Análisis de ecuaciones de estado para fusión por confinamiento

Análisis de ecuaciones de estado para fusión por
confinamiento inercial.
Tema: Fusión Nuclear
Autores: F. Ogando, P. Velarde
1. Introducción:
En el campo de la fusión por confinamiento inercial (FCI), la simulación numérica de los
procesos relevantes cobra un gran interés en la medida que sea capaz de reproducir resultados reales con
una precisión aceptable. Una vez realizadas las pertinentes aproximaciones simplificativas se obtienen
sistemas de ecuaciones de mayor o menor complejidad a resolver numéricamente. Sin embargo, estos
códigos deben ajustarse a los comportamientos reales mediante ciertos parámetros. En el caso de
fluidodinámica, la única pieza de ese sistema de ecuaciones que las vincula a las propiedades de los
materiales reales son las ecuaciones de estado (EOS). Es por ello que la inclusión de datos precisos de las
EOS sea necesario para poder obtener resultados que reflejen el comportamiento real de los distintos
materiales.
Hoy en día se encuentran disponibles diversas fuentes de datos referentes a las ecuaciones de
estado. Dichas fuentes se basan tanto en modelos teóricos, en muchos casos ajustados mediante datos
experimentales como en relaciones analíticas obtenidas como aproximación a dichos modelos teóricos. En
este estudio se realizará un análisis comparativo entre dos de las fuentes de datos más utilizadas en la
actualidad. La necesidad del planteamiento de tal análisis se basa en la comprobación de la bondad de
unos datos que se utilizan con gran frecuencia en las simulaciones de procesos relacionados con la FCI y
de los que depende de una forma nada despreciable la exactitud de los resultados obtenidos.
2. Las librerías SESAME y QEOS.
Dos de las principales fuentes de datos EOS utilizadas hoy en día son tanto la librería de datos
tabulares SESAMEi, procedente del laboratorio nacional de Los Alamos (EE.UU.) como la librería
software de cálculo analítico de estados termodinámicos QEOSii, procedente del laboratorio nacional
Lawrence Livermore (EE.UU.). Dadas las diferencias de concepto de la obtención de los datos
termodinámicos, se encuentra de interés realizar un análisis comparativo entre ambas, con la finalidad de
estudiar en qué regímenes puede ser de mayor conveniencia el uso de un tipo de datos o los otros.
La librería SESAME, de gran utilización en códigos de simulación numérica en todo el mundo,
se basa en un conjunto de tablas de datos en los que se recogen valores de ciertas variables de estado,
como la presión y la energía interna por ejemplo, en función de otras consideradas como independientes.
Por otra parte se presenta la librería QEOS de cálculo de datos EOS. Este paquete de software se
diferencia fundamentalmente por realizar el cálculo de las variables termodinámicas en el momento de la
petición, basándose en modelos tanto para la componente electrónica (Thomas-Fermi) como para la iónica
(modelo de Cowan), e incluyendo un ajuste empírico de tanto la densidad a presión nula como de la
velocidad del sonido.
3. Análisis de los datos de EOS.
Se ha desarrollado un formato de lectura y escritura de datos numéricos, así como las
correspondientes subrutinas para su manejo, de modo que se pueda realizar un análisis exhaustivo de los
datos obtenidos de las librerías SESAME y QEOS anteriormente mencionadas. Este análisis consiste en la
realización de una serie de pruebas referentes a inconsistencias o posibles fuentes de problemas a la hora
de su incorporación en códigos fluidodinámicos. Aparte de la comprobación de la existencia de
imprecisiones, este estudio servirá como una comparación del comportamiento entre las dos librerías en
diferentes rangos de interés para el estudio de la FCI. Se han seleccionado para realizar las pruebas unos
materiales de especial interés por su relevancia en la investigación de la FCI. Los materiales escogidos
mediante estos criterios (y sus códigos de SESAME) para su estudio son los siguientes.
2020 - Berilio
2290 - Litio
2700 - Oro
3200 - Plomo
3711 - Aluminio
5271 - Mezcla DT
7171 - Plástico (CH)
7380 - Cuarzo
Con el fin de poner un ejemplo de las diferentes pruebas realizadas con los datos de las
ecuaciones de estado, se mostrará el caso del berilio, refiriéndose al estudio completoiii en el caso de los
otros materiales.
3.1 Calor específico:
El primer realizado consiste en una búsqueda de valores del calor específico (a volumen
constante) de valor nulo o negativo. La existencia de tales estados tiene una influencia negativa
en el comportamiento de la ecuación de transferencia de calor:
Cv
∂T
= − k∇ T + α ( TR − T )
∂t
Un valor negativo del calor específico lleva a un comportamiento en el que cuanto mayor sea la
temperatura, más crece ésta, de modo opuesto al carácter difusivo que presenta la ecuación. Dado
que es imposible la obtención de un valor nulo exacto de la derivada, se toman como valores
nulos aquellos en los que tienen una derivada menor de un cierto valor. En las siguientes gráficas
se aprecian dichas regiones conflictivas tanto para la librería SESAME como para QEOS.
3.2. Velocidad del sonido:
Este test se basa en la búsqueda de regímenes en los cuales la velocidad del sonido
calculada analíticamente toma valores no reales (tiene cuadrado negativo). Esto es claramente
una inconsistencia de la ecuación de estado, ya que la velocidad del sonido es una magnitud
definida para todos los estados termodinámicos (con la excepción de la existencia de tres
velocidades del sonido en el caso de los sólidos). La existencia de regiones con cuadrado de la
velocidad del sonido negativo da lugar a un comportamiento anómalo de la ecuación de ondas
que rige la fluidodinámica, convirtiéndola en una del tipo de la de Laplace.
1 ∂2 P
∇2 P − 2
=0
c ∂t 2
En la figura se aprecian las zonas en las que se obtiene la inconsistencia anteriormente
mencionada.
3.3 Condición de Bethe:
En este caso se comprueba la verificación de la condición de Bethe (quien fue el
primero en establecerla):
∂2 P
>0
∂v 2 S
Esta condición no es necesaria, es más, hay materiales que no la cumplen en ciertas
regiones (como en transiciones de fase). Sin embargo ha de entenderse como una condición de
normalidad del material. Esta condición está estrechamente relacionada con la variación de
entropía a través de una onda de choque. El incumplimiento de esta condición lleva a la
existencia de ondas de choque de rarefacción en lugar de las comunes de compresión.
3.4 Trazado de isotermas:
Mediante la representación de isotermas en un diagrama P-ρ, por ejemplo, se puede
estudiar la afinidad de los datos con los modelos ideales que actúan en condiciones extremas,
como puede ser el modelo de gas ideal, o el de Thomas-Fermi para sólidos. En el primer caso, se
ha de chequear la zona de baja densidad y alta temperatura, comprobando una ley lineal de
pendiente unidad en una representación logarítmica en ambos ejes, mientras que en la región de
alta densidad y baja temperatura se chequeará la consistencia con la ley de Thomas-Fermi, que
predice una ley lineal con pendiente 5/3.
3.5 Curvas de Hugoniot:
Este tipo de dato es simulado con los modelos de ecuaciones de estado por su directa
relación con los experimentos. Dichas curvas son las que comúnmente se obtienen en los
experimentos realizados a altas presiones, que sirven para corregir los modelos teóricos en casos
como el SESAME. Estudiando el perfil de las curvas de Hugoniot se pueden detectar ciertas
irregularidades en la ecuación de estado, que pudieran dar lugar a mal comportamiento de los
solvers del problema de Riemann utilizados en los códigos de simulación.
4. Conclusiones.
Mediante el estudio anterior se ha podido visualizar de modo rápido y simple qué regiones
termodinámicas son las que pueden presentar ciertos problemas a la hora de realizar simulaciones
numéricas con datos de las ecuaciones de estado SESAME y QEOS. Cada uno de los sistemas plantea
unas ventajas y unos inconvenientes, de modo que queda de mano del usuario el plantearse el uso de una u
otra fuente de datos. Este estudio da pie a otros proyectos de mejora de las fuentes de datos, ya sea
mediante la generación de tablas con datos de diversas procedencias, o la corrección por parte del usuario
de regiones que puedan presentar problemas a los códigos fluidodinámicos.
i
S. Lyon, SESAME: The Los Alamos National Laboratory equation of state database , Los
Alamos report LA-UR-92-3407
ii
R.M. More et al., A new quotidian equation of state (QEOS) for hot dense matter ,
Physics of fluids 31, October 1988, pags 3059-3078
iii
F. Ogando. Estudio de ecuaciones de estado para fusión por confinamiento inercial.
Proyecto de fin de carrera, año 1996, ETSII UPM.