3. PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS Recibe el nombre de

3. PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
Recibe el nombre de problema de los dos cuerpos la descripción del movimiento
de un sistema de dos masas puntuales que se mueven de acuerdo con su atracción
gravitatoria mutua.
3.1 Conservación del momento lineal
Sea O un punto fijo del espacio del movimiento: m1 y m2 las masas de los dos
puntos materiales móviles. Si m1 > m2, llamaremos primario al punto de masa m1 y
JG JG
secundario al punto de masa m2. Sean por otra parte r1 y r2 sus posiciones respecto a O
JG
y r el vector, de módulo r, de posición de m2 respecto a ml. Se verifica:
FIG 1.3
JG JG JG
r = r2 − r1
(1.3)
De acuerdo con la ley de la gravitación, las partículas se atraen mútuamente, según
la recta que las une, con una fuerza de módulo
F =G
m1m2
r2
(2.3)
donde G es la constante de la gravitación (G=6,67.l0-8 c.g.s.).
Según el principio de acción y reacción el primario atrae al secundario con una
fuerza cuya expresión vectorial es:
JG
mm G
F 1 = −G 1 3 2 r
r
y el secundario atrae al primario con una fuerza:
(3.3)
JJG
JG
mm G
F2 = − F 1 = G 1 3 2 r
r
(4.3)
y como suponemos que sobre los puntos de masas ml y m2 no actúan otras fuerzas que
las de atracción mutua, podemos escribir sus ecuaciones de movimiento en la forma:
m m G⎫
G
m2 r2 = −G 1 3 2 r ⎪
⎪
r
⎬
mm G
G
m1
r1 = G 1 3 2 r ⎪
⎪⎭
r
(5.3)
G
Si R es el vector de posición del centro de gravedad O' del sistema de las dos
masas, se verifica:
JG
JG
JG m r + m r
1 1
2 2
R=
M
(6.3)
con M = ml + m2.
Si sumamos miembro a miembro las ecuaciones (5.3), obtenemos:
G
G
m1
r + m2 r2 = 0
y de (6.3):
JG
JG
JG
M R = m1 r1 + m2 r2
(7.3)
y derivando dos veces:
G
G
G
MR = m1
r1 + m2 r2
de donde
G
R=0
e integrando:
G G
R=a
JG G G
R = at + b
(8.3)
G
G
donde a y b son vectores constantes determinados por las condiciones iniciales del
problema.
La relación (8.3) nos da el principio de conservación del momento lineal: “el
centro de masas se mueve en una línea recta con una velocidad uniforme”.
CAPÍTOL 2
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