Geometrı́a Analı́tica II Trabajo 20 Prof. Pablo barrera Alumno: Ernesto Velasco Grupo: 4078 Dados los tres puntos en el plano Π1 : xa + yb + zc = 1 encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de corte de dicho plano con los ejes coordenados, es decir los puntos A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0) y C = (0, 0, c) Para encontrar la ecuación del la circunferencia que pasa por los puntos A, B y C considerese una de todas las circunferencias que pasan por dichos tres puntos, en este caso yo he tomado 2 2 2 aquella que pasa por el origen, por lo que la ecuación de dicha esferabes 2 C1 : x +y +za2−ax− 2 2 c 2 a 2 by−cz = 0 completando cuadrados se tiene que C1 : x − 2 + y − 2 + z − 2 = +b4 +c , por lo que el centro de la esfera tiene coordenadas p0 a2 , 2b , 2c , si se toma la recta que pasa por el centro de la esfera es perpendicular al plano Π1 , el punto de intersección con dicho plano será el centro de la circunferencia, por lo que la recta que cumple dichas propiedades es `1 : P (t) = p0 + tn donde n es el vector normal al plano Π1 por lo que se tiene que `1 : P (t) = a2 + at , 2b + bt , 2c + ct ahora ya que el punto de intersección sobre le plano Π1 satisface la ecuación del mismo, se sustituye para obtener el valor de t es decir a 2 + a t a + b 2 + b t b + c 2 + c t c =1 a se puede observar es equivalente a 2a + at2 + 2bb + bt2 + 2cc + ct2 = 1 con lo cual t a12 + b12 + c12 = − 12 a2 b2 c2 por lo que t = − 2(b2 c2 +a 2 c2 +a2 b2 ) de esto se sustituye t en la ecuación paramétrica de la rec a2 b2 c2 ta para obtener las coordenadas del centro de la circunferencia P − 2(b2 c2 +a = 2 c2 +a2 b2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a − 2a(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) , 2b − 2b(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) , 2c − 2c(b2 c2a+ab2 cc2 +a2 b2 ) por lo que el centro de la 2 3 b2 +a3 c2 b3 a2 +b3 c2 c3 a2 +c3 b2 circunferencia tiene coordenadas pc = 2(b2 ca2 +a , , aho2 c2 +a2 b2 ) 2(b2 c2 +a2 c2 +a2 b2 ) 2(b2 c2 +a2 c2 +a2 b2 ) ra para encontrar el radio, este está dado por r = d (B, pc ), ahora lo adecuado es construir un sistema ortogonal local sobre pc para ello hay que tomar un vector p1 ∈ Π1 sea p1 = A con lo que p1 − pc = (a − xc , −yc , −zc ) ahora considerese otro vector cualquiera p2 sobre el plano tal que (p1 − pc ) · (p2 − pc ) = 0 con lo que (a − xc ) x − (a − xc ) xc + yc2 + zc2 − yc y − zc z = 0 de aqui que (a − xc ) x − yc y − zc z = −yc2 − zc2 + (a − xc ) xc que se puede ver es un plano si se toma el vector generador de la recta que se produce de la intersección de este con Π1 se 1 obtiene le vector que se busca por lo que p2 = b yc2 + zc2 − (a − xc )2 b yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc yc2 + zc2 − (a − xc )2 − a −a + ,b − , a ab (a − xc ) + yc c (a − xc ) + yc − cb yc + zc b yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc − cb yc + zc ! ahora con lo que p2 − pc = −a + b yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc b yc2 + zc2 − (a − xc )2 − x , b − − c a ab (a − xc ) + yc c − cb yc + zc yc2 + zc2 − (a − xc )2 yc2 + zc2 − (a − xc ) xc − byc − zc − y , c a (a − xc ) + yc − cb yc + zc b ! con esos dos vectores se puede puede construir la circunferencia normalizando primeramente 1 1 (p1 − pc ) y v1 = kp2 −p (p2 − pc ), ahora con esto todo estos vectores es decir v1 = kp1 −p ck ck punto en el plano se puede escribir como P (γ, δ) = pc + γv1 + δv2 ya que se quiere una circunferencia de radio r = d (A, pc ) se debe cumplir que γ 2 + δ 2 = r2 de lo que se sigue que γ = r cos θ y δ = r sen θ por lo que se tiene que P (γ, δ) = pc + d (A, pc ) cos θv1 + d (A, pc ) sen θv2 por lo que la ecuación del circulo que se busca es P (θ) = pc + d (A, pc ) cos θv1 + d (A, pc ) sen θv2 2