¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella? Bastara reemplazar los puntos en la ecuación y = ax 2 + bx + c y plantear el sistema correspondiente. Los puntos correspondientes son 0,-2 3,1 y 5,8 Usando una tabla para ordenar, se tendrá que x 0 3 5 ax 2 + bx + c a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c c = −2 a ⋅ 32 + b ⋅ 3 + c 9a+3b=3 a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c 25a+5b=10 y -2 1 8 Por las deducciones de la tabla se plantea el sistema de ecuaciones 9a + 3b = 3 25a+5b=10 Aplicando algún método, ya sea reducción, igualación, sustitución o cramer, se podrá determinar los valores de a y b, que son respectivamente a=1/2 y b= -1/2, de donde la ecuación principal de la cuadrática será y= Profesor Eduardo Flores 1 2 1 x − x−2 2 2 1 www.crisol.tk ¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella? Como puede observar la grafica corresponde a la parábola que pasa por los puntos mostrados. Dibuje en ella el eje de simetría y verifique que las raíces son las correctas. Profesor Eduardo Flores 2 www.crisol.tk ¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella? Ejemplo 2 Dados los puntos ( 0,8 ) ( 5,5 ) ( 7, 0 ) 2 Reemplazando ordenadamente en la ecuación y = ax + bx + c se tendrá que, del punto (0,8) 8 = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c De donde Del punto ( 5,5 ) c = 8 5 = a ⋅ 52 + b ⋅ 5 + c 5 = 25a + 5b + 8 Y del tercer punto, ( 7, 0 ) 25a + 5b = −3 0 = a ⋅ 72 + b ⋅ 7 + c 49 + 7b + 8 = 0 49 + 7b = −8 Profesor Eduardo Flores 3 www.crisol.tk ¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella? Al resolver el sistema obtenido, se tiene que, por igualación, 25a + 5b = −3 49a + 7b = −8 25a + 5b = −3 −3 − 5b a= 25 49a + 7b = −8 −8 − 7b , a= 49 −3 − 5b −8 − 7b = 25 49 49 ( −3 − 5b ) = 25 ( −8 − 7b ) −147 − 245b = −200 − 175b . −147 + 200 = 245b − 175b 53 = 70b 53 b= 70 Bastara ahora evaluar el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, con el fin ultimo de obtener el valor de la segunda incógnita y entonces 25a + 5b = −3 53 25a + 5 ⋅ = −3 / 70 70 1750a + 5 ⋅ 53 = −210 1750a + 265 = −210 1750a = −210 − 265 1750a = −475 −475 −97 ⋅ 5 −19 ⋅ 5 ⋅ 5 −19 a= = = = 1750 175 ⋅10 35 ⋅ 5 ⋅10 70 Luego, los valores buscados son A = −19 53 , B= y C = 8 , de donde la ecuación buscada 70 70 es −19 53 x2 + x + 8 = y ( x) Ax 2 + Bx + C = Y ( x) ⇒ 70 70 Nota. Aplique cualquiera de los métodos conocidos para determinar el valor de A, B y C. No se centre en solo aplicar el método explicado, pues de usted depende relacionar lo aprendido en forma concreta. Profesor Eduardo Flores 4 www.crisol.tk ¿Como determinar la ecuación de una cuadrática conociendo tres puntos de ella? Ejercicios Determine ahora la ecuación de cada una de las cuadráticas mostradas en la grafica. Luego verifique si la ecuación obtenida cumple con cada curva, reemplazando diversos puntos. Profesor Eduardo Flores 5 www.crisol.tk