Obtención de la ecuación de la recta tangente a

Obtención de la ecuación de la recta tangente a una
función f (x) en un punto
Recta Tangente:
Una recta tangente a una curva (función) en un punto, es una recta que toca a la
curva en dicho punto y que toma la misma dirección que la curva para ese punto
Obtener la ecuación de la recta tangente a una función en un punto implica hallar
los parámetros de una función lineal de forma y = mx + b, donde m es conocido como
pendiente y b como ordenada al origen.
Una vez hallados estos dos parámetros queda definida la recta tangente en ese punto.
Recordamos brevemente como se ve una recta tangente a una función en un punto x = a:
y = f (x)
ytgx=a
f (a)
a
x
Cabe la aclaración de que la función posee infinitas rectas tangentes distintas (una
para cada punto). Para acompañar a la teorı́a daremos un ejemplo en cada paso, el
ejemplo será la obtención de la recta tangente a la función f (x) = x2 − 2x + 2 cuando
x = 3.
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Recta Tangente - Matemática - Escuela Técnica ORT - Ezequiel Wajs - 2014
1. Pendiente
Obtener la pendiente es sencillo si se conoce la función derivada de la curva f 0 (x).
Dado que, por definición, una derivada es la pendiente de la recta tangente en
un punto, podemos obtener la pendiente de nuestra tangente simplemente evaluando el
valor de la derivada cuando x = a.
mtgx=a = f 0(a)
Ejemplo:
mtg = f 0 (x) = 2x − 2
mtgx=3 = f 0 (3) = 2 · 3 − 2 = 4
2. Punto de tangencia
Cómo su nombre lo dice, es el punto en el cual ocurre la tangencia. Es importante
destacar que justo para ese punto, sin excepción, la función y la recta coinciden, dado
que justamente, por definición, la recta debe tocar a la función en ese punto. Entonces
el punto de tangencia (llamémoslo Ptg ) para x = a siempre tendrá coordenadas:
Ptg = (a; f (a))
Ejemplo:
f (3) = 32 − 2 · 3 + 2 = 5
Ptgx=3 = (3; 5)
3. Ordenada al Origen
Una vez obtenido el punto de tangencia (que es tanto un punto de la función como
un punto de la recta) es relativamente trivial obtener la ordenada al origen.
Dado que cualquier recta tiene una ecuación y = mx + b y se conoce m = f 0 (a)
y también un par de coordenadas (a; f (a)) pueden reemplazarse todos estos valores y
despejarse la ordenada al origen b = y − mx, reemplazando cada parámetro por su valor
correspondiente queda:
btgx=a = f (a) − f 0(a) · a
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Y ya puede armarse la ecuación de la recta tangente.
Ejemplo:
btgx=3 = y − mx
btgx=3 = 5 − 4 · 3 = −7
ytgx=3 = 4x − 7
Ejemplo Final
Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la función g(x) = x2 − 2 para los puntos
x = −2, x = 0 y x = 1. La derivada de g(x) es g 0 (x) = 2x (puede obtenerse aplicando la
definición, pero no es el objetivo de esta guı́a, ası́ que se brinda como dato).
1. Pendientes
Por simplicidad diferenciaremos a todos los parámetros indicando solamente el valor de
x en el subı́ndice (es decir, diremos m−1 en vez de mtgx=−1 ).
m−1 = f 0 (−1) = 2 · (−1) = −2
m0 = f 0 (0) = 2 · 0 = 0
m2 = f 0 (2) = 2 · 2 = 4
2. Puntos de Tangencia
f (−1) = (−1)2 − 2 = −1
P−1 = (−1; −1)
f (0) = 02 − 2 = −2
P0 = (0; −2)
f (2) = 22 − 2 = 2
P2 = (2; 2)
3. Ordenadas al Origen
b−1 = −1 − (−2) · (−1) = −3
b0 = −2 − 0 · 0 = −2
b2 = 2 − 4 · 2 = −6
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Entonces las tres ecuaciones de las tres rectas tangentes quedan:
y−1 = −2x − 3
y0 = −2
y2 = 4x − 6
Gráfico
Para verificar la tangencia, graficamos la función (en azul) y las tres tangentes (en rojo,
violeta y verde respectivamente)
y = f (x)
y−1 y0 y2
5
4
3
2
1
x
−5
−4
−3
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
−2
−3
−4
−5
4
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