123. Si un espacio (X, τ ) es T1 , se dice completamente regurlar si dado un punto x ∈ X y un cerrado A ⊂ X tal que x ∈ / A, existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Demuestre: (a) Todo subespacio de un espacio completamente regular también lo es. (b) El producto de espacios completamente regulares también lo es. SOLUCIÓN: (a) Dado M ⊂ X, ¿Es (M, τM ) completamente regular? Sea x ∈ M , F ⊂ M cerrado tal que x ∈ / F . Si F es cerrado en (M, τM ), existe A ⊂ X cerrado en (X, τ ) tal que F = A ∩ M y como x ∈ M y x∈ /F ⇒x∈ / A. Al ser (X, τ ) completamente regular, ∃ f : X −→ [0, 1] continua tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Si consideramos la restricción f |M : M −→ [0, 1], f |M es continua y como x ∈ M , f |M (x) = f (x) = 0 y f |M (A) = f (A∩M ) = f (F ) = 1, ya que A∩M ⊂ A y f (A) = 1 ∀ y ∈ A. Luego, (M, τM ) es completamente regular. (b) Sean (XiY , τi )i∈I una familia de espacios topológicos completamente regulares. ¿ Xi es completamente regular con la topologı́a producto? i∈I Q / F ; entonces a ∈ F c que es abierto en Sea F ⊂ i∈ Xi un cerrado y a ∈ la topologı́a producto y, por tanto, existe un elemento de la base tal que Q a ∈ i∈I Ai ⊂ F c donde Ai = Xi para todo i ∈ I, salvo una familia finita de ı́ndices J ⊂ I. Entonces ai ∈ / Aci que es cerrado; entonces, como cada espacio Xi es completamente regular, existe fi : Xi −→ [0, 1] continua tal que fi (ai ) = 0 y fi (Aci ) = 1. Para cada i ∈ J tomamos gi = fi ◦ πi que son continuas por ser composición de continuas. Si definimos la Q función f : i∈I −→ [0, 1] como f (x) = max{gi (x) : i ∈ J} se trata de una Q función continua que verifica que f (a) = 0 y si x ∈ F , entonces / Aj luego gj (xj ) = 1 y por x∈ / i∈I Ai , luego existe j ∈ J tal que xj ∈ tanto f (x) = 1. 1