Hoja 11. - Departamento de Matemática Aplicada ETS de Arquitectura

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.Arquitectura. U.P.M.
Cálculo.
Integrales triples. Aplicaciones.
CÁLCULO
Hoja 11. Integrales triples. Aplicaciones.
1. Calcular las siguientes integrales triples en los recintos indicados:
ZZZ
(a)
x+zy +x2 yzdxdydz, D = (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x ≤ 1, −1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ z ≤ 2 .
D
1
Sol.:3
ZZZ
(b)
zxy
1
4
ZZZ
(d)
1+
y 2 dxdydz,
D = (x, y, z) ∈
R3
: −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 .Sol.:
D
(c)
π−4
24 .
p
D
√
2
−
2
z 2 y − zx2 − zx4
dxdydz, con D el cubo unidad [0, 1] × [0, 1] × [0, 1]. Solución:
1 + x2
RRR
dxdydz, siendo D el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano
1
x + y + z = 1. (El valor de la integral es el volumen del tetraedro). Sol.:
6
ZZZ
2 +y 2 +z 2 3/2
x
) dxdydz, D la esfera unidad centrada en el origen. Indicación:
(e)
e(
D
D
Cambiar a variables esféricas. Solución: 43 π(e − 1).
ZZZ
dxdydz
(f)
, siendo D el recinto limitado por las esferas x2 +y 2 +z 2 = a2
3/2
2
D (x + y 2 + z 2 )
a
y x2 + y 2 + z 2 = b2 con 0 < b < a. Sol.:4π ln
b
RRR
y2
x2
z2
(g)
D yzdxdydz, siendo D la región limitada por el elipsoide de ecuación a2 + b2 + c2 =
2 2
1 y los semiespacios x ≥ 0, y ≥ 0 y z ≥ 0. Solución: ab15c .
2. Expresar en la forma D = (x, y, z) ∈ R3 : . . . y hacer un esbozo de los recintos sobre los
cuales se están calculando las siguientes integrales:
Z 1 Z y Z √1−y2
Z √π Z √π Z 3
Z 4 Z 4−x Z 12−3x−6y
2
2
2
4
2
(a)
sen y dzdydx, (b)
dzdydx.
dzdxdy, (c)
0
x
1
0
0
0
0
0
0
Finalmente plantear alguna otra de las integrales iteradas y hallar el valor de dicha integral.
(Nota: en este ejercicio el orden de integración dado por dx, dy y dz juega un papel
1
fundamental). Sol.:(a) 1; (b) ; (c) 4.
3
3. Sea el sólido limitado inferiormente por el paraboloide z = x2 + y 2 y superiormente por la
esfera x2 + y 2 + z 2 = 6. Se pide:
(a) Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen de dicho
sólido.
(b) Mediante un cambio de coordenadas apropiado calcular dicho volumen.
√ Sol.: 2π −11
3 +2 6 .
1
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4. Hallar el volumen limitado entre las superficies
2
x + y2 = z2
para x ≥ 0.
x2 + y 2 = 8y
Sol.:
2048
9 .
5. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2 + 9y 2 + z 2 − 36 = 0 y exterior a la superficie
4x2 + 9y 2 − 9 = 0.
√
Sol.: 18π 3.
6. Hallar el volumen de la región
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 + 4 ≤ 0,
Sol.:
8 − x2 − y 2 ≥ z,
z ≥ 0}.
89π
6 .
7. Hallar el volumen limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x2 +y 2 y z = 2−x2 −y 2 .
Solución: Vol= π.
x2 y 2
3
8. Hallar el volumen del cuerpo definido como D = (x, y, z) ∈ R : 0 ≤ z ≤
+
≤1 .
4
9
Sol.:3π.
9. Hallar el volumen comprendido entre x2 + y 2 + z 2 = 100 y x2 + y 2 = z 2 , z ≥ 0. Sol.:
√ 1000π
2− 2 .
3
10. Sea W la región acotada por los planos x =√0, y = 0, z = 2 y la superficie z = x2 + y 2 ,
R
8 2
x ≥ 0, y ≥ 0. Calcular W xdxdydz. Sol.:
.
15
11. Hallar el volumen limitado entre las superficies
2
z − 4 = x2 + 2y 2
x2 + 2y 2 = 5
√
Sol.: 38π 2.
12. Calcular el volumen del recinto interior al elipsoide 4x2 + y 2 + z 2 − 338 = 0 al que se le
han quitado los dos casquetes cortados en él por el hiperboloide 4x2 + y 2 − z 2 + 50 = 0.
13. Hallar el volumen limitado entre las superficies
2
x + y 2 + 3z = 4
x2 + y 2 = z 2
Sol.:
117
12
+
4π
3 .
14. Calcula el volumen interior a la superficie 4x2 + 9y 2 + z 2 − 36 = 0 y exterior a la superficie
4x2 + 9y 2 − 9 = 0.
15. Hallar el volumen de la región
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 − z 2 + 4 ≤ 0,
Sol.:
8 − x2 − y 2 ≥ z,
z ≥ 0}.
89π
6 .
16. Calcular la masa del sólido
D = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 ≥ 2x, x2 + y 2 ≤ 4x, z 2 ≤ x2 + y 2 }
situado en el primer octante (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), siendo la densidad m(x, y, z) = y
Sol.: 12.
2
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17. Calcular el centro de gravedad de un cilindro circular recto de radio de la base R, de altura
h y cuya densidad varı́a proporcionalmente a su distancia a la base. Sol:: 0, 0, 2h
3 .
18. Calcular la masa del sólido de densidad d(x, y, z) = 1 + 2z limitado por las superficies
z = 0, (x − 1)2 + y 2 = 1 y x2 + y 2 = 2 − z.
Z π
Z π
2
2
5π 11
3π 1
6
Indicación:
cos t dt =
−
y
cos4 t dt =
−
π
π
64 48
32 4
4
Sol.:
25π
12
−
4
8
9.
19. Calcular el momento de inercia con respecto al eje OZ del volumen del paraboloide de
3
revolución z = x2 + y 2 , limitado por el plano z = a. Sol.: πa6 .
20. Calcular el momento de inercia del sólido interior al cono z 2 = x2 + y 2 para −4 ≤ z ≤ 4
respecto de los ejes coordenados y respecto al origen (densidad µ =constante). Sol.:
Ix = Iy = 512πµ,
Iz = 1024
Io = 3072
5 πµ,
5 πµ.
21. Calcular la masa del sólido limitado por el hiperboloide x2 + 4y 2 − z 2 + 4 = 0 y el cilindro
z
x2 + 4y 2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = 1 − .
4
√
26 13
16
Sol.: π
− 3 .
3
(
p
z= p
4 − x2 − y 2
22. Calcular la masa M del sólido definido por
siendo la densidad en
z ≥ x2 + y 2
cada punto el cuadrado de la distancia de su proyección sobre el plano OXY al origen de
coordenadas. (Se recomienda pasar a coordenadas esféricas).
√
Sol.: 2π −83 2 + 64
15 .
x2 y 2 z 2
23. Dado el elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,
a
b
c
calcular su masa.
1
Sol.: a2 b2 c2 8π
6 − 6 .
24. Hallar el volumen del sólido acotado superiormente por el paraboloide z = 5 − x2 − y 2 , e
inferiormente por el paraboloide z = 4x2 + 4y 2 . Hallar también su masa y su centro de
gravedad siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = 8 − z.
25. Se considera el sólido interior al cilindro x2 + y 2 = 1, limitado superiormente por la
superficie z 2 = 2 + x2 + y 2 , e inferiormente por z = x2 + y 2 . Hallar su masa sabiendo que
la densidad en cada punto es m(x, y, z) = 6 − (x2 + y 2 )z.
√
√
Sol.: 2π 6 3 − 4 2 − 85
48 .
26. Hallar la masa del sólido D = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 1, x2 + y 2 ≤ x, z ≥ 0 que
tiene como función de densidad en cada punto m(x, y, z) = z.
Sol.:
5π
64 .
27. Calcular la masa y los
p momentos de inercia respecto de los ejes X e Y del sólido limitado
por la superficie z = 4 − x2 − y 2 y el plano z = 0 si la densidad en (x, y, z) es proporcional
a la distancia de (x, y, z) al plano z = 0.
Sol.: Masa= 4kπ, Ix = Iy = 8kπ.
28. p
Se considera el sólido D limitado por el cilindro x2 + y 2 − 2y = 0 en la región 0 ≤ z ≤
x2 + y 2 ; hallar la masa de D suponiendo que la función densidad es f (x, y, z) = |x|.
Sol.:
8
5.
3
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Integrales triples. Aplicaciones.
29. Hallar la masa de la dovela
D = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 +
y2
≥ 1,
4
x2
y2
+
≤ 1,
4
16
x ≥ 0,
y ≥ 0,
0 ≤ z ≤ 1}
siendo la función de densidad m(x, y, z) = xy + 1.
Sol.:
3
2π
+
15
2 .
30. Se considera el sólido
S = {(x, y, z) ∈ R3 :
(x − 1)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y, 0 ≤ z ≤ 2}
con función densidad δ(x, y, z) = y + 2. Hallar el momento de inercia de S respecto del
plano coordenado z = 0.
Sol.:
8
9
+
8π
6 .
p
3
31. Calcular la masa del sólido S = {(x, y, z)
x2 + y 2
p∈ R :
2
2
2
la densidad en cada punto m(x, y, z) = x + y + z .
√
Sol.: 128
3 π(2 2 − 1).
≤ z,
2
0 ≤ z ≤ 4} siendo
2
2
2
32. Calcular la masa del sólido S = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ z, z 2 ≤ 3− x4 − y9 , z 2 ≥ 1+ x4 + y9 }
siendo la densidad en cada punto m(x, y, z) = z.
Sol.: 3π.
x2 y 2 z 2
33. Dado el elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 cuya densidad en cada punto es m(x, y, z) = abc−|xyz|,
a
b
c
calcular su masa
34. Calcular la masa y el centro de gravedad del sólido limitado por el hiperboloide de dos
hojas x2 + y 2 − z 2 + 4 = 0 y el cilindro x2 + y 2 − 9 = 0, y cuya densidad en cada punto es
5−z
m(x, y, z) =
. (Maple). .
2
35. Calcular la masa del sólido limitado por el hiperboloide de dos hojas x2 + y 2 − z 2 + 1 = 0
y la esfera x2 + y 2 + z 2 − 9 = 0 en el semiespacio z ≥ 0, y cuya densidad en cada punto es
m(x, y, z) = z 2 .
√
244
Sol.: 2π
3 −10 5 + 5 .
36. Calcula la masa del sólido D definido por D = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 6, z 2 − x2 − y 2 ≥ 2
que tiene como función de densidad en cada punto m(x, y, z) = |z|x2 + |z|y 2 . Sol: 8π
3 .
37. Se pretende instalar un equipo de aire acondicionado en un estadio de deporte de planta
elı́ptica de semiejes a = 2 y b = 1 y paredes planas perpendiculares al suelo (es decir, el
2
recinto limitado por el cilindro de ecuación x4 + y 2 = 1, z ≥ 0). Además, la cubierta es una
2
porción del elipsoide 4z 2 + x4 + y 2 = 4 Se utilizarán compresores y evaporizadores de aire
según ciertas caraterı́sticas técnicas. Para determinar el número de dichos aparatos, se
precisa conocer el volumen de aire
√ que habrı́a que enfriar. Calcular, por tanto, el volumen
del estadio. (Sol: V = 2π 83 − 3 ).
38. Hallar la masa del sólido
D = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 9, x2 + y 2 ≤ z 2 − 1, z ≥ 0
que tiene como función de densidad en cada punto m(x, y, z) = z 3 + 1.
√ !
88 10 5
−
).
(Sol.:2π
3
3
4
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Integrales triples. Aplicaciones.
39. Un edificio tiene forma de hiperboloide reglado, de planta circular y cubierta plana (similar
a la catedral de Brasilia). La ecuación de dicho hiperboloide es
25 2 25 2
50
x + y − (z − 20)2 = .
54
54
3
Calcular el volumen que encierra el edificio.
5