1 Comprobar que Z ax dx = ax +k Ln(a) tenemos que x a d( Ln(a) + k) dx x = a d( Ln(a) ) dx = ah − 1 1 d(ax ) 1 ax+h − ax 1 = lı́m = lı́m ax Ln(a) dx Ln(a) h→0 h Ln(a) h→0 h Haciendo H = ah − 1 tenemos que ah − 1 ax H ax 1 lı́m ax = lı́m = lı́m Ln(a) h→0 h Ln(a) H→0 Loga (H + 1) Ln(a) H→0 1 Loga (H+1) H = ax 1 ax lı́mH→0 1 lı́m = = 1 Ln(a) H→0 (Loga (H + 1)) H Ln(a) lı́mH→0 (Loga (H + 1)) H1 1 ax 1 ax 1 ax ax = = = = ax 1 Ln(e) Ln(a) (Loga lı́mH→0 (H + 1)) H Ln(a) Ln(a) Loga e Ln(a) Ln(a) Calcular Z dx 2 + Cos(x) Hacemos la sustitución t = Arctg( x2 ) por lo que 2Arctg(t) = x en consecuen2t cia dx = 1+t 2 , ahora bien x = 2Arctg(t) ⇒ Sen(x) = Sen(2Arctg(t)) = 2Sen(Arctg(t))Cos(Arctg(t)) Aplicando las igualdades t Sen(Arctg(t)) = √ 1 + t2 1 1 + t2 1 t 2t √ 2Sen(Arctg(t))Cos(Arctg(t)) = 2 √ = 1 + t2 1 + t2 1 + t2 Por lo tanto Cos(Arctg(t)) = √ Senx = √ 1 − t2 2t 2x = ⇒ Cosx = 1 − Sen 1 + t2 1 + t2 2 Regresando a nuestra integral Z Z Z dx 2dt 1 2dt = = 2 2 2 + Cos(x) 1 + t2 |1 + {zt } 2 + 1 − t 2 dx= 2t 2 1+t {zt } |1 + 1 2(1+t2 )+1−t2 1+t2 Z = 2dt 2(1 + t2 )1 − t2 2 Cosx= 1−t2 1+t Z =2 2 dt = 2 3+t 3 Z tan( x2 ) dt 2 1 t 2 √ √ √ √ )+k = Arctg( )+k = Arctg( 3 3 1 + ( √t3 )2 3 3 3 Calcular para m ∈ N : Z Senm xdx tenemos que Z Im = Z m Sen xdx = m−1 Sen | {z } dx = | {z x} Senx f Z m−1 Sen − | {z x} (−Cosx) | {z } f g g0 (−Cosx) (m − 1)Senm−2 x(Cosx) = | {z } | {z } f0 g Z −(Cosx)Senm−1 x + (m − 1) Senm−2 x(Cos2 x)dx = Z m−1 −(Cosx)Sen x + (m − 1) Senm−2 x (1 − Sen2 x) dx = | {z } Cos2 x=1−Sen2 x Z −(Cosx)Senm−1 x + (m − 1) Senm−2 x − Senm xdx = Z Z m−1 m−2 −(Cosx)Sen x + (m − 1) Sen xdx − (m − 1) Senm xdx Por lo tanto Z Z Z m m−1 m−2 Sen xdx = −(Cosx)Sen x+(m−1) Sen xdx−(m−1) Senm xdx Pasamos el último término al otro lado de la igualdad y tenemos Z Z Z m m m−1 x+(m−1) Senm−2 xdx (m−1) Sen xdx+ Sen xdx = −(Cosx)Sen 3 Z m Sen xdx = −(Cosx)Sen m m−1 Z x + (m − 1) Senm−2 xdx simplificando nos queda Z Z −(Cosx)Senm−1 x m−1 m Sen xdx = +( ) Senm−2 xdx m m es decir Im |{z} R = −(Cosx)Senm−1 x m − 1 + m m Im = Senm xdx Im−2 | {z } R Im−2 = Senm−2 xdx En la integral definida π Im |02 = π π −(Cosx)Senm−1 x π2 m − 1 m−1 |0 + Im−2 |02 = Im−2 |02 m m m ahora recursivamente m−1m−3m−5 31 ... I0 m m−2m−4 42 Im = si m es par, es decir m = 2n I2n = 2n − 1 2n − 3 3 1 ... I0 2n 2n − 2 4 2 si m es impar, es decir m = 2n + 1 I2n+1 = 2n 2n − 2 2 ... I1 2n + 1 2n − 1 3 Ahora bien Z 0 I1 = π 2 π dx = x|02 = I0 = Z π 2 π 2 π Senxdx = −Cosx|02 = 1 0 I2n = 2n − 1 2n − 3 3 1 π ... 2n 2n − 2 4 2 |{z} 2 I0 = π2 4 I2n = 2n − 1 2n − 3 3 1 π ... 2n 2n − 2 4 2 |{z} 2 I0 = π2 I2n+1 = 2n 2n − 2 2 ... 1 2n + 1 2n − 1 3 |{z} I1 =1 Dividimos I2n+1 = I2n 2n 2n−2 ... 32 1 2n+1 2n−1 2n−1 2n−3 ... 43 12 π2 2n 2n−2 Por lo que π I2n+1 (2n(2n − 2)..,2)2 = 2 I2n ((2n − 1)(2n − 3)..,3)2 (2n + 1) Por lo tanto π (2n(2n − 2)..,2)2 I2n = 2 ((2n − 1)(2n − 3)..,3)2 (2n + 1) I2n+1 Ésta es la fórmula que descubrio Wallis en el siglo XVII para aproximar el valor de π2