Comparación entre curvas de calentamiento teóricas y experimentales

Comparación entre curvas de calentamiento teóricas y
experimentales
Práctica no pautada de Laboratorio, Física experimental II, 2009
Larregain, Pedro
pedrolarregain@yahoo.com
Machado, Alejandro
machado.alejandro@yahoo.com
Departamento de Física, Facultad de Ciencias Exactas, UNICEN
Objetivos
Determinación de la pérdida de energía en el calentamiento de agua por la ley de enfriamiento de Newton.
Comparación de las curvas de calentamiento obtenidas experimentalmente.
Introducción
La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, en
donde la misma, tiene sus propios mecanismos (conducción, convección y radiación) y cada uno de ellos
cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de
energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe
la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es
susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar
una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los
procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que
relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su
medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido por unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el
cuerpo por conducción, convección y radiación, es aproximadamente proporcional a la diferencia de
temperaturas entre el cuerpo y dicho medio externo, siempre y cuando este último mantenga constante su
temperatura durante el proceso de enfriamiento.
1
La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando un horno de carbón de una
pequeña cocina, realizó un sencillo experimento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo
colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el
ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley enfriamiento
Newton. [1]
Esta ley describe que la razón de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo y el medio ambiente que lo circunda. Se expresa de la siguiente forma:
dQ
= hA(T − T A )
dt
(1)
Donde h es el coeficiente de intercambio de calor, (en este caso es considerado global por agrupar la
transferencia de calor por convección, conducción y radiación), y A el área superficial del cuerpo que se
encuentra expuesta al medio ambiente.
Si la temperatura del cuerpo es mayor a la ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, la
cual será proporcional a la diferencia de temperaturas, podemos expresar esto en forma diferencial como:
dQ = − m.c.dT
(2)
Donde m es la masa del cuerpo y c su calor específico, (el producto mc es conocido como C, que es la
capacidad calorífica del sistema), el signo menos indica una pérdida calorífica. Podemos combinar las
ecuaciones (1) y (2) en una forma simplificada:
dT
= − k (T − T A )
dt
(3)
Donde k es una constante de proporcionalidad conocida como parámetro de enfriamiento o conductividad
térmica (k=ha/mc) y TA es la temperatura ambiente, que se supone siempre constante. Resolviendo (3), se
−t
pude expresar que T = T A + ΔT .e τ (3b)
En el caso en el que el sistema tenga una fuente de energía (constante) que le proporcione calor, se expresa
de manera cuantitativa de la siguiente manera:
P = mc
dT
dt
(4)
Expresando la temperatura en función del tiempo, se obtiene la siguiente ecuación:
T = Ta +
P
t
mc
(5)
Es decir que la temperatura varía en forma lineal con el tiempo
2
Si hay pérdida de energía debido al enfriamiento de Newton, ésta es transferida a la atmósfera con lo que la
ecuación de balance de energía viene dada por:
P = mc
dT
+ hA(T − Ta )
dt
(6)
Esto se puede expresar de la siguiente manera:
dT
P hA
=
−
(T − Ta )
dt mc mc
(7)
La solución de esta ecuación diferencial para un cuerpo que recibe calor de una fuente de energía y esta
afectado por la “ley de enfriamiento de Newton” variando desde una temperatura Ta hasta una temperatura
T, obtenemos la temperatura del cuerpo en función del tiempo [2]:
−
t⎤
P ⎡
mc
⎥
⎢1 − e
hA ⎣
⎦
hA
T = Ta +
(8)
En esta ecuación se observa que el calor suministrado al sistema genera un aumento exponencial en la
temperatura del mismo.
Procedimiento experimental
Se procedió a calentar una cierta medida de agua (aproximadamente 0.352 kg) en un recipiente de vidrio de
400 ml de capacidad, el mismo se encontraba tapado con un material considerado adiabático para restringir
la perdida de masa por evaporación. Luego de algunas pruebas, se decidió utilizar para esta experiencia dos
métodos de calentamiento distintos, por un lado un mechero a gas para obtener altas velocidades de
calentamiento, y por otro una resistencia conocida conectada a una fuente de tensión variable para brindar
distintas potencias fáciles de determinar. Para cada una de las mediciones, se utilizó el mismo volumen de
agua que en la primera experiencia y se colocó una termocupla conectada a una placa adquisidora en la parte
media de ese volumen.
Las dos primeras mediciones fueron realizadas utilizando un mechero en potencia media y baja.
Como se verá en las gráficas de resultados, también se realizó una medición con la potencia máxima del
mechero, pero por haber sido esta una prueba anterior, la misma contaba con un volumen de agua diferente
del resto el cual no fue medido y su recipiente era de 600ml de capacidad.
Luego se realizó el mismo procedimiento con un resistor eléctrico que contaba con una resistencia de 55
ohm. Se llevaron a cabo dos mediciones, una aplicando una tensión de 50 Volts obteniendo una potencia de
45,45 Watts y otra aplicando una tensión de 10 Volts obteniendo una potencia de 1.8 Watts.
3
En el caso de las resistencias, después de haber llegado a la temperatura máxima, se procedió a desconectar
la fuente de energía y se midió el enfriamiento del sistema.
Para cada una de las experiencias, se controló la temperatura ambiente y por haber registrado variaciones de
la misma menores al valor de incertidumbre del instrumento utilizado (termómetro de mercurio + 1 º C) se
considera a la temperatura ambiente de cada una de las experiencias como constante.
PC
Termocupla
Vaso de
precipitado
Soporte
Placa adquisidora
Fig. 1: Arreglo experimental
Resultados y análisis
Curvas de calentamiento obtenidas experimentalmente
Mechero - Potencia máxima
Mechero máximo
Ajuste lineal
Mechero máximo
100
100
80
Temperatura (ºC)
Temperatura (ºC)
80
60
40
Linear Regression
60
T = T0 + P/(mc) * t
40
Parameter
Value Error
--------------------------------------------T0
16,75315
0,06983
P/(mc) 0,10467
1,51035E-4
20
20
0
-200
0
0
200
400
600
Tiempo (s)
Gráfica 1
800
1000
1200
1400
0
200
400
600
800
Tiempo (s)
Gráfica 2
4
Estas gráficas muestran el comportamiento del cambio de temperatura en función del tiempo cuando se le
aplica una potencia considerada alta para una determinada cantidad de masa. En la gráfica 1, se ve una
meseta en la cual la temperatura no varia con el tiempo, la misma se debe al cambio de fase del agua. Como
se puede observar en la gráfica 2, la curva de calentamiento se ajusta a una recta de acuerdo a la ecuación
(5).
Mechero – Potencia media
100
100
80
80
Temperatura (ºC)
Temperatura (ºC)
Mechero medio
60
40
Mechero medio
60
Chi^2/DoF
= 0.28777
R^2
= 0.99961
40
P1
P2
P3
7.72
±0.05
188.02 ±0.8
0.00047
±0.00003
20
20
0
0
0
500
1000
1500
2000
0
2500
500
1000
1500
Tiempo (s)
Tiempo (s)
3
Gráfica
En laGráfica
gráfica
4 se puede observar que el ajuste de la variación
de la4 temperatura en función del tiempo ya no
es lineal sino que corresponde a la siguiente función exponencial:
(
Y = P1 + P 2. 1 − e − P 3.t
)
(9)
En donde
P1 = Ta
P2 =
P
hA
P3 =
hA
mc
_ t⎤
P ⎡
C
Lo que nos deja con la ecuación T = Ta +
⎢1 − e ⎥ , mostrando la misma la temperatura obtenida
hA ⎣
⎦
bajo el calentamiento por parte de una fuente y contando con una cierta pérdida ocasionada por la ley de
hA
enfriamiento de Newton.
5
Mechero - Potencia mínima
mechero mínimo
100
Temperatura (ºC)
80
60
Chi^2/DoF
= 1.47603
R^2
= 0.99768
40
P1
P2
P3
9.34
±0.07
100.48 ±0.08
0.00053
±0.00001
3000
4000
20
0
0
1000
2000
5000
Tiempo (s)
Gráfica 5
La gráfica obtenida muestra un ajuste que también corresponde al de la ecuación (8).
Resistor – 45,45 Watts
90
Cuerva enfriamiento
Curva de ajuste
50 V (45,5 Watts)
80
80
Chi^2/DoF
= 0.13296
R^2
= 0.99905
70
60
50
40
Chi^2/DoF
= 0.08885
R^2
= 0.99976
30
P1
P2
P3
12.62 ±0.02
113.2 ±0.2
0.00023
±0.000005
20
Temperatura (º C)
Temperatura (ºC)
70
T(amb) 29.94438
Var T 48.88855
tau
2616.81875
±0.03692
±0.03024
±4.68749
60
50
40
10
30
0
1000
2000
3000
4000
0
2000
3000
4000
5000
6000
Tiempo (s)
Tiempo (s)
Gráfica 6- Curva de calentamiento
1000
Gráfica 7 – Curva de enfriamiento
En la gráfica 6 también se realizó un ajuste que corresponde a la ecuación (8). En la gráfica 7 se observa el
enfriamiento del sistema, ajustándose el mismo a la ecuación (3b).
6
140
En la gráfica 8 se observa la
curva de calentamiento
extrapolada siguiendo la
función de ajuste (8) con los
parámetros obtenidos de la
misma.
120
Temperatura (ºC)
100
80
60
Curva de calentamiento extrapolada
40
20
0
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Tiempo (s)
Gráfica8
Resistor – 1.8 Watts
10 V (1.8 Watts)
Curva de enfriamiento
Curva de ajuste
25
26
24
Temperatura (ºC)
Temperatura (ºC)
24
22
Chi^2/DoF
= 0.01078
R^2
= 0.99816
20
P1
P2
P3
18
16.314 ±0.003
11.65 ±0.01
0.0001 ±0.000002
16
Chi^2/DoF
= 0.0007
R^2
= 0.99957
T (amb)18.03183
±0.00572
Var T 6.3356 ±0.00512
Tau
6359.9814
±10.00604
23
22
21
20
-2000
0
2000
4000
6000
8000
Tiempo (s)
Gráfica 9 – Curva de calentamiento
10000
12000
14000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
Tiempo (s)
Gráfica 10 – Curva de enfriamiento
En la gráfica 9 puede observarse que el período de tiempo transcurrido es muy grande y que la variación de
temperatura es muy pequeña, esto es debido a la baja potencia entregada al sistema. De todas maneras, el
ajuste de esta curva también corresponde a la ecuación (8). En la gráfica 10 se observa la curva de
enfriamiento del sistema con su curva de ajuste que corresponde a la ecuación (3b).
7
En la gráfica 11 se puede observar la
curva de calentamiento extrapolada
según su función de ajuste.
28
Temperatura (ºC)
26
24
22
Curva de calentamiento extrapolada
20
18
16
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Tiempo (s)
Gráfica 11
Comparación de curvas de calentamiento
100
Temperatura (ºC)
80
MECHEROMAX
MECHEROMED
MECHEROMIN
RESIST50V
RESIST10V
60
40
20
0
0
1k
2k
Gráfica 12
3k
4k
5k
6k
7k
8k
9k 10k 11k 12k 13k 14k
Tiempo (ks)
En la gráfica 12 se comparan las curvas de calentamiento obtenidas bajo distintas condiciones pudiendo
observarse distintas velocidades de calentamiento en cada una de ellas.
8
Tabla de resultados
Velocidad
Curva de
Temp
calentamiento Amb (ºC)
Temp Temp
promedio
final Inicia ΔT
(ºC)
Δt
l (ºC)
Velocidad
P/C=d promedio de
de
calentamie
1/ζ
h=(KJ/KG*Kel
nto (ºC/s)
(1/s)
*m2*s)
C
T/dt enfriamiento
(KJ/Kg*Kelvi) teórico
ΔT/ Δt
Mechero
máximo
22
99
16
83
800
0,1038
16
99
9
90 1468
0,0613
0,00047
35,6584
1653,94
16
98
13
85 4507
0,0189
0,00053
40,2106
1653,94
16
80
14
66 3951
0,0167
0,00023
18,4175
1745,65
0,0260
0.0084
18
25
16
9 12745
0,0007
0,0001
7,1662
1562,23
0,0012
0.00058
Mechero
medio
Mechero
minimo
Resistencia 50
V (45,45W)
Resistencia 10
V (1,8W)
En la tabla de resultados, se muestran los valores del coeficiente h de transmisión de calor de cada una de las
experiencias realizadas salvo la del mechero a máxima potencia ya que la misma contaba con una capacidad
calorífica C distinta al resto. Vale aclarar que los valores de h de los resistores fueron obtenidos despejando
el mismo del parámetro P 2 =
(
P
de la ecuación Y = P1 + P 2. 1 − e − P 3.t
hA
)
(9)
Una vez obtenido el valor de h, para el caso de potencia conocida, se despejó el valor de C del parámetro
P3 =
hA
de la ecuación (9). Por utilizar la misma masa en las experiencias en las que se calentó la misma
mc
agua con mechero, se promedió el valor de C (1653,94 (KJ/Kg*Kelvi) obtenido de las experiencias con
resistores para luego despejar los valores de h de las curvas de los mecheros.
En las gráficas 8 y 11, luego de extrapolar los parámetros utilizando la ecuación de ajuste
se puede observar el comportamiento de la temperatura del sistema para un tiempo bastante más extenso, en
las mismas se destacan las mesetas alcanzadas que muestran un equilibrio entre el calor otorgado por la
fuente y la energía perdida por el sistema por la ley de Newton, es decir, todo el calor ganado es transmitido
al ambiente siguiendo lo establecido por esta ley. Es necesario aclarar que en la gráfica 8 se observan valores
de temperatura mayores a los 100 º C, esto es debido a la extrapolación, que muestra una supuesta meseta
para los parámetros existentes que alcanzaría esos valores, cuando en realidad, debido al cambio de fase del
agua, la temperatura se mantiene constante aproximadamente a los 100 º C.
9
Comparación de las velocidades de calentamiento teóricas – experimentales
curva teórica
10 V
110
32
100
30
90
28
Temperatura (ºC)
Temperatura (ºC)
80
70
60
50
Teórica
50 V
40
30
26
24
22
20
18
20
16
10
0
2000
14
-2000
4000
0
2000
Tiempo (s)
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Tiempo (s)
Gráfica 14
Gráfica 13
En las gráficas 13 y 14 puede observarse la comparación entre la curva de calentamiento real obtenida de la
experiencia y la teórica obtenida de la ecuación
P = mc
dT
dt
(4) en la cual no se considera la perdida de
energía por la ley de enfriamiento de Newton sino que se supone que toda la potencia suministrada (P) es
utilizada para calentar el sistema (mc), obteniendo de esta manera, una velocidad de calentamiento teórica:
P
dT
(10)
=
mc dt
Comparando los valores obtenidos de la velocidad de calentamiento de las curvas experimentales con los
valores teóricos, se puede observar una diferencia en la velocidad promedio de calentamiento, la misma se
muestra en la siguiente tabla
Potencia
entregada
(watts)
45.45
1.8
Velocidad de
calentamiento
teórica (ºC/s)
Velocidad de
calentamiento
experimental
(ºC/s)
0.026
0.0012
0.0167
0.0007
(velcal ex-velcal teo)
(°C/s)
Velocidad de
enfriamiento
(ºC/s)
Potencia
efectiva (watts)
0.0093
0.0005
0.0084
0.00058
29.19 (64.23%)
1.05 (58.33%)
Comparando la velocidad de calentamiento teórica con la experimental, se puede observar que la última es la
velocidad efectiva la cual es un porcentaje conocido de la primera. Mediante una regla de tres simple se
obtuvo la potencia efectiva de las experiencias.
10
Conclusión
La diferencia obtenida en las velocidades de calentamiento teórica y experimental es atribuida a la pérdida
de energía producida por la ley de enfriamiento de Newton, o sea el calor que se transfiere a la atmósfera. En
ambos casos, estas diferencias son muy próximas a las velocidades de enfriamiento obtenidas de la ecuación
de ajuste resultante del proceso de enfriamiento (sin fuente externa), lo que corrobora que la perdida de
energía que tiene lugar en el calentamiento se debe a la Ley de Newton.
Puede observarse que para una potencia mayor, la diferencia en la velocidad de calentamiento teórica y
experimental es proporcionalmente menor, lo que determina que cuanto más grande es la potencia la curva
que se obtiene se acerca más a la curva de calentamiento teórica.
Anexo
Luego de terminadas las experiencias, se realizó una prueba con el mismo método agregando un agitador
para lograr mantener homogénea la temperatura en todo el recipiente y observar si la velocidad de
calentamiento era distinta a las que no presentaban un elemento que creara convección forzada. En esta
experiencia se utilizo el mismo recipiente que en las anteriores y un voltaje de 50 V, pero la resistencia
utilizada era desconocida, por lo que no se conocía su potencia y no se procedió a realizar los análisis
efectuados anteriormente.
50 V
60
Temperatura (°C)
50
40
Chi^2/DoF
= 0.08479
R^2
= 0.99954
30
P1
P2
P3
13.70574
68.21086
0.00021
±0.0131
±0.06803
±3.9571E-7
20
10
0
1000
2000
3000
Tiempo (s)
4000
5000
6000
11
En la gráfica se observa la curva de calentamiento del sistema junto con sus parámetros luego de un ajuste
−
t⎤
P ⎡
mc
con la función T = Ta +
⎥ . La misma muestra que existe enfriamiento por la Ley de Newton.
⎢1 − e
hA ⎣
⎦
hA
Trabajo a futuro
- Intentar deducir de los resultados obtenidos las diferencias entre las curvas experimentales y teóricas para
poder cuantificar las pérdidas de energía ocasionadas por la radiación y por la convección.
- Aplicar potencias (conocidas) mayores a la utilizadas para obtener experimentalmente curvas mas
próximas a las teóricas.
Bibliografía
[1] Física, Tipler, Volumen 1 Capítulo 20 “Propiedades y procesos térmicos”
[2] Física, Sears y Zemansky 11va edición, Capítulo 17 “Temperatura y calor”
12