Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Tema 3: FORMULAS DE LA FLEXION − Fórmula general de la flexión: Momento de inercia y módulo resistente. − Efecto de la forma de la sección transversal. − Variación de la sección en el sentido longitudinal. − Esfuerzo cortante en la flexión. Momento estático. − Influencia de la forma de la sección transversal. 1 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real FORMULA GENERAL DE LA FLEXION Después de la deformación, los planos de las dos secciones laterales adyacentes mn y pq se cortan en O. Designando por dθ el ángulo que forman estos planos se observa que: dx = ρ ⋅ dθ 1 dθ = ⋅ dx ρ siendo 1 la curvatura del eje neutro. ρ Se traza por el punto b del eje neutro una recta p’q’ paralela a mn para indicar la orientación primitiva de la sección transversal antes de la flexión. El segmento cd de una fibra distante y de la superficie neutra se alarga una magnitud dd’ ( dd' = y ⋅ dθ ). Como la longitud inicial de dd’ era dx, la deformación correspondiente es: εx = δ dd' y ⋅ dθ = = l dx dx y εx = ρ Fibras cara convexa: alargamiento → TRACCION Fibras cara cóncava: acortamiento → COMPRESION La tensión de cada fibra será directamente proporcional a su deformación longitudinal: σx = εx ⋅ E = E ⋅y ρ 2 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real DETERMINACION DEL EJE NEUTRO El fuerza que actúa sobre un elemento de área dA es σx⋅dA Aplicando la ecuación σ x = ε x ⋅ E = E ⋅y ρ se tiene que el elemento de fuerza que actúa sobre el área dA es: E σ x ⋅ dA = ⋅ y ⋅ dA ρ Puesto que NO debe haber fuerza normal resultante Nx (FLEXION PURA) ∑F = 0 ∫σ A x E E ⋅ dA = ∫ ⋅ y ⋅ dA = ⋅ ∫ y ⋅ dA = 0 A ρ ρ A Como E ≠ 0 se deduce que ρ Recordando que se tiene ∫ A yc = ∫ A ∫ A y ⋅ dA = 0 y ⋅ dA A y ⋅ dA = y c ⋅ A = 0 Como A =/ 0 yc=0, lo que indica que el EJE NEUTRO de la sección recta pasa por su centro de gravedad. 3 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Las tensiones distribuidas en la sección recta deben originar un par resistente M. σx⋅dA El momento de la fuerza elemental sección es dM=σx⋅dA⋅y. respecto al eje neutro de la La suma de los momentos elementales en el área total debe producir el momento de flexión M en esta sección. Así: M = ∫ y ⋅ σ x ⋅ dA = A E ⋅ ∫ y 2 ⋅ dA ρ A I = ∫ y 2 ⋅ dA A 1 M = ρ E ⋅I E⋅I se denomina rigidez de la flexión de la viga. σx = ε x ⋅ E = Combinando las expresiones tiene que σx = Cara inferior (convexidad) Cara superior (concavidad) E ⋅y ρ y 1 M = , ρ E ⋅I se M⋅ y I TRACCION COMPRESION Llamando c1 y c2 a las distancias a las fibras extremas en tracción y compresión, respectivamente: σT = M ⋅ c1 I σC = M⋅c2 I Si la sección transversal es simétrica con respecto a su eje de gravedad, c1=c2=c y las tensiones de las fibras extremas en tracción y compresión son iguales. 4 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Introduciendo las notaciones W1 = I c1 y W2 = I c2 llamados MODULOS DE RESISTENCIA o MOMENTOS RESISTENTES de la sección, se tiene: σT = M W1 σC = M W2 • En el caso de una sección rectangular de anchura b y altura h c1 = c 2 = I= h 2 b ⋅ h3 12 b ⋅ h3 I b ⋅ h2 12 W1 = W2 = = = h c 6 2 • En el caso de una sección circular de diámetro d c1 = c 2 = I= d 2 π ⋅ d4 64 W1 = W 2 = π ⋅ d3 32 • En el caso de una sección trapecial Si c1<c2 → W1>W2 → σT<σC 5 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real EFECTO DE LA FORMA DE LA SECCION TRANSVERSAL • Si el material tiene la misma resistencia a tracción que a compresión, lo lógico será elegir formas de sección transversal cuyo c.d.g. esté en el plano medio de la viga. ∗ Secciones simétricas ∗ Si la sección no es simétrica, el material se suele distribuir entre la cabeza y la base de modo que su c.d.g. esté próximo a la paralela media. • Si el material NO tiene la misma resistencia a tracción que a compresión, la mejor sección recta es asimétrica con respecto al eje neutro. Las distancias c1 y c2 deben guardar la misma proporción que las resistencias del material a tracción y compresión. En el diseño de una viga que ha de estar expuesta a flexión, no sólo deben ser satisfechas las condiciones de resistencia, sino que debe satisfacerse la condición de economía de peso de la viga. Dos secciones con el mismo momento resistente, la más económica será la de menor área. • Sección rectangular de altura h y anchura b W= b ⋅ h2 A ⋅ h = 6 6 • Sección circular de diámetro d W= π ⋅ d3 A ⋅ d = = 0.125 ⋅ A ⋅ d 32 8 6 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Comparando una sección circular y una sección cuadrada del mismo área, se tiene: h2 = π ⋅ d2 4 W= A ⋅h A π = ⋅ ⋅ d = 0.148 ⋅ A ⋅ d 6 6 12 → h= π ⋅d 2 Por tanto, una sección transversal cuadrada es más económica que una circular. Para el proyecto más económico, la mayor parte del material de la viga debe estar situado tan lejos del eje neutro como sea posible. Caso ideal teórico: 2 A h A ⋅ h2 I = 2⋅ ⋅ = 2 2 4 A ⋅ h2 A ⋅h W= 4 = h 2 2 Para una sección de ala ancha normalizada: W≅ A ⋅h 3 7 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real VARIACION DE LA SECCION EN SENTIDO LONGITUDINAL Vigas que se aproximan a las condiciones de igual resistencia en sus diversas secciones 8 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real TENSIONES DE CIZALLADURA EN LA FLEXION τr : Tensiones rasantes τt : Tensiones tangenciales 9 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Suponemos AB = 1 Las fuerzas normales en las dos caras serán: σ ⋅ dh ⋅ 1 (σ + dσ) ⋅ dh ⋅ 1 y Las tensiones rasantes en A serán: τ r ⋅ dl ⋅ 1 y τ t ⋅ dh ⋅ 1 y (τ t + dτ t ) ⋅ dh ⋅ 1 Las tensiones rasantes en B serán: (τr + dτr ) ⋅ dl ⋅ 1 Tomando momentos respecto a A: (σ + dσ) ⋅ dh ⋅ dh − σ ⋅ dh ⋅ dh + (τ t + dτ t ) ⋅ dh ⋅ dl − (τ r + dτ r ) ⋅ dl ⋅ dh = 0 2 2 Despreciando infinitésimos de 3er orden: τ r ⋅ dl ⋅ dh = τ t ⋅ dl ⋅ dh ⇒ τr = τ t 10 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real ESFUERZO CORTANTE en la FLEXION En una viga sometida a flexión, en cada sección transversal hay momento flector y esfuerzo cortante. El MOMENTO FLECTOR representa la RESULTANTE de una cierta distribución lineal de las TENSIONES NORMALES σ en la sección. El ESFUERZO CORTANTE debe ser la RESULTANTE de una cierta distribución de TENSIONES CORTANTES τ en la sección. ¿Cómo es la distribución de τ en la sección para satisfacer las condiciones de equilibrio? La tensión cortante τ debe variar con la distancia y al eje neutro, siendo nula para y = ± h 2 11 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real ESFUERZO CORTANTE en la FLEXION. MOMENTO ESTATICO • Si M es constante, dσ = 0, y en ambas caras hay la misma distribución de tensiones normales σ. Entonces τ = 0, lo que confirma que la flexión pura no produce tensiones cortantes en la viga. • Caso general: Momento flector variable. La fuerza que actúa sobre un área elemental dA a la izquierda del bloque (cara pn): σ ⋅ dA = M⋅ y ⋅ dA I Sobre toda la cara: M⋅ y ∫y1 I ⋅ dA c1 (1) La fuerza que actúa sobre un área elemental dA a la derecha del bloque (cara p1n1): ∫ c1 y1 (M + dM) ⋅ y ⋅ dA (2) I La fuerza cortante que actúa sobre la cara superior del bloque es: τ ⋅ b ⋅ dx (3) 12 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real Si establecemos el equilibrio entre (1), (2) y (3), se tiene: τ ⋅ b ⋅ dx = ∫ c1 y1 (M + dM) ⋅ y ⋅ dA − I ∫ c1 y1 M⋅ y ⋅ dA I Por tanto dM ⋅ y ⋅ dA y1 I τ ⋅ b ⋅ dx = ∫ τ= c1 dM 1 c 1 ⋅ ⋅ y ⋅ dA dx I ⋅ b ∫y1 Q= dM dx c1 S = ∫ y ⋅ dA y1 es el momento τ= estático Q⋅S I⋅b 13 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real CORTANTE en la FLEXION. MOMENTO ESTATICO. SECCION RECTANGULAR τ= Q⋅S I⋅b c1 S = ∫ y ⋅ dA y1 dA = b ⋅ dy c1 = Al ser la sección rectangular, h 2 h/2 S=∫ h/2 y1 y ⋅ b ⋅ dy = b ⋅ ∫ h/2 y1 y2 y ⋅ dy = b ⋅ 2 y = 1 b h2 ⋅ − y 12 2 4 El momento estático se puede expresar como producto del área de la sección por la distancia desde el cdg hasta el eje neutro. h Area = b ⋅ − y 1 2 h − y1 = y 1 + h − y 1 = 1 ⋅ h + y 1 da = y 1 + 2 4 2 2 2 2 h 1 h b h2 Area ⋅ da = b ⋅ − y 1 ⋅ ⋅ + y 1 = ⋅ − y 12 2 2 2 2 4 14 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real τ= Q h2 Q ⋅ S Q ⋅ b h2 ⋅ − y 12 ⋅ − y 12 = = I⋅b I⋅b ⋅ 2 4 2 ⋅I 4 I= En una sección rectangular, 1 ⋅ b ⋅ h3 12 El esfuerzo máximo se produce en el eje neutro τmáx = Para una sección circular, Q 2⋅ Variación PARABOLICA 1 ⋅ b ⋅ h3 12 ⋅ τ máx = ⇒ y1 = 0 h2 3 Q 3 Q = ⋅ = ⋅ 4 2 b ⋅h 2 A 4 Q ⋅ 3 A 15 Cátedra de Ingeniería Rural Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real CORTANTE en la FLEXION. MOMENTO ESTATICO. VIGA en I h1 h h1 − y1 − h h h h S = b ⋅ − 1 ⋅ 1 + 2 2 + e ⋅ 1 − y1 ⋅ y1 + 2 2 2 2 2 2 2 h y h h h h h h S = b ⋅ − 1 ⋅ 1 + − 1 + e ⋅ 1 − y1 ⋅ y1 + 1 − 1 4 2 2 2 2 4 4 2 h h h h h h y S = b ⋅ − 1 ⋅ 1 + + e ⋅ 1 − y1 ⋅ 1 + 1 4 2 2 2 4 2 2 S= τ= y1 = 0 Q⋅S I⋅b ⇒ b h 2 h12 e h12 ⋅ − + ⋅ − y 12 2 4 4 2 4 (Expresión genérica; en el alma b = e) τ máx τ máx = y1 = h1 2 ⇒ Q b h 2 h12 e ⋅ h12 ⋅ ⋅ − + I ⋅ e 2 4 4 8 τ mín τ mín = Q b h 2 h12 ⋅ ⋅ − I ⋅ e 2 4 4 16