Tabla resumen de la distribución binomial negativa

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BY: Grupo CDPYE-UGR
Distribución binomial negativa
Modelo probabilı́stico
Se realizan sucesivas repeticiones independientes de pruebas de Bernoulli idénticas, con probabilidad de éxito p, hasta que aparece el r-ésimo éxito, y se mide el número de fracasos.
Notación y parámetros
X ∼ BN (r, p); r ∈ N, 0 < p < 1
Función masa de probabilidad
P (X = x) =
Gráficas
Función de distribución
FX (x) =
x+r−1
(1 − p)x pr , x ∈ N ∪ {0}
x

0




Obtención y verificación
x<0
[x] X
k+r−1

r


p
(1 − p)k

k
x≥0
k=0
−r
Función generatriz de momentos
MX (t) = pr (1 − (1 − p)et )
Momentos
No hay una expresión genérica conocida.
Media y varianza
m1 = E[X] =
Relación con la binomial
X ∼ BN (r, p) ⇒ P (X = x) = P (Yx = r − 1) con Yx ∼ B(r + x − 1, p)
Caso particular
Distribución geométrica (r = 1)
Distribuciones relacionadas
Distribución de Pascal: Modela el número de pruebas independientes de Bernoulli
necesarias para obtener exactamente r éxitos: Y = X + r donde X ∼ BN (r, p).
, t < −ln(1 − p)
Cálculo
r(1 − p)
r(1 − p)
y µ2 = V ar[X] =
p
p2
Cálculo
Demostración