? g. 1T Hallar el área del sector sombreado en cada fiqura fía, tiene un diámetro de 60 cm y gira a una velocidad angular de B0 revoluciones por minuto. ¿Cuál es (,CI'(;) 22 -x: El ventilador de la " - 210" La hoja de una sierra de forma circular cuyo radio es de 9,4 cm, gira a 1.200 revoluciones por minuto. i #sGffiEffisEft"EeEH#ii.ffi1ffiffitrmffiiE¿ .--..=- FUNCION ES TRIGONOM ÉTNICRS Sea 0 un ángulo en posición normal, con vértice O y M(x, y), M'(x', y') dos puntos distintos sobre su lado final, tales que OM : r y OM' : r'. Los triángulos Mo,\i y M'oN' de la figura 1, son semejanres, pues tienen lo: tres ángulos correspondientes congmentes; de modo que se pueden establecer las siguientes proporciones: y _y' *:r' rr"rr"xx' Por iv 1o tanto, las razones +, rrx+ v I y:y' están determinadas por el valor del ángu- lo 0 y no por la posición del punto M. Se observa ento.nces, que las correspondencias de la z I o-+l,o-+avo-+l r r' x X'1 -X- forma son funciones. A estas funciones, se les denomina funciones !!. F trigonométricas. FI]ÑCIONF§ f RIGONOl\,4ETRICAS *12.1 DEFTNTCTÓN DE LAS FUNCIONES TRIGONoMETRICAS un ángulo en posición normal, U$_l) tt cualquier punto sobre su lado final, diferente de (0, 0), y t : OtW : t *2 I y2, entonces, las funciones trigonométricas para eIángulo 0 se definen de la siguiente manera: Si 0 es .senoe:sentl:L cofe: tanI 0 ,.. g :-lcos .r.0 : V r x f cosenoO:cos0: tangenteS:tan0' _v ,x*0 0 x I cotangente0: cot 0: sen 0 ton0:cot 0 i 1 ,y + O secante0:sec0:l,x*0 x .o, 0 :1 sec 0 cosecanleO seng: csc 0 1 : csc 6 : l, v y * 0 Como consecuencia de las definiciones aíteriores, se obtienen las relaciones se plantean en la tabla de la izquierda. recíprocas que Dominio y ranqo de las funciones trigonométricas Dada la definición de las funciones trigonométricas es posible determinar su dominio y su rango mediante el siguiente análisis: Como en el lado final del ángulo 0 está el punto M(x, y) + (0, 0) entonces, r---------.r : Y x¿ * yl nunca es cero. Por 1o tanto, el dominio de las funciones seno y coseno está constituido por todos los ángulos 0. Pero, las funciones tangente y secante no están definidas para los ángulos cuyo lado final coincide con el eje y, es decir, para x : 0. De modo que los dominios de las funciones tangente y secante están formados por todos los valores de o, excepto los valores Dom lseni: Ron (sen) Dom [cos]: Ron (sen 0) Dom (tan) : 1, (*rrT._l 1) Dom P : l' 1, 17 f R-{ele+}+"n, 2 J tr z ^cv1 tt v Ll to Ron (ronl: P o !+ .. En general, los dominios de las funciones tangente y secante se enuncian así R : l- ,t ran: ]oto *(2n + l\ lzllL) " ,n =Zl Domsec: ]elo *(2n - 1);,n e Zl Las funciones cotangente y cosecante no estárr definidas para ángulos cuyo lado final coincide con el eje x, es decir, para y : 0. Así, los dominios de las funciones cotangente y cosecante comprenden todos los ángulos 0, excepto ángulos como +T, +2T, +3r, entre otros. En general, los dominios de estas dos funciones son: {0 I 0 * n¡r, n e Z}. f5" Ahora, teniendo en cuenta que: *i , l*l: l*, entonces r-fr, t 17 rs + l +l Sea : = \E < 1 porlo que lil = ,tlil l1 rol 9 B 7 I et 5 se concruye que: l vlsec 0l> t para todo dngulo U, fu'nriorrr. o un ángulo., T:i:]r: 0 normat,tat qu,e M(_8,15) es un punro ubicado ,alo, Oe sen;,.;r"; y tan o. sobre su lado final (figura 2). Determina, el 5*lución : ffi:#;l;ti,[#;::,.es x -B v v: 15. r: \F;7: \4:8)21? : fl*s : ,. 3 Así,sen Figuro 2 \F =f|ly, = , lsen 0l< 1, lcos 0J 1, lcsc 0l > = en el dominio de cada una a) 13 tZ-l b,l= o= : -+ +,cos0 trno Er varor de rse carcura a partir : _# Encontrar el varor de fu.nciones trígonométricas para I,a-s-seis cada ánguro en posición normar' pv 0son puntos roicrJo's sobre er rrd; ánguro dado. a. B, si P(2, b. o, si o(_1, _2) ii;ri;r -3) Solución a. Dado que P(2, -3), entonces X = 2y frl+ ÁP : {B,por tanto, senB:--L--3v{J ' Vrs t3 y : -3. Luego, r= cosp: v13--L tanB: -33 22 +: b. Como 0 : (- 2\/13 ,.. 13 1, -2),se tiene cos0= -t =-V5 t/s -1 : V13 tni cscp: fs tan0= '-2 B 2 __ Que x = -1 y r: V(- 1)2 + ¡-2¡z - \,6, entonces, sene: _1! :- 2\/i _a cotB: 2 :-2 -33 I y: -2, -3 = \4i _ 3 así, coto: -1: 1 -22 seco: li:-rn v -1 csco: V6 --\6 -22 r z 5 J zF o F € FUNCiONES TRIGONO[/IETRICAS FfA*tíC* 2 bi,u,,noruo Dibujar los ángulos en posición normal, dadas las coordenadas de uno de los puntos que está ubicado sobre el lado final. Luego, hallar elvalor delseno, la tangente y la cosecante del ángulo. a. P(-1, 1) b. P(-2,0) c. P(-3,0) , ,(+ +) 3) f. P(1,2) e. P(4, g. P(:, @morosrrrvr J*ou**.ruo: : 3. Observar Ia siguiente gráfica. Luego, escribir V o i según corresponda. Justificar la respuesta. F ¡ +) : i n p(t -+) \ zl i i 2. Hallar el valor de las funciones trigonométricas en ángulo indicado en cada gráfica. el i La distancia entre el origen número irracional. i 4 b. t i'.'ll il y el punto M es un El valor del sen 0 equivale al coseno de un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene punto (5, 1B 2¡ c. d. t; - al 3). Elvalor de tan 0 es mayor que elvalor de csc El valor de ninguna de las funciones 0. trigonométri- cas de 0 es menor que cero. *2.2 SIGNO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS El signo de los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo determina según el cuadrante en el cual está ubicado q. cr, se : \F . Si P(-r, y) es un punto sobre el lado final de o¿, la distan ciar y'siempre es positiva, por 1o cual, los signos de las funciones trigonométricas de ct, dependen de los signos de r yy. Por ejemplo, para un ángulo del primer cuadrante todas las funciones trigonométricas son positivas, pues ¡ ) 0 yI > 0 para cualquier punto (,r, y) ubicado en este cuadrante. En el siguiente cuadro se presentan los signos de las funciones trigonométricas para un ángulo 0 ubicado en cualquier cuadrante. arX I II f, J F z rO) sen + 0 cos + tan + CI cot + 0 sec + + I csc + + UI IV I + + + + § 1. Si sen 0 - -*,25' U es un ángulo ubicado en el cuarto cuadrante calcular cos 0 y tan 0. §r¡luriór¡ ¿Por qué o portir de la expresión r2 x2 : + Como sen 0 y2 se tiene gue así, ,:l*,*yryqu, x=- - -125 .n1onq.s y x: lyi¡ - n¡ : : -l yr : 25, -24. Pero 0 se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo tanto, ..\F:7 x: 2. : 24.Así, cos o #ytan o + : _+ : lndicar, en cada caso, el cuadrante en el que está ubicado el ángulo a. coscr(0ytancr.)0 b. cx. seno(0yseccr)0 c. tancr.(0ycsccr)0 Solución De acuerdo con el cuadro de signos, se tiene en cada caso que: a. a está en el cuadrante b. cr está en el cuadrante c. lll. cr está en el cuadrante ll. lV. 3. Hallar todos los valores posibles de cada fracción teniendo en cuenta las condiciones dadas. LI a. sec 0, si sen 0 -- 3 f,l P t-16 2 al G I b. tan 0, si cos 0 : +. \l -1. §oluríén a. como sen 0 : , *3 , o entonces 0 puede estar ubicado en el primer cuadrante o en el segundo cuadrante. Como y : 2, r:3 Flguro 3 Así, para el primer cuadrante, sec 0 cuadrante, sec o b. Dado que cos 0 : j entonces, y: *f 3z j: *\6. .. ^^..^ ^, -- 3vG U VParael segundo VS=_= : :_ _ _ 3\,6 (figura 3). s -v5 : -i-, entonces, puede ser der segundo cuadrante o der x: r: y: t\E- Ci2: *\6. Por lo tanto, para el segundo cuadrante tan 0 : + : -f,6 y para el tercer tercer cuadrante. Como cuadrante, tan.6 Figuro 4 : + - 1, 2,entonces, : f,6 (figura +). -1 z f J F z tó '48 FUNCIONES TRiGONON,IÉTRICAS *2.3 :tffqilffifiqi# FUNC|oNES TRtc0NoMETRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES se denominan ángulos cuadrantales aquellos cuyo lado final coincide con alguno de los ejes coordenados. Los ángulos cuadrantales son 0o, 90o, 1g0o, 270" y 360'. Los valores de las funciones trigonométricas para estos ángulos, utilizando cualquier punto P ubicado sobre su lado final. se obtienen Calcular el valor de las funciones trigonométricas para 90". 5*luci*n / Sea P(0 sengo'cos 90" tan un punto sobre el lado final de g0". Como r Y r - o!: t :1 0p : ¡ entonces. 0 _^ : I --u r r 0Pr: Indefinida 0 0 _ 0 _^ 0P---u g0': / X cot 90" : : I Y .r r 'x : -- sec 90" 0 lndefin ida - L:1 csc9o.:!:J ,y)Pr La tabla que se muestra a-continuación resume los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos cuadrantales. L*| -':-§unción Ángxlo---\ rI ri B cos 0 tan coi {:i {j sec B csc 00 0 1 0 Indefinida 1 Indefinida 1 0 Indefinida 0 Indefinida I 0 -1 0 Indefinida -1 lndefinida 270' -1 0 Indefinida 0 Indefinida -1 3600 0 0 Indefinida 1 Indefinida 80" E l : Determinar el valor de: .7¡ b. : l a. cot 450" o CSC ]0lrtilr}n z sJ zt- , Figuro 6 I 90" 1 Figuro 5 sen -2 : cot g0. : 0. f raAescoterminaf con f rad (figura 6), tuego*.+:.r. f : -1. a. 450" es coterminal con 90" (figura 5), por lo tanto, .b. 7,n 49 cot 450. Fyeictiea 3 1. |C_ltdlly Escribir el cuadrante en el cual se encuentra ubicado el lado final de un ángulo 0 de acuerdo co, las dos con_ Segunda tondirión esndieÍén sen0)0 tan0(0 cos0)0 sen0)0 cot0(0 cos0)0 sec0(0 csc0(0 sec0(0 tan0)0 sen0(0 sen0)0 4. E a- 3' 2 Hallar el valor de todas las funciones trigonométricas de 0, dados los valores de dos de ellas. .oro:f b. costi:+,tano: _+ a. seno: c. cot0)0 csc0)0 + seno:-1,.oro:2f :, /c d. cos0--l9,cot0:\6 de cada una de las expresiones, sin uti_ lizar la calculadora. e. a. sen 90' * csc 90" b. tan 180' - cos90" ]_ 4sen90. f. tane:-\/r,cot0:-# c.3sen,,-1,rn360.+1 3-5 csc 90" + 3\/isen a. 4 tan 180" .1r.3r¡. l. ¡cos, t3cot; 3" El lado terminal de un ángulo de 420. en posición normal se ubica en el cuaño cuadrante. d. Si sen 0 : 6. Encontrar el valor exacto de todas las funciones trigo_ nométricas para 0. 4 Representar sobre un plano cartesiano un ángulo 0 en posición normal en el cual los puntos p(_2, _4) y b. a. seno:-+,rr<o<3, 3' ' 2 c. u. coso:+,0<o<90. d. 5' _9. Resolver cada Iiteral. a. 2senrr de tan 450". :5',y el lado final de 0 está ubicado en el segundo cuadrante, entonces, tan O= ? 90"+:sen270' - cos 5 -+ b. EI valor de cos 350. es positivo. c. EI signo de sen i20" es igual al signo - 3cosn g. B tan 0" - + sen tBO" * 7 tan 180. 5 h. 4sen 90" - 3 tan lB0. sen g0" - i. e=#,coso: Luego, modificar las afirmaciones que sean falsas para convertirlas en afirmaciones verdaderas. 270. ocos0" sen S" Determinar el valor de verdad de cada afirmación. 1 ¡r -^-- 3t ^ sen-+cosrn_isen7 e. f. 3sentr * sen I * 2 i 52 2. Hallar elvalor d. \,5 -e1ññ,^* 4tc. tane :i,n,<0<J'¡r diciones dadas. Primcra', _ry,lil,-,,* .* A?+, -B) se ubiquen sobre su lado terminal. Utilizar el punto ppara calcular el valor de las fun_ ciones trigonométricas del ángulo 0. Utilizar el punto 0 para calcular el valor de las fun_ ciones trigonométricas del ángulo 0. Elaborar una conclusión que resuma los resultados de los literales b y c. z Js F z @ §9