Lección 4: Divisibilidad

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Lección 4: Divisibilidad
Múltiplos y divisores
A veces nos interesa saber si una cantidad se puede repartir
exactamente en partes iguales. Por ejemplo cuando pagamos
una cuenta entre varios amigos. Aquí daremos criterios
simples para saber si una división es exacta entre algunos
números sencillos. Empezaremos por ver los conceptos de
múltiplo y divisor que usaremos posteriormente.
Si multiplicamos un número natural por todos los números
naturales obtenemos todos sus múltiplos. Por ejemplo si
multiplicamos 2 por todos los naturales obtenemos los
múltiplos de 2:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ...
Un número que es múltiplo de 2 se llama par; si no es
múltiplo de 2 se llama impar.
Si dividimos un número par entre 2 la división es exacta.
Decimos que 2 es divisor de cualquier número par o que
2 divide a cualquier número par, o que los números pares
son divisibles entre dos o que son divisibles por dos.
Conocemos bien los diez primeros múltiplos de cada dígito
porque aparecen en la tabla de multiplicar. A continuación
hemos puesto los primeros 15 múltiplos de 2, 3, 5, 6 y 9
para hacer algunos comentarios sobre ellos.
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múltiplos de 2:
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18
20
22
24
26
28 ...
múltiplos de 3:
0
3
6
9 12 15 18 21 24 27
30
33
36
39
42 ...
múltiplos de 5:
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45
50
55
60
65
70 ...
LECCIÓN 4
múltiplos de 6:
0
6 12 18 24 30 36 42 48 54
60
66
múltiplos de 9:
0
9 18 27 36 45 54 63 72 81
90
99 108 117 126 ...
72
78
84 ...
múltiplos de 10: 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 ...
Observe que:
• 0 es múltiplo de cualquier número.
• Los múltiplos de 2 terminan en los dígitos pares 0, 2, 4, 6
u 8. Cualquier número que termine en un dígito par es
divisible entre 2. Por ejemplo 578 es divisible por 2
porque termina en 8.
• Los múltiplos de 5 terminan en 0 o en 5. Cualquier
número que termine en 0 o en 5 es divisible entre 5.
Por ejemplo 135 es divisible por 5 porque termina en 5.
• Los múltiplos de 10 terminan en 0. Cualquier número
que termine en 0 es divisible entre 10. Por ejemplo
1340 es divisible por 10 porque termina en cero.
• Los múltiplos de 3 terminan en cualquier cifra; sin
embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 3,
la suma es múltiplo de 3. Por ejemplo en 42 tenemos
que 4 + 2 = 6 y 6 = 3 ´ 2. Cualquier número en que
la suma de sus cifras es múltiplo de 3, es divisible
entre 3. Por ejemplo 92145 es divisible por 3 porque
9 + 2 + 1+ 4 + 5 = 21 y 21 = 3 ´ 7. Otro ejemplo:
¿es divisible entre 3 el número 8579796? Hacemos
8 + 5 + 7 + 9 + 7 + 9 + 6 = 51, y podemos repetir el
procedimiento con el resultado: 5 + 1 = 6, que es
múltiplo de 3: entonces 8579796 es divisible por 3.
• Los múltiplos de 9 terminan en cualquier cifra, sin
embargo si sumamos las cifras de un múltiplo de 9,
la suma es múltiplo de 9. Por ejemplo en 117
tenemos que 1 + 1 + 7 = 9 y 9 = 3 ´ 3. Cualquier
número en que la suma de sus cifras es múltiplo
de 9, es divisible entre 9. Por ejemplo 83214
es divisible por 9 porque 8 + 3 + 2 + 1 + 4 = 18 y
18 = 9 ´ 2. Otro ejemplo: 87694587 es divisible por 9
porque 8 + 7 + 6 + 9 + 4 + 5 + 8 + 7 = 54 y 5 + 4 = 9
(o bien: 54 = 9 ´ 6).
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• Los múltiplos de 6 son múltiplos de 2 y de 3. Cualquier
número que sea divisible entre 2 y por 3 es divisible
entre 6. Por ejemplo 45672 es divisible por 6 porque
es par y porque 4 + 5 + 6 + 7 + 2 = 24 y 24 = 3 ´ 8.
Con estas observaciones podemos saber si la división entre 2, 3,
5, 6, 9 ó 10 va a ser exacta antes de hacerla y si no es exacta
sabremos cuál va a ser el residuo. Veamos unos ejemplos:
El número 7920 es divisible entre 2, por 5 y por 10
porque termina en 0, es divisible entre 3 y por 9 porque
7 + 9 + 2 = 18 y 18 = 3 ´ 6 = 9 ´ 2, es divisible entre 6
porque es divisible entre 2 y entre 3.
El número 7921 no es divisible por 2, ni por 5, ni por 10
porque termina en 1, no es divisible por 3 ni por 9 porque
7 + 9 + 2 + 1 = 19 y 19 no es múltiplo de 3 ni de 9, y no es
divisible por 6 porque no es divisible por 2. Si dividimos 7921
entre 2, o entre 5, o entre 10, nos va a sobrar uno que es lo
que le sobra a la última cifra para ser 0. Si dividimos 7921
entre 3 o entre 9, nos va a sobrar uno que es lo que le sobra
a la suma de las cifras para ser 18 que es el múltiplo de 3 y
de 9 inmediatamente anterior a 19.
El número 7005 es divisible entre 5 porque termina en 5 y es
divisible entre 3 porque 7 + 5 = 12 y 12 = 3 ´ 4. Este número
no es divisible entre 2 porque termina en una cifra impar, no
es divisible entre 10 porque no termina en 0, no es divisible
entre 6 porque no es divisible entre 2, y no es divisible entre
9 porque 12 no es múltiplo de 9. Si dividimos 7005 entre 2,
sobra 1 porque 4 es el dígito par más cercano a 5 y menor
que 5. Si lo dividimos entre 10, sobran 5 porque es lo que
le sobra a la terminación para ser 0. Si dividimos entre 6,
sobran 3 porque en 7002 la suma de las cifras es múltiplo de
3 y la terminación es par. Si dividimos entre 9, sobran 3 pues
a 12 le sobran 3 para ser múltiplo de 9.
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LECCIÓN 4
a) Encuentre los primeros quince múltiplos de 4, los de 7 y
los de 8.
b) ¿Qué puede decir de los múltiplos de 4 y de 8?
c) Encuentre cinco divisores distintos de 60. ¿Tiene más?
d) Encuentre tres números que sean múltiplos de 4 y
también de 10.
e) Encuentre el número más pequeño que sea múltiplo de 4
y 7, de 4 y 8, de 4, 7 y 8.
f) Diga si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5, 6,
9 ó 10:
382
945
4200
5994
1201
76950
g) Encuentre el número más cercano a 382 que sea divisible
entre 3.
a) Al dividir un número natural entre 7 se obtiene un residuo
de 3. ¿El número es divisible por 7? ¿Cuál es el menor
número que hay que sumarle para obtener un múltiplo
de 7? ¿Cuál es el menor número que hay que restarle
para obtener un múltiplo de 7?
b) Al dividir un número natural entre 5 se obtiene un residuo
de 2. Si se le agrega un número que es mayor que 15 y
menor que 20 se obtiene un múltiplo de 5. ¿Qué número
se agregó?
Números primos
Hay números que solamente son divisibles entre uno y entre
ellos mismos. Los números distintos de uno que sólo son
divisibles entre uno y por ellos mismos se llaman números
primos. Por ejemplo a 5 sólo lo dividen 1 y 5, es un número
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primo. De la misma manera, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. son
números primos. Estos números son especialmente importantes
porque con ellos se pueden construir todos los demás con
multiplicaciones, por ejemplo como 6 = 2 ´ 3, 6 no es primo,
pero 2 y 3 sí lo son. Siempre se puede escribir un número
natural como producto de factores primos.
Para descomponer un número en factores primos lo dividimos
consecutivamente entre los números primos. Por ejemplo,
para descomponer 45 en factores primos tomamos el primer
número primo, 2, vemos si 45 es divisible entre 2, como 45
es impar no es divisible entre 2; tomamos el siguiente
número primo, 3, vemos si 45 es divisible entre 3, como
4 + 5 = 9, sabemos que sí es divisible entre 3 y lo dividimos:
45 ¸ 3 = 15; como 15 también es divisible entre 3, lo
dividimos: 15 ¸ 3 = 5; como 5 ya sólo es divisible entre 5,
lo dividimos: 5 ¸ 5 = 1, y ya terminamos. Hemos dividido 45
consecutivamente entre 3, entre 3 y entre 5, entonces
45 = 3 ´ 3 ´ 5.
Se acostumbra escribir estas divisiones consecutivas poniendo una raya vertical a la
derecha del número, anotar a la derecha el
divisor que usamos y bajo el número el
cociente de cada división.
45
15
5
1
3
3
5
Cuando tenemos la descomposición en factores primos de
un número podemos encontrar todos los divisores de ese
número, combinando los factores primos en multiplicaciones
de dos en dos, de tres en tres, etcétera. Por ejemplo, como
42 = 2 ´ 3 ´ 7, podemos saber que los divisores de 42,
además de 2 y 5, son: 2 ´ 3 = 6, 2 ´ 7 = 14 y 3 ´ 7 = 21.
¿Cómo podemos saber cuándo un número es primo?
Pongamos por ejemplo el número 97. No es divisible por
los primeros tres primos: ni por 2, ni por 3, ni por 5. Si
intentamos dividirlo entre 7 nos da 13 y un residuo de 6,
entonces no es divisible por 7. El siguiente número primo
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LECCIÓN 4
es 11. Si intentamos dividir 97 entre 11, nos da 8 y un residuo
de 9: tampoco es divisible por 11. Ya no vale la pena seguir
intentando más divisores primos, porque aquí el cociente (8)
ya es menor que el divisor (11), y eso seguiría pasando con
los siguientes números primos. Podemos entonces concluir
que 97 es un número primo.
a) Obtenga todos los números primos menores que 100. Para
ello, haga una lista de los números del 1 al 100, tache
todos los múltiplos de 2 mayores que 2, tache todos los
múltiplos de 3 mayores que 3, como 4 y sus múltiplos ya
quedaron tachados, pase al 5 y tache todos los múltiplos
de 5 mayores que 5, etc. Los números que queden sin
tachar son los números primos menores que 100.
b) Utilice la lista anterior para descomponer en factores primos los números siguientes:
748
487
13
2397
6842
10584
c) Obtenga todos los divisores de los siguientes números:
210
286
72
1225
2310
600
En una carretera que tiene 60 kilómetros
se desea poner anuncios de tal manera
que la distancia entre dos anuncios sea
siempre la misma, y que no haya menos
de 14 ni más de 25 anuncios.
¿Cuántos anuncios se deben poner y cada
cuántos kilómetros deben estar?
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Mínimo común múltiplo
Observe en las listas de múltiplos que pusimos al principio
de la lección que hay múltiplos en común a varios números.
Por ejemplo ya vimos que todos los múltiplos de 6 también
son múltiplos de 2 y de 3: un múltiplo de 6 es múltiplo común
de 2 y 3. Si tenemos varios números, siempre podemos
encontrar múltiplos comunes de ellos, por ejemplo 10, 20,
30, etc. son múltiplos comunes de 2, 5 y 10. De los múltiplos
comunes de varios números el más importante es el más
pequeño, el mínimo común múltiplo, por ejemplo, el
mínimo común múltiplo de 2, 5 y 10 es 10; el mínimo
común múltiplo de 3, 5 y 9 es 45.
Todos los múltiplos que tengan en común los números que
elijamos son múltiplos de su mínimo común múltiplo.
Por ejemplo, 20, 30, 40, 50 son todos múltiplos comunes
de 2, 5 y 10, y todos son múltiplos del mínimo común
múltiplo, que es 10.
Para encontrar el mínimo común múltiplo de varios números,
primero los descomponemos en factores primos y luego nos
fijamos en cuáles números primos aparecen en cada número
y cuántas veces aparece cada primo, tomamos todos los
números primos distintos que aparecieron y cada uno lo
tomamos en la mayor cantidad de veces que haya aparecido y
multiplicamos. Por ejemplo, si queremos encontrar el mínimo
común múltiplo de 24, 45 y 70, primero los descomponemos
en factores primos:
24
12
6
3
1
2
2
2
3
24 = 2 ´ 2 ´ 2 ´ 3
60
45
15
5
1
3
3
5
45 = 3 ´ 3 ´ 5
70
35
7
1
2
5
7
70 = 2 ´ 5 ´ 7
LECCIÓN 4
Los números primos que aparecen en estas descomposiciones
son 2, 3, 5 y 7. La mayor cantidad de veces que aparecen
son: 2 aparece tres veces en 24, 3 aparece dos veces en 45,
5 y 7 siempre aparecen una vez. Entonces el mínimo común
múltiplo de 24, 45 y 70 es:
2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 ´ 5 ´ 7 = 2520
Se acostumbra abreviar mínimo común múltiplo como mcm y
poner los números entre llaves. En esta forma el mínimo
común múltiplo de 24, 45 y 70 se escribe:
mcm {24, 45, 70} = 2520
Los conceptos que hemos estudiado aquí son muy útiles para
resolver algunas situaciones prácticas. Veamos un ejemplo.
En la fábrica “La Martiniana” producen tela y le estampan
en la orilla el nombre de la fábrica con una máquina. Esa
máquina funciona así: tiene un sello con el nombre, que
mide 9 cm., y hace avanzar la tela por tramos de 9 cm.
En cada tramo se le da instrucciones a la máquina para que
baje el sello o no lo baje: por ejemplo, si se quiere poner
el sello cada 27 cm., se le ordena a la máquina que baje el
sello una vez sí y dos veces no. Ahora “La Martiniana” va a
empezar a exportar tela por rollo a los Estados Unidos. Los
exportadores deben marcar los productos con la leyenda
“Hecho en México”. El método más barato es estampar esta
leyenda en la orilla de la tela, con la misma máquina con la
que estampan el nombre de la fábrica. Entonces mandan a
hacer un sello con la leyenda “Hecho en México”, que mide
6 cm.: cuando se desea poner este sello, la máquina avanza
por tramos de 6 cm.
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La Martiniana Hilados y tejidos
9 cm.
HECHO EN MÉXICO
6 cm.
Como la máquina sólo puede escribir un renglón, aunque
se le puede decir a qué distancia del borde de la tela, van
a pasar la tela dos veces, pero el dueño quiere que coincida
el inicio de los dos sellos. ¿Qué instrucciones se le deben dar
a la máquina?
Como 9 = 3 ´ 3 y 6 = 2 ´ 3, su mínimo común múltiplo es
3 ´ 3 ´ 2 = 18, entonces los múltiplos comunes de 9 y 6 son
los múltiplos de 18, es decir: 0, 18, 36, 54, 72, 90, 108, ....
La distancia más corta en la que pueden aparecer los dos
letreros es 18 cm.: cuando se pone el sello con el nombre
de la fábrica se le ordena a la máquina que baje una vez sí y
una vez no, y cuando se pone el sello de “Hecho en México”
se le ordena que baje una vez sí y dos veces no. Sin embargo,
así se gasta mucha tinta, y los requisitos para la exportación
son que la leyenda debe aparecer por lo menos una vez cada
metro, o sea cada 100 cm. Entonces se puede tomar el
múltiplo común más grande pero menor que 100, que es 90.
Como 90 = 9 ´ 10 y 90 = 6 ´ 15, se le ordena a la máquina
que cuando estampe el nombre de la fábrica baje una vez
sí y nueve veces no, y cuando estampe la leyenda para
exportación baje una vez sí y catorce veces no. Ambos
letreros aparecerán, alineados, cada 90 cm.
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LECCIÓN 4
a) Encuentre cinco múltiplos comunes de 3 y 7.
b) Encuentre el mínimo común múltiplo de los siguientes
números:
3, 5 y 4 7, 5 y 3 12 y 51 77 y 28 9, 5 y 8 8, 4 y 2
a) Una empresa distribuidora de frijol en bolsa entrega a un
supermercado cajas con 24 bolsas, a un restaurante cajas
con 20 bolsas y a una bodega cajas con 25 bolsas. En los
tres sitios entregó la misma cantidad de bolsas, que era
menor de 700: ¿qué cantidad era?
b) Los dos porteros de una empresa intercambian turnos
cada 9 días. Si hoy es lunes e
intercambiaron turnos,
¿cuántos días faltan para que
un intercambio sea en lunes?
c) Un ciclista le da la vuelta a una
pista en 32 segundos, y otro
se la da en 36 segundos. Si
arrancan juntos, ¿cuánto tiempo
después se vuelven a encontrar
en el punto de arranque?
d) De una terminal salen autobuses
a El Verde cada 20 minutos, a
San Pedro cada 15 minutos y a
Tepec cada 25 minutos. Si a las
12:00 del día salen autobuses a
los tres pueblos, ¿a qué hora
vuelven a salir juntos los que
van a El Verde y a San Pedro? ¿y los que van a El Verde y
a Tepec? ¿y los que van a San Pedro y a Tepec? ¿A qué
hora vuelven a salir juntos los que van a los tres pueblos?
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