los numeros reales y ciertos resultados de aproximacion

LOS NUMEROS REALES Y CIERTOS RESULTADOS DE APROXIMACION
l 0~1ITE EDITOR
Dr L Ul" A C..,,¡ntalo
Dr cn ... tldl1 C,¡mhL'/
Dr :\llrl:>t•rtl' F.l\'.l
Dr )t'rML' \arMa'
Dr RPI:>nto ~hatl'llu
R. MlATELLO Y M.L. SAL V Al
El objeto de esta nota es estudia r la distrib ución de
ciertos conjun tos de nwneros reales que poseen cierta estructur a algebra ica. J.ntes de aborda r el tema especí fico que
nos ocupará , daremos una breve introdu cción históri ca.
DlREl TOR
Dr Roberto Ml.ltl'llo
Los número s natural es son usualm ente represe ntados por
puntos sobre una línea recta, cada punto separad o del anterior por una unidad de longitu d, como en el caso de un metro
de carp:n tero. De manera similar , los números raciona les se
pueden represe ntar sobre la misma recta, midiend o fraccio nes
de longitu d.
La introdu cción del cero se atribuy e a los
\ UDIREC TORA
Dr,1 Ehda FL'HL'Vfd
c..,flRET ARIO EjECL TI\'0
l1, BL•rnardmo Aud1~10
SECRETARIA DE EDICION
LUI~a Gallardo
hindúes y en el siglo XVII los algebr istas italian os introdujeron los números raciona les negativ os. Gráfica mente.
COLABORADORES·
-1/2
lillll'<'r'<ldnd NaCHlllnl de Ctmt,,l•n:
Dr. Tomás Godoy
LK Gabriela Ccndoya
Lcandro Caglicro
lné ... Pacharom
LIC. Paulo T1rao
Canna Boyalhán
Mónica Flore~
-1
nc~tmnl
de In
Pmpu~dnrlllllelectunl
o
1
Los griegos fueron los primero s en observ ar que las
fraccio nes resulta n insufic ientes a los fines de la
geo~tría, mostran do en particu lar que la medida
de la diagonal de un cuadrad o de lado 1 no puede ser un número racional; en término s geomét ricos, no existe una unidad de
longitu d (por más pequeña que ésta sea) tal que el lado y la
diagon al de un cuadrad o sean múltipl os natura les, ambos, de
dicha unidad.
Esto resultó un descub rimient o in~ómodo para
los griegos pues introdu jo cierta incomp letitud lógica (temporaria ) en la geomet ría euclíde a, dado que en muchas demos-
Ullll't'r.'Utnd Nnwmnl de Tucumn11:
Llc. Maria Isabel \'¡ggianl Rocha
Reg¡,tro
1/2
-1- 1-1 -1- 1-
N 9 168024
tracione s se suponía que dados dos segmento s cualesq uiera,
siempre existía una unidad de longitud común (tal es el caso,
por ejemplo,
en la demostr ación usual del
"Cálculo " de M.
teorema de
Thales).
El hecho anterio r se expresa usualme nte diciendo que Y2
"es" un número irracion al, lo cual, en términos geométr icos
signific a, que e 1 pun t o P que Se obtiene intersec ando la
recta con un círculo cuyo radio es la diagona l de un cuadracorrespo nde a un número raciona l .
do de lado 1, no
En
otros términos , los números racional es no "llenan" la recta.
Muchos otros números irracion ales aparecen cuando se
evalúan valores raciona les de ciertas funcione s de la matemática . Observem os que los valores dados en las tablas de
logaritm os 0 de funcione s trigonom étricas son evidente mente
raciona les pero en realidad éstos son sólo aproxim aciones
raciona les de los verdader os valores, que son irracion ales,
con pocas excepcio nes.
Los números reales incluyen a los números raciona les e
irracion ales y constitu yen el sistema central de la
En geometr ía cualquie r discusió n sobre áreas o
matemát ica.
volúmen es lleva naturalm ente a los números reales.
Si consideramo s nuevame nte la represen tación de números por puntos
sobre una línea recta encontra mos que si bien todo segmento ,
por pequeño que éste sea, contiene una infinida d de números
raciona les, existen a la vez una infinida d de puntos que miden longitud es que no pueden ser expresad as por números racionales . Sin embargo una vez que se tienen en cuenta todos
los números reales, cada punto de la recta correspo nde a un
2
número real y vicevers a (ver por ejemplo,
Spi vak).
Existe otra división fundame ntal en los números reales
en dos clases: los números algebrai cos y los trascend entes.
Un número real se dice algebrai co si satisfac e alguna ecuación algebra ica a coeficie ntes enteros.
Por ejemplo cualquier número racional q satisfac e la ecuación x-q = O; por
3
otra parte, los números irracion ales 15 y Y2 satisfac en respectivam ente las ecuacion es x 2 - 5 = O y x 3 - 2 = O , y por
lo tanto son también algebrai cos.
Los números no algebra icos :::;on llamados trascend entes.
Su existen cia no es para
nada obvia y fue probada por el matemát ico francés
Liouvil le, quien construy ó explícit amente ciertos números no
algebrai cos.
Posterio rmente fue probado que Tr es trascendente, con lo cual se dio una respues ta negativa al antiguo
problema de la cuadratu ra del círculo, es decir, es imposible constru ir con regla y compás el lado 1 de un cuadrado
con área igual al área de un círculo de radio l. En efecto,
de
lo
contrari o
12
= Tr donde 1 es
"constru íble con regla y compás" y por lo tanto algebrai co
(la prueba de este hecho es no tri vial ) .
Por lo tanto
2
1 = rr también seria algebrai co, un absurdo.
se
tendría
que
Otro resultad o fundame ntal fue probado a fin del siglo
XIX por el matemát ico alemán G. Canto¡~.
Este no exhibió
nuevos números trascend entes sino que probó que en cierto
sentido existen "muchos más'' números trascend entes que algebraicos.
Para describ ir este resultad o daremos un ejemplo
ilustrat ivo.
Observem os en primer
3
lugar que
la función
tracione s se suponía que dados dos segmento s cualesq uiera,
siempre existía una unidad de longitud común (tal es el caso,
por ejemplo,
en la demostr ación usual del
"Cálculo " de M.
teorema de
Thales).
El hecho anterio r se expresa usualme nte diciendo que Y2
"es" un número irracion al, lo cual, en términos geométr icos
signific a, que e 1 pun t o P que Se obtiene intersec ando la
recta con un círculo cuyo radio es la diagona l de un cuadracorrespo nde a un número raciona l .
do de lado 1, no
En
otros términos , los números racional es no "llenan" la recta.
Muchos otros números irracion ales aparecen cuando se
evalúan valores raciona les de ciertas funcione s de la matemática . Observem os que los valores dados en las tablas de
logaritm os 0 de funcione s trigonom étricas son evidente mente
raciona les pero en realidad éstos son sólo aproxim aciones
raciona les de los verdader os valores, que son irracion ales,
con pocas excepcio nes.
Los números reales incluyen a los números raciona les e
irracion ales y constitu yen el sistema central de la
En geometr ía cualquie r discusió n sobre áreas o
matemát ica.
volúmen es lleva naturalm ente a los números reales.
Si consideramo s nuevame nte la represen tación de números por puntos
sobre una línea recta encontra mos que si bien todo segmento ,
por pequeño que éste sea, contiene una infinida d de números
raciona les, existen a la vez una infinida d de puntos que miden longitud es que no pueden ser expresad as por números racionales . Sin embargo una vez que se tienen en cuenta todos
los números reales, cada punto de la recta correspo nde a un
2
número real y vicevers a (ver por ejemplo,
Spi vak).
Existe otra división fundame ntal en los números reales
en dos clases: los números algebrai cos y los trascend entes.
Un número real se dice algebrai co si satisfac e alguna ecuación algebra ica a coeficie ntes enteros.
Por ejemplo cualquier número racional q satisfac e la ecuación x-q = O; por
3
otra parte, los números irracion ales 15 y Y2 satisfac en respectivam ente las ecuacion es x 2 - 5 = O y x 3 - 2 = O , y por
lo tanto son también algebrai cos.
Los números no algebra icos :::;on llamados trascend entes.
Su existen cia no es para
nada obvia y fue probada por el matemát ico francés
Liouvil le, quien construy ó explícit amente ciertos números no
algebrai cos.
Posterio rmente fue probado que Tr es trascendente, con lo cual se dio una respues ta negativa al antiguo
problema de la cuadratu ra del círculo, es decir, es imposible constru ir con regla y compás el lado 1 de un cuadrado
con área igual al área de un círculo de radio l. En efecto,
de
lo
contrari o
12
= Tr donde 1 es
"constru íble con regla y compás" y por lo tanto algebrai co
(la prueba de este hecho es no tri vial ) .
Por lo tanto
2
1 = rr también seria algebrai co, un absurdo.
se
tendría
que
Otro resultad o fundame ntal fue probado a fin del siglo
XIX por el matemát ico alemán G. Canto¡~.
Este no exhibió
nuevos números trascend entes sino que probó que en cierto
sentido existen "muchos más'' números trascend entes que algebraicos.
Para describ ir este resultad o daremos un ejemplo
ilustrat ivo.
Observem os en primer
3
lugar que
la función
=q
12 asocia en forma unívoca, a cada número racio-
n
cos n
n
cos n
n
cos n
Además es fácil ver que los
nal q, un número irracional.
números de la forma q + 12 no agotan el conjunto de los
1
.540
18
.660
35
-.903
2
- . 419
19
. 988
36
- . 127
·
1es, que d eno t ar emos I .
números irrac1ona
En efecto, si s es
3
- . 989
20
.408
37
.765
V3 es un número irracional que no es de la
4
-.653
21
.547
38
.955
5
-.283
22
.999
39
. 266
6
-.960
23
.532
40
.666
7
-.753
24
.424
41
.987
8
-. 145
25
.991
42
.399
9
-. 911
26
.646
43
.555
10
-.839
27
.292
44
.999
11
-.004
28
.962
imposible, pues 24 no es cuadrado de ningún número racional
45
.525
12
- . 843
29
.748
(¿por qué?).
números
46
.432
13
-.907
30
. 154
Una demostración matemática-
47
.992
14
-. 136
31
.914
48
.640
15
-.759
32
.834
49
.300
50
.964
~(q)
+
racional,
s +
~(q)
forma
s +
para q racional.
=q
V3
=
(q-s)
2
- s racional; luego
.
(5 - (q - s) 2 ) 2
o sea
=q
12 o (VJ- 12)
+
3 + 2 - 216
De lo contrario
=
24
Este ejemplo sugiere que hay "más"
irracionales que racionales.
mente rigurosa de este hecho requiere probar:
una
función
inyectiva
~:Q ~
función biyectiva 1/J: Q ~ I.
q e Q,
~verifica
I
y
De
(a) (y no (b)).
ción de (b) es menos sencilla.
(b)
que
hecho,
si
(a) que existe
no
existe
una
16
-.957
=q
33
v'S,
.013
17
-.275
34
. 848
~(q)
+
Sin embargo, la demostra-
Se puede hacer utilizando la
expansión decimal de los números reales.
Estos valores parecen indicar que la sucesión no posee
1 ími te pero no dan idea precisa de los llamados "puntos de
acumulación" de la sucesión.
Para anal izar este problema,
seremos conducidos naturalmente a usar nociones del Algebra:
Luego de esta introducción histórica pasamos a describir el objeto principal de esta nota.
Como motivación su-
pongamos que deseamos investigar cómo se distribuyen los· valores de la sucesión cos (n), n
= 1,2,3, ... ,
determinar, si existe, su límite.
y en particular
Los siguientes son valo-
res de computadora dando cos(n) para 1
~
n
~
grupos, subgrupos e independencia lineal, que permitirán dar
una respuesta sencilla a la pregunta anterior.
Es un
ejem-
plo que ilustra la unidad de la matemática, pues muestra que
sus di versas ramas están fuerte y sutilmente relacionadas
entre sí.
50.
En lo que sigue necesitaremos introducir algunos conceptos teóricos.
4
5
=q
12 asocia en forma unívoca, a cada número racio-
n
cos n
n
cos n
n
cos n
Además es fácil ver que los
nal q, un número irracional.
números de la forma q + 12 no agotan el conjunto de los
1
.540
18
.660
35
-.903
2
- . 419
19
. 988
36
- . 127
·
1es, que d eno t ar emos I .
números irrac1ona
En efecto, si s es
3
- . 989
20
.408
37
.765
V3 es un número irracional que no es de la
4
-.653
21
.547
38
.955
5
-.283
22
.999
39
. 266
6
-.960
23
.532
40
.666
7
-.753
24
.424
41
.987
8
-. 145
25
.991
42
.399
9
-. 911
26
.646
43
.555
10
-.839
27
.292
44
.999
11
-.004
28
.962
imposible, pues 24 no es cuadrado de ningún número racional
45
.525
12
- . 843
29
.748
(¿por qué?).
números
46
.432
13
-.907
30
. 154
Una demostración matemática-
47
.992
14
-. 136
31
.914
48
.640
15
-.759
32
.834
49
.300
50
.964
~(q)
+
racional,
s +
~(q)
forma
s +
para q racional.
=q
V3
=
(q-s)
2
- s racional; luego
.
(5 - (q - s) 2 ) 2
o sea
=q
12 o (VJ- 12)
+
3 + 2 - 216
De lo contrario
=
24
Este ejemplo sugiere que hay "más"
irracionales que racionales.
mente rigurosa de este hecho requiere probar:
una
función
inyectiva
~:Q ~
función biyectiva 1/J: Q ~ I.
q e Q,
~verifica
I
y
De
(a) (y no (b)).
ción de (b) es menos sencilla.
(b)
que
hecho,
si
(a) que existe
no
existe
una
16
-.957
=q
33
v'S,
.013
17
-.275
34
. 848
~(q)
+
Sin embargo, la demostra-
Se puede hacer utilizando la
expansión decimal de los números reales.
Estos valores parecen indicar que la sucesión no posee
1 ími te pero no dan idea precisa de los llamados "puntos de
acumulación" de la sucesión.
Para anal izar este problema,
seremos conducidos naturalmente a usar nociones del Algebra:
Luego de esta introducción histórica pasamos a describir el objeto principal de esta nota.
Como motivación su-
pongamos que deseamos investigar cómo se distribuyen los· valores de la sucesión cos (n), n
= 1,2,3, ... ,
determinar, si existe, su límite.
y en particular
Los siguientes son valo-
res de computadora dando cos(n) para 1
~
n
~
grupos, subgrupos e independencia lineal, que permitirán dar
una respuesta sencilla a la pregunta anterior.
Es un
ejem-
plo que ilustra la unidad de la matemática, pues muestra que
sus di versas ramas están fuerte y sutilmente relacionadas
entre sí.
50.
En lo que sigue necesitaremos introducir algunos conceptos teóricos.
4
5
Sean I un intervalo de números reales y
1. Definicion.
D e I.
Diremos que D es denso en I si para todo x en I
ea
3. Lema.
es denso en [ -1, 1] si y sólo si 7la + 7l2n =
{na + 2nm¡n, m
7l} es denso en IR.
E
existe una sucesión {x}
en D tal que lim x n = x.
n
Prueba.
Notemos que 7la + 7l 2n es
Ejemplos. Q
(i) ~es denso en
(ii) (0, 1)-{k In
IR.
Sean I un intervalo de IR y D ~ l.
*
~ J
~ es
*
D~ J
Entonces D es den-
n
en D tal que 1 im x
que cierto N.
n
n
Por hipótesis existe {x}
una sucesión
n
= x y esto dice que x
n
E
Como la sucesión está en D,
J si n es mayor
X
0
E
D
~
J,
si
> N.
<=)
k
E
7l.
todo
n
Se
forma
= x.
n
E
IN
existe
x
n
en
D
E
I.
Por hipótesis,
~ (x-ln' x + l).
n
Luego
cos ( ma)
Esto prueba que
x
E
IR;
tiene
entonces
que
ea
x
con
m
E
7l
ya
que
es denso en [-1,1].
[kn, (k+1)n)
E
cosl[kn, (k+ 1 )n]
es
k
para
algún
biyectiva sobre
(k+1)rr], que es
continua pues cos lo es.
Por la densidad de G en [-1,1],
a
existe {y} una sucesión en G tal que y -7 y : cos x, luego
a
n
Para probar la pecíproca tomemos x
lím x
sea
la
[-1, 1] y admite inversa arcos: [-1,1] -7 [kn,
-7
arcosk
arcos (y )
E
7la+ 7l2n resulta que este conjunto es denso en
k
n
n
y : x;
y
n
arcos (y )
k·
Para
de
E 7l~ + 7l2n.
Prueba.
Supongamos que D es denso en I, y sean J un intervalo
J.
es
n
n
~
Por la
n
cos ( x )
~-
[-1,1] y sea x tal que cos x =y.
E
densidad de G en IR existe una sucesión {x } en G tal que
a
n
a
x -7 x.
Por continuidad es l im cosx = cosx = y, y además
X
abierto y x E I
la
7l} es denso en [0, 1].
E
so en I si y sólo si para todo intervalo abierto J tal que
I
por
función coseno.
(ejercicio)
<=)Sea y
Lema.
ea
la preimagen de
como
x
es
arbitrario
y
IR.
Esto demuestra que D es denso en I.
ObservaciÓn.
dados
Ejemplo.
El lema anterior implica que,
~
es denso en IR, pues en
x, y
G
=
7la + 7l2rr es un subgrupo de IR,
en G también x-y pertenece a
o
número racional.
respuesta para la pregunta anterior.
valores de a E IR es el conjunto G : {cos (na) 1 n E 7l} denso
a
en [ -1, 1]?
6
Daremos
un
criterio que permitirá decidir si un subgrupo de IR es denso
todo intervalo abierto de números reales existe al menos un
Ahora consideremos la siguiente pregunta: ¿Para cuáles
C.
esto es,
no.
Así,
Definicion.
a
t.ravés
del
lema
anterior
tendremos
una
Se dice que un subconjunto no vacío G de IR
es un subgrupo de IR si x-y E G para todo x,y E C.
7
Notemos que
Sean I un intervalo de números reales y
1. Definicion.
D e I.
Diremos que D es denso en I si para todo x en I
ea
3. Lema.
es denso en [ -1, 1] si y sólo si 7la + 7l2n =
{na + 2nm¡n, m
7l} es denso en IR.
E
existe una sucesión {x}
en D tal que lim x n = x.
n
Prueba.
Notemos que 7la + 7l 2n es
Ejemplos. Q
(i) ~es denso en
(ii) (0, 1)-{k In
IR.
Sean I un intervalo de IR y D ~ l.
*
~ J
~ es
*
D~ J
Entonces D es den-
n
en D tal que 1 im x
que cierto N.
n
n
Por hipótesis existe {x}
una sucesión
n
= x y esto dice que x
n
E
Como la sucesión está en D,
J si n es mayor
X
0
E
D
~
J,
si
> N.
<=)
k
E
7l.
todo
n
Se
forma
= x.
n
E
IN
existe
x
n
en
D
E
I.
Por hipótesis,
~ (x-ln' x + l).
n
Luego
cos ( ma)
Esto prueba que
x
E
IR;
tiene
entonces
que
ea
x
con
m
E
7l
ya
que
es denso en [-1,1].
[kn, (k+1)n)
E
cosl[kn, (k+ 1 )n]
es
k
para
algún
biyectiva sobre
(k+1)rr], que es
continua pues cos lo es.
Por la densidad de G en [-1,1],
a
existe {y} una sucesión en G tal que y -7 y : cos x, luego
a
n
Para probar la pecíproca tomemos x
lím x
sea
la
[-1, 1] y admite inversa arcos: [-1,1] -7 [kn,
-7
arcosk
arcos (y )
E
7la+ 7l2n resulta que este conjunto es denso en
k
n
n
y : x;
y
n
arcos (y )
k·
Para
de
E 7l~ + 7l2n.
Prueba.
Supongamos que D es denso en I, y sean J un intervalo
J.
es
n
n
~
Por la
n
cos ( x )
~-
[-1,1] y sea x tal que cos x =y.
E
densidad de G en IR existe una sucesión {x } en G tal que
a
n
a
x -7 x.
Por continuidad es l im cosx = cosx = y, y además
X
abierto y x E I
la
7l} es denso en [0, 1].
E
so en I si y sólo si para todo intervalo abierto J tal que
I
por
función coseno.
(ejercicio)
<=)Sea y
Lema.
ea
la preimagen de
como
x
es
arbitrario
y
IR.
Esto demuestra que D es denso en I.
ObservaciÓn.
dados
Ejemplo.
El lema anterior implica que,
~
es denso en IR, pues en
x, y
G
=
7la + 7l2rr es un subgrupo de IR,
en G también x-y pertenece a
o
número racional.
respuesta para la pregunta anterior.
valores de a E IR es el conjunto G : {cos (na) 1 n E 7l} denso
a
en [ -1, 1]?
6
Daremos
un
criterio que permitirá decidir si un subgrupo de IR es denso
todo intervalo abierto de números reales existe al menos un
Ahora consideremos la siguiente pregunta: ¿Para cuáles
C.
esto es,
no.
Así,
Definicion.
a
t.ravés
del
lema
anterior
tendremos
una
Se dice que un subconjunto no vacío G de IR
es un subgrupo de IR si x-y E G para todo x,y E C.
7
Notemos que
G verifica que
i)
ii)
o
E G (pues G
X
E G
0 =
X
E
-x = O - x E G
i i i ) x,y E
'*
G
'*
G
'*
~
X -
existe
1/>
'*
X
E G)
Supongamos que b =
o.
Veamos que en ese caso G es
denso en IR. Sea X E IR y e > O, debemos encontrar un
o
elemento de G en el intervalo J = (x o- e • x + e).
Como
o
inf {x E c¡x > O} = O, existe g E G tal que O < g < e
( 4)
( 5)
x + y= x-(-y) E G (6)
7. Ejemplos.
Se verifica fácilmente que son
siguientes conjuntos Zb = {nbln E l} y
subgrupos
Za + Zb = { na+mb In, m E Z}
hicimos
(ya
lo
de
IR
los
0
notar
z
Dejamos
al
11
1
+ z 23 = 7!. sg·
lector
la
verificación
de
(¿ puede generalizar este hecho?).
g
e
X
para
b = 2rr).
1
3
-1--1----l--l--l--
que
Es obvio que también IR y ~ son subgrupos de IR.
o
+e
Sea k el menor entero tal que kg > x - e. Si fuera
0
kg :!:: X + e
(k-l)g
=
kg-g
:!:: x
+
e
g
>
x
> x - e, con
o
'*
0
0
0
lo cual k no sería el menor entero tal que kg > x - e, un
o
absurdo. Luego kg < X + e '* kg E (x - e, x + e).
o
0
0
Como e es arbitrario y obviamente kg E G, resulta que G
es denso en IR.
1
8. Proposicion.
Si G es un subgrupo de IR que no es denso,
entonces
existe bE IR tal que G =lb (utilizamos la notación de (7)).
Prueba.
Tomaremos como definición de densidad la dada mediante
el Lema l.
Si G = {O}
( O E G por (4)),
pues se elige b = O.
Supongamos ahora que b > O.
Si b E G, existe una sucesión decreciente g E G tal
.
n
que 1 im gn = b, gn ~ gm si n ~ m.
n~
Se sigue que g' = gn Como g' E G,
gn+l ~ b-b = o.
n
n
esto implica que b = O, un absurdo. Luego b E G.
el enunciado es trivial,
Si existe x E G,
x ~ O,
también -x E G.
Luego
{x E Glx > O} es no vacío.
Sea b = inf {x E Glx > 0}.
Claramente b :!:: O.
8
Probemos ahora que G = {kblk E l}
\:1
o
La inclusión~ es evidente, por (9).
Comprobemos
la recíproca.
Sea g E G,
si
g "* kb
k E 7!.'
existe m E l
tal
que mb < g < (m+1)b
luego
< g-mb<b.
Como g-mb E G, esto contradice la definición
de b un absurdo.
Por lo tanto g = kb para algún k E l.
9
G verifica que
i)
ii)
o
E G (pues G
X
E G
0 =
X
E
-x = O - x E G
i i i ) x,y E
'*
G
'*
G
'*
~
X -
existe
1/>
'*
X
E G)
Supongamos que b =
o.
Veamos que en ese caso G es
denso en IR. Sea X E IR y e > O, debemos encontrar un
o
elemento de G en el intervalo J = (x o- e • x + e).
Como
o
inf {x E c¡x > O} = O, existe g E G tal que O < g < e
( 4)
( 5)
x + y= x-(-y) E G (6)
7. Ejemplos.
Se verifica fácilmente que son
siguientes conjuntos Zb = {nbln E l} y
subgrupos
Za + Zb = { na+mb In, m E Z}
hicimos
(ya
lo
de
IR
los
0
notar
z
Dejamos
al
11
1
+ z 23 = 7!. sg·
lector
la
verificación
de
(¿ puede generalizar este hecho?).
g
e
X
para
b = 2rr).
1
3
-1--1----l--l--l--
que
Es obvio que también IR y ~ son subgrupos de IR.
o
+e
Sea k el menor entero tal que kg > x - e. Si fuera
0
kg :!:: X + e
(k-l)g
=
kg-g
:!:: x
+
e
g
>
x
> x - e, con
o
'*
0
0
0
lo cual k no sería el menor entero tal que kg > x - e, un
o
absurdo. Luego kg < X + e '* kg E (x - e, x + e).
o
0
0
Como e es arbitrario y obviamente kg E G, resulta que G
es denso en IR.
1
8. Proposicion.
Si G es un subgrupo de IR que no es denso,
entonces
existe bE IR tal que G =lb (utilizamos la notación de (7)).
Prueba.
Tomaremos como definición de densidad la dada mediante
el Lema l.
Si G = {O}
( O E G por (4)),
pues se elige b = O.
Supongamos ahora que b > O.
Si b E G, existe una sucesión decreciente g E G tal
.
n
que 1 im gn = b, gn ~ gm si n ~ m.
n~
Se sigue que g' = gn Como g' E G,
gn+l ~ b-b = o.
n
n
esto implica que b = O, un absurdo. Luego b E G.
el enunciado es trivial,
Si existe x E G,
x ~ O,
también -x E G.
Luego
{x E Glx > O} es no vacío.
Sea b = inf {x E Glx > 0}.
Claramente b :!:: O.
8
Probemos ahora que G = {kblk E l}
\:1
o
La inclusión~ es evidente, por (9).
Comprobemos
la recíproca.
Sea g E G,
si
g "* kb
k E 7!.'
existe m E l
tal
que mb < g < (m+1)b
luego
< g-mb<b.
Como g-mb E G, esto contradice la definición
de b un absurdo.
Por lo tanto g = kb para algún k E l.
9
10 . Ejemplos .
Proposición 8,
conju~to
El
z}.
{ : ¡m,n E
p
ya que no es de
la forma Zb .
En efecto,
existen en él
números no nulos de módulo tan pequeño como se quiera, por
1
ejemplo
con n E N.
n
p
1
n
afirmar
que
si
111
= ... = mn = O.
m1
Z,
E
si
independiente
Z-linealmente
m, ... , m
la n-upla a 1 , ... , a n
Se dice que
Definicion .
(a
a + ... + m
1
n
IR)
E
es
=o
con
equivalen te
e!S
una
. . . ,a,
combinación lineal entera de a,
1
n
a
n
1 1
Esto
admite
número
un
a
donde pes un primo fijo, es
subgrupo de IR y resulta denso por la proposición anterior,
expresión
a
como
existe bE IR tal que G = {nbln E Z}.
1
= n b
y
1
n 1 , n 2 enteros no nulos.
a
2
= n2b
Luego,
n a
21
para
- n a
12
Como
ciertos
= n n b 21
n 1 n 2 b =O, Y a 1 , a 2 no son Z-linealmente independientes .
En consecuencia se tiene
formulada inicialmente.
12. Corolario.
la respuesta a
la pregunta
{cos(na) In E Z} es denso en [-1, 1] si y sólo
si a no es un múltiplo racional de rr .
En este :;aso para
todo y E [-1, 1) existe una subsucesión de cos(na) que tiende
a y.
dicha expresión es
única.
Prueba.
Por e 1 Lema 3 { cos (na, 1n E IR} es denso en [ -1, 1]
sii Za + Z2rr es denso en IR y por el lema anterior esto es
Lema .
11.
Sean a
en IR
a
~
1
a 2 E IR = {O}.
•
y a
2
Entonces G = Za 1
+
Za 2 es denso
son Z-linealmente independientes.
equivalente a que a y 2rr sean Z-linealmente independientes.
Ahora a = m
~ 2rr con n, m E Z implica ma - 2nrr = O con m ~ o;
y
recíprocamente
na + m2rr = O
con
ó
n * O
M* O implica a= O ó a= -m 2rr.
n
Prueba.
Demostraremos ambas implicaciones por el absurdo :
'*)
Supongamos que a
1
,
a
2
entonces existen n, m E Z no
luego a
= - -mn
2
nulos
tales que O =
a 1 y en consecuencia
si
Como
G e
~)
ka 1 + h a
z
a
1
Sea S la circunferencia de radio 1 en C:
no son Z-1 inealmente independientes;
2
es
un elemento
que no es denso en IR.
Supongamos que
G no
cualquiera de
k, h
G,
E
l.
resulta
10
en IR,
entonces
por
n
n
13. Corolario.
Luego G no es denso en IR .
es denso
S= {z E e¡ lzl = 1} = {cose + i sen e ¡e E IR}
Sea D un subconjunto de S. Diremos que D es denso en ~
si para todo elemento x + iy de S existe {x +iy } una
n
n
sucesión en D tal que x n + iyn ~ x + iy (esto significa que
x ~xey ~y).
la
El conjunto Ha = {c?s(na)+i sen (na) In E Z}
es denso en S si y sólo si a no es un múltiplo racional de
rr.
11
10 . Ejemplos .
Proposición 8,
conju~to
El
z}.
{ : ¡m,n E
p
ya que no es de
la forma Zb .
En efecto,
existen en él
números no nulos de módulo tan pequeño como se quiera, por
1
ejemplo
con n E N.
n
p
1
n
afirmar
que
si
111
= ... = mn = O.
m1
Z,
E
si
independiente
Z-linealmente
m, ... , m
la n-upla a 1 , ... , a n
Se dice que
Definicion .
(a
a + ... + m
1
n
IR)
E
es
=o
con
equivalen te
e!S
una
. . . ,a,
combinación lineal entera de a,
1
n
a
n
1 1
Esto
admite
número
un
a
donde pes un primo fijo, es
subgrupo de IR y resulta denso por la proposición anterior,
expresión
a
como
existe bE IR tal que G = {nbln E Z}.
1
= n b
y
1
n 1 , n 2 enteros no nulos.
a
2
= n2b
Luego,
n a
21
para
- n a
12
Como
ciertos
= n n b 21
n 1 n 2 b =O, Y a 1 , a 2 no son Z-linealmente independientes .
En consecuencia se tiene
formulada inicialmente.
12. Corolario.
la respuesta a
la pregunta
{cos(na) In E Z} es denso en [-1, 1] si y sólo
si a no es un múltiplo racional de rr .
En este :;aso para
todo y E [-1, 1) existe una subsucesión de cos(na) que tiende
a y.
dicha expresión es
única.
Prueba.
Por e 1 Lema 3 { cos (na, 1n E IR} es denso en [ -1, 1]
sii Za + Z2rr es denso en IR y por el lema anterior esto es
Lema .
11.
Sean a
en IR
a
~
1
a 2 E IR = {O}.
•
y a
2
Entonces G = Za 1
+
Za 2 es denso
son Z-linealmente independientes.
equivalente a que a y 2rr sean Z-linealmente independientes.
Ahora a = m
~ 2rr con n, m E Z implica ma - 2nrr = O con m ~ o;
y
recíprocamente
na + m2rr = O
con
ó
n * O
M* O implica a= O ó a= -m 2rr.
n
Prueba.
Demostraremos ambas implicaciones por el absurdo :
'*)
Supongamos que a
1
,
a
2
entonces existen n, m E Z no
luego a
= - -mn
2
nulos
tales que O =
a 1 y en consecuencia
si
Como
G e
~)
ka 1 + h a
z
a
1
Sea S la circunferencia de radio 1 en C:
no son Z-1 inealmente independientes;
2
es
un elemento
que no es denso en IR.
Supongamos que
G no
cualquiera de
k, h
G,
E
l.
resulta
10
en IR,
entonces
por
n
n
13. Corolario.
Luego G no es denso en IR .
es denso
S= {z E e¡ lzl = 1} = {cose + i sen e ¡e E IR}
Sea D un subconjunto de S. Diremos que D es denso en ~
si para todo elemento x + iy de S existe {x +iy } una
n
n
sucesión en D tal que x n + iyn ~ x + iy (esto significa que
x ~xey ~y).
la
El conjunto Ha = {c?s(na)+i sen (na) In E Z}
es denso en S si y sólo si a no es un múltiplo racional de
rr.
11
Por el Corolario 12, es equivalen te demostrar que
Prueba.
Ha es denso en S si y sólo si {cos(na) In E :zn es denso en
[-1,11.
La implicaci ón
(~)
es obvia.
~.
jka - x - m1 < e
lka' - y - m' 1 < e?
Esta
Para probar la restante da mos x + iy e S.
y = sg(y)
enteros k, m, m' tales que simultanea mente
donde sg(y) = 1 si y
~
Se ve que
O y sg(y) = - 1 si
pregunta,
así
como
la
tal
Por hipótesis existe una sucesión de enteros {n}
J
que
tales
nJ
elegir
Podemos
lím cos(n a) = x.
que
J
n
y
cose= cos (-8)
que
ya
sg(sen(nJ a)) = sg(y),
sen (-8) = - sen 8.
J
=
sg(y)~
~-cos 2 (n J a)
=
= y.
Luego cos(nJa)
+
i sen(nJa)
x
-7
+
iy lo que prueba que
H es denso en S.
a
En una próxima nota considera remos algunas generaliz aPor ejemplo,
cienes naturales de los teoremas anteriore s.
un problema análogo al del Lema 11 es el siguiente :
Bajo
qué
condicion es
a,
sobre
a'
E ~
es
posible
2
aproximar cualquier vector (x,y) E ~ por k(a,a') (k e l) a
menos de múltiplos enteros de los vectores (1,0) y (o. 1).
Dicho de otra forma:
dado
(x, y)
y e > O ¿
existen
13
12
a
n
dimension es fue estudiada por matemátic os célebres del siglo
pasado,
Lagrange,
como
y
Hermite
Dirichlet ,
Jacobi,
Kronecker .
y < o.
Asi resulta lim sen(n a) = lim sg(y)
generaliz ación
Por el Corolario 12, es equivalen te demostrar que
Prueba.
Ha es denso en S si y sólo si {cos(na) In E :zn es denso en
[-1,11.
La implicaci ón
(~)
es obvia.
~.
jka - x - m1 < e
lka' - y - m' 1 < e?
Esta
Para probar la restante da mos x + iy e S.
y = sg(y)
enteros k, m, m' tales que simultanea mente
donde sg(y) = 1 si y
~
Se ve que
O y sg(y) = - 1 si
pregunta,
así
como
la
tal
Por hipótesis existe una sucesión de enteros {n}
J
que
tales
nJ
elegir
Podemos
lím cos(n a) = x.
que
J
n
y
cose= cos (-8)
que
ya
sg(sen(nJ a)) = sg(y),
sen (-8) = - sen 8.
J
=
sg(y)~
~-cos 2 (n J a)
=
= y.
Luego cos(nJa)
+
i sen(nJa)
x
-7
+
iy lo que prueba que
H es denso en S.
a
En una próxima nota considera remos algunas generaliz aPor ejemplo,
cienes naturales de los teoremas anteriore s.
un problema análogo al del Lema 11 es el siguiente :
Bajo
qué
condicion es
a,
sobre
a'
E ~
es
posible
2
aproximar cualquier vector (x,y) E ~ por k(a,a') (k e l) a
menos de múltiplos enteros de los vectores (1,0) y (o. 1).
Dicho de otra forma:
dado
(x, y)
y e > O ¿
existen
13
12
a
n
dimension es fue estudiada por matemátic os célebres del siglo
pasado,
Lagrange,
como
y
Hermite
Dirichlet ,
Jacobi,
Kronecker .
y < o.
Asi resulta lim sen(n a) = lim sg(y)
generaliz ación