Fracciones.

Capítulo 1
Fracciones
1
Fracciones
2
Partes de un conjunto
La señora Jiménez tiene 3 perros y 2 gatos. ¿Cuántos perros tiene del total de animales?
¿Cuántos gatos tiene del total de animales?
Solución:
En total tiene 5 animales. De ellos 3 son perros, lo representamos como
3 son perros
5 animales
3
5
3
de los animales son perros, lo leemos como tres quintos.
5
Tiene 2 gatos:
2
2 son gatos
5
5 animales
2
de los animales son gatos, lo leemos como dos quintos.
5
Una interpretación de las fracciones es como partes de un conjunto.
a
Todo número fraccionario se representa en la forma donde b, el denominador, indica el número
b
de elementos que tiene el conjunto y a, el numerador, el número de elementos considerados.
Ejemplos
1. Federico tiene 4 pelotas de las cuales 3 son rojas. ¿Qué fracción representa?
Solución:
3 pelotas son rojas
4 pelotas en total
3
4
3
de las pelotas son rojas:
4
Se lee, tres cuartos de las pelotas son rojas.
2. Sobre la mesa hay 3 vasos, 2 están llenos. ¿Qué fracción representa?
Solución:
2
3
2 vasos llenos
3 vasos en total
2
de los vasos están llenos.
3
Se lee, dos tercios de los vasos están llenos.
Fracciones
3
Partes de una unidad
Cristina compró una pizza, la partió en 4 rebanadas iguales y se comió 3 de ellas. ¿Cuánta
pizza comió?
Solución:
numerador
!
3
se comió 3 rebanadas
denominador !
4
4 rebanadas en total
3
La fracción representa la cantidad de pizza que se comió. Se lee tres cuartos.
4
3
Comió de pizza.
4
Ejemplos
1. ¿Cuántas partes están iluminadas?
Solución:
1
3
1 parte iluminada
3 partes iguales
Un tercio de las partes está iluminada.
2. ¿Cuántas partes están coloreadas?
Solución:
2
5
2 partes coloreadas
5 partes iguales
Dos quintos de las partes están coloreadas.
Fracciones
4
Actividad. Adivina cuál es.
Adivina cuál es
Encierra la fracción que corresponde a la parte iluminada de cada dibujo.
9
6
6
8
6
9
4
7
3
7
3
4
2
5
5
2
3
5
1
6
6
5
5
6
7
12
5
12
5
7
1
6
1
3
2
3
Fracciones
5
Las bandas y las fracciones
Las bandas son tiras de papel o cartón de diferentes colores con marcas que las dividen en
partes iguales.
La …gura siguiente muestra las bandas correspondientes a tercios, quintos, sextos y doceavos.
Usamos bandas de medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, octavos, novenos, décimos y doceavos.
En la tabla siguiente aparecen los colores de cada banda.
Medios
Tercios
Cuartos
Quintos
Sextos
Séptimos
Octavos
Novenos
Décimos
Doceavos
Lila
Naranja
Amarillo
Verde
Rosa
Rojo
Azul
Morado
Blanco
Verde claro
Con ellas introduciremos los conceptos de equivalencia, comparación, suma, resta, multiplicación, denominador común y división.
Comparación de fracciones con el mismo denominador
En la siguiente estrella
Fracciones
6
¿Cuántas puntas tiene la estrella?
La estrella tiene 15 puntas.
¿Cuántas puntas están pintadas de rojo?
Hay 8 puntas rojas de un total de 15, es decir,
8
:
15
¿Cuántas puntas están pintadas de azules?
Hay 5 puntas azules de un total de 15, es decir,
5
:
15
¿Qué fracción es mayor?
Observamos ambas cantidades:
8
15
5
15
Los denominadores son iguales
8 es mayor que 5
entonces como
8>5
tenemos que
8
5
> :
15
15
Ejemplos
1. En la siguiente imagen,
Fracciones
7
¿Cuántas …guras hay en total?
En total, hay 13 …guras.
¿Cuántos paraguas hay?
Hay 4 paraguas de un total de 13 …guras, es decir,
4
:
13
¿Cuántos árboles hay?
Hay 9 árboles de un total de 13 …guras, es decir,
9
:
13
¿Qué fracción es menor?
Observamos ambas cantidades:
4
13
9
13
Los denominadores son iguales
4 es menor que 9
entonces como
4<9
tenemos que
4
9
< :
13
13
2. Compara
5 2
y .
7 7
Solución:
Entonces
5
2
Es decir: > .
7
7
5
7
2
7
Los denominadores son iguales
5 es mayor que 2
5
2
es mayor que :
7
7
Fracciones
8
3. Compara
3 6
y .
8 8
Solución:
3
8
6
8
Los denominadores son iguales
3 es menor que 6
Entonces
3
6
es menor que :
8
8
Es decir:
6
3
< .
8
8
7
3
4. De la super…cie de la Tierra,
está cubierta por los mares y
está ocupada por tierra.
10
10
¿Cuál de las dos super…cies es mayor?
Solución:
Observamos ambas cantidades:
7
10
3
10
Los denominadores son iguales
7 es mayor que 3
Entonces
7
3
es mayor que
10
10
Escribimos
3
7
> .
10
10
La super…cie cubierta por agua es mayor.
Fracciones en la recta numérica
División de un segmento en partes iguales
Veamos cómo dividir un segmento en 5 partes iguales.
Trazamos un segmento cualquiera AB.
.
.A
B
Levantamos una recta perpendicular al segmento AB que pase por A.
Fracciones
9
.
A
.
B
Elegimos cualquier medida arbitraria y hacemos una marca sobre la recta perpendicular, llamamos C al punto marcado. Después colocamos el compás en A y los abrimos hasta llegar a C.
Con esta abertura marcamos los puntos D; E; F y G.
G
F
E
D
C
.
A
.
B
Unimos G con B y trazamos rectas paralelas a la recta GB por los puntos F , E, D y C.
G
F
E
D
C
.
.
A
B
Fracciones
10
Marcamos los puntos de intersección de estas rectas con el segmento AB. Obteniendo los
puntos H; I; J y K.
G
F
E
D
C
.
.
A
J
K
I
H
B
Localización de una fracción en la recta
2
Localizar el número en la recta numérica.
5
Solución:
Dividimos la unidad en cinco partes iguales y después a partir del cero nos movemos hacia la
derecha y tomamos dos de estas partes.
.
0
2
5
1
2
3
Ejemplo
1. Localizar el número
7
en la recta numérica.
4
Solución:
Dividimos el segmento que va de 0 al 1 en 4 partes iguales.
A partir del cero nos movemos hacia la derecha y tomamos siete de estas partes.
Fracciones
11
.
2. Localizar
0
1
7
4
2
4
en la recta numérica.
3
Solución:
Dividimos el segmento que va de 0 al 1 en 3 partes iguales.
A partir del cero nos movemos hacia la izquierda y tomamos cuatro de estas partes.
-
4
3
.
0
Ejercicios
Localiza en la recta numérica los siguientes números:
1.
16
:
5
2.
3
:
7
3.
4.
9
:
6
11
:
4
1
Fracciones
12
Fracciones equivalentes
Las bandas y las fracciones equivalentes
Coloca la banda de medios y debajo de ella la de cuartos, como indica la …gura
¿Cuántos cuartos son un medio?
Solución:
Observamos que dos de los cuartos de la banda amarilla cubren la mitad de la banda azul,
entonces
1
2
= :
4
2
2 1
Decimos que las fracciones y son equivalentes.
4 2
De la misma manera podemos encontrar fracciones equivalentes entre cuartos y octavos, cuartos
y doceavos, quintos y décimos, sextos y doceavos, etcétera.
Ejemplos
1. Elige las bandas de tercios y de sextos para veri…car que
2
4
= :
3
6
Solución:
Colocamos las bandas como sigue y observamos:
En efecto, cuatro pedazos de la banda rosa, cubren dos de la banda naranja.
2. Elige las bandas adecuadas para veri…car que
3
9
= :
4
12
Solución:
Elegimos las bandas de cuartos y doceavos. Las colocamos como sigue y observamos:
Fracciones
13
En efecto, nueve pedazos de la banda verde, cubren tres de la amarilla.
3. Encuentra una fracción equivalente a
3
:
5
Solución:
Elegimos las bandas de quintos y décimos. Las colocamos como sigue y observamos:
Notamos que tres pedazos de la banda verde, cubren seis de la blanca.
3
6
Entonces es equivalente a , es decir:
5
10
3
6
= .
5
10
4. Encuentra dos fracciones equivalentes a
8
:
12
Solución:
Elegimos las bandas de tercios, sextos y doceavos. Las colocamos como sigue y observamos:
Fracciones
14
Notamos que dos pedazos de la banda naranja cubren ocho de la banda verde. Igualmente,
cuatro pedazos de la banda rosa cubren ocho de la banda verde.
2
8
Entonces es equivalente a , es decir:
3
12
2
8
= .
3
12
De la misma manera,
8
4
es equivalente a , es decir:
6
12
4
8
= .
6
12
Concluimos que
2 4
8
y son equivalentes a ; es decir:
3 6
12
2
4
8
= = .
3
6
12
Observación:
Usando la banda de novenos, podemos veri…car que
6
8
es otra fracción equivalente a .
9
12
Otra forma de ver fracciones equivalentes
Observa la parte coloreada
Escribe los nombres de las fracciones. ¿Son equivalentes?
Solución:
Observamos que las dos …guras son rectángulos del mismo tamaño. El primero está dividido
en tercios mientras que el segundo lo está en sextos.
2
4
La parte coloreada en el primero es y en el segundo es : Como en ambos rectángulos la
3
6
parte coloreada es la misma, entonces
2
4
= :
3
6
Ejemplos
Fracciones
15
1. Observa la parte coloreada
Escribe los nombres de las fracciones. ¿Son equivalentes?
Solución:
Observamos que las dos …guras son rectángulos del mismo tamaño. El primero está dividido
en cuartos mientras que el segundo lo está en medios.
2
1
La parte coloreada en el primero es y en el segundo es : Como en ambos rectángulos la
4
2
parte coloreada es la misma, entonces
1
2
= :
4
2
2. Encontrar una fracción equivalente a
4
:
8
Solución:
4
Una manera de encontrar una fracción equivalente a es dividir el numerador y el denomi8
nador entre 4:
4
8
4 = 1
4 = 2;
de donde,
4
1
= :
8
2
Representando las fracciones en la recta numérica vemos:
0
2
0
8
1
2
1
8
2
8
3
8
4
8
2
2
5
8
6
8
7
8
8
8
Fracciones
16
3. Encontrar una fracción equivalente a
9
:
12
Solución:
Como
9
3
=
12
3
3
=
3
= 1
=
3
4
3
4
3
4
3
:
4
Por tanto,
9
3
= :
12
4
4. De los doce meses del año, sólo cuatro de ellos no tienen la letra r en su nombre. Representa
lo anterior como una fracción y encuentra una fracción equivalente a ella que tenga un 1 en
el numerador.
Solución:
Hay cuatro meses en el año que no tienen la letra r, ellos son mayo,junio, julio y agosto.
Como el año tiene 12 meses, tenemos que
4
de los meses no tienen la letra r:
12
Como
4
4
=
12
3
4
=
4
= 1
=
entonces
1
:
3
1
de los meses no tienen la letra r en su nombre.
3
5. Encontrar una fracción equivalente a
Solución:
1
4
1
3
1
3
1
:
2
Fracciones
17
Multiplicamos el numerador y el denominador por 5:
1
2
de donde
5 = 5
5 = 10;
1
1
=
2
2
0
2
0
10
5
5
=
5
10
1
2
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
2
2
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
Observación: Si multiplicamos por cualquier otro número el numerador y el denominador
de una fracción, obtenemos una fracción equivalente.
¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?
3 6
¿Son equivalentes las fracciones y ?
4 8
Solución:
Para saber si las fracciones son equivalentes, calculamos los productos cruzados:
3
4
6
8
3
4
8 = 24
6 = 24:
entonces
Como obtuvimos el mismo resultado, las fracciones son equivalentes.
Veamos una justi…cación. Como
3
3 8
=
4
4 8
24
=
32
y
6
6 4
=
8
8 4
24
=
;
32
de donde
Ejemplos
3
24
6
=
= :
4
32
8
Fracciones
18
1. ¿Son equivalentes las fracciones
9 36
y ?
5 15
Solución:
Calculamos los productos cruzados:
9
5
36
15
entonces
9
5
15 = 135
36 = 180:
Como obtuvimos resultados distintos, las fracciones no son equivalentes.
2. ¿Son equivalentes las fracciones
2 14
y ?
7 49
Solución:
Calculamos los productos cruzados:
2
7
14
49
entonces
2
7
49 = 98
14 = 98:
Como obtuvimos el mismo resultado, las fracciones son equivalentes.
Fracciones
19
Actividad. Dominó de fracciones equivalentes
1
3
2
6
3
9
1
2
2
4
2
8
3
15
3
6
Fracciones
20
3
12
1
4
2
10
6
9
1
5
4
6
9
12
2
3
Fracciones
21
6
8
6
15
3
4
4
10
2
5
1
3
2
4
3
12
Fracciones
22
3
15
4
6
9
12
2
5
Fracciones
23
Fracciones en su mínima expresión
6
de pulgada. El depen8
3
diente le dió una bolsita de tornillos que tenía una etiqueta que decía : ¿Le dieron a
4
Juan los tornillos que necesitaba?
Solución:
Para saber si los tornillos fueron los solicitados, escribimos
Juan fue a la tlapalería y pidió una docena de tornillos de
6
2
=
8
2
2
=
2
= 1
=
de donde
3
4
3
4
3
4
3
;
4
3
6
=
8
4
y los tornillos eran los correctos.
Cuando ya no podemos simpli…car más, decimos que la fracción está en su mínima expresión.
Ejemplos
25
a su mínima expresión.
30
Solución:
1. Reduce
Como
25
5
=
30
5
5
=
5
= 1
=
entonces
La mínima expresión de
5
;
6
25
5
= :
30
6
25
5
es :
30
6
5
6
5
6
5
6
Fracciones
24
21
a su mínima expresión.
77
Solución:
2. Reduce
Como
21
7 3
=
77
7 11
7
3
=
7 11
3
= 1
11
3
=
;
11
entonces
21
3
= :
77
11
La mínima expresión de
21
3
es :
77
11
35
a su mínima expresión.
42
Solución:
3. Reduce
Como
35
5 7
=
42
6 7
5 7
=
6 7
5
=
1
6
5
=
;
6
entonces
35
5
= :
42
6
La mínima expresión de
35
5
es :
42
6
42
a su mínima expresión.
18
Solución:
4. Reduce
Fracciones
25
Como
42
2 21
=
18
2 9
2 21
=
2
9
21
= 1
9
21
;
=
9
entonces
21
42
= :
18
9
Pero:
21
3
=
9
3
3
=
3
7
3
7
3
7
3
= 1
7
;
3
=
es decir:
7
21
= :
9
3
Así, la mínima expresión de
42
7
es :
18
3
126
a su mínima expresión.
56
Solución:
5. Reduce
Como
126
2
=
56
7
2
=
2
= 1
=
entonces
La mínima expresión de
7
2
7
7
1
9
;
4
126
9
= :
56
4
126
9
es :
56
4
9
4
9
4
9
4
Fracciones
26
Ejercicios
Los músculos de la cara son 18.
1. De ellos hay 2 alrededor de los párpados, ¿qué fracción de los músculos están alrededor de
los párpados? Escribe la fracción en su mínima expresión.
2. De ellos 4 están en la nariz, ¿qué fracción de los músculos están alrededor de la nariz? Escribe
la fracción en su mínima expresión.
3. El resto se localizan alrededor de la boca y los labios, ¿qué fracción de los músculos están
alrededor de la boca y los labios? Escribe la fracción en su mínima expresión.
Comparación de fracciones con distinto denominador
Coloca la banda de medios y debajo de ella la de tercios, como indica la …gura
1 1
¿Qué fracción es más grande o ?
2 3
Solución:
Un medio es mayor que un tercio.
1
1
> :
2
3
Ejemplos
1. Usa las bandas de tercios y de cuartos para responder a la siguiente pregunta, ¿qué fracción
1 1
es más chica o ?
3 4
Solución:
Colocamos las bandas
Fracciones
27
Un cuarto es menor que un tercio.
1
1
< :
4
3
2. ¿Qué fracción es más grande
5 3
o ?
9 4
Solución:
Tres cuartos es mayor que cinco novenos, es decir,
3
5
> :
4
9
3. Usa las bandas de quintos y sextos. ¿Qué fracción es más grande
Solución:
1 1
o ?
5 6
1
1
> :
5
6
Un quinto es mayor que un sexto.
4. ¿Qué fracción es más chica
2
3
o ?
5 12
Solución:
5. Compara las fracciones
2
3
< :
12
5
6
9
y .
7 10
Solución:
Para comparar las fracciones, calculamos los productos cruzados:
6
7
9
10
El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda
6
10 = 60
Fracciones
28
El denominador de la primera por el numerador de la segunda
7
9 = 63:
Los números obtenidos son
60
63
y como
60 < 63;
entonces
6. Compara las fracciones
9
6
< :
7
10
7 12
y :
6 11
Solución:
Para comparar las fracciones, calculamos los productos cruzados:
7
6
12
11
El numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda
7
11 = 77
El denominador de la primera por el numerador de la segunda
6
12 = 72:
Los números obtenidos son
77
72
y como
77 > 72;
entonces
7
12
> :
6
11
Números mixtos
En la …gura hay 3 estrellas. Cada una está divida en 5 partes iguales.
Fracciones
29
13
partes coloreadas.
5
3
Hay 2 estrellas completas coloreadas. En la tercera estrella hay partes coloreadas. Esto lo
5
escribimos como
2 35
El número total de partes coloreadas es 13; es decir, hay
a esta expresión la llamamos número mixto y se lee dos enteros tres quintos.
Entonces
13
2 35 = :
5
Un número mixto está formado por un número entero y una fracción en la que el numerador
es menor que el denominador:
Ejemplos
Escribe el número mixto y la fracción que corresponde a cada …gura.
1.
Solución:
Vemos 2 …guras, cada una está divida en 8 partes iguales. El número total de partes colore15
adas es 15; es decir, hay
partes coloreadas.
8
7
partes coloreadas. Esto lo
Hay 1 …gura completa coloreada. En la primera …gura hay
8
escribimos como
1 78 :
Por tanto,
15
= 1 78 ;
8
es decir quince octavos es igual a un entero siete octavos.
Fracciones
30
2.
Solución:
Vemos 7 …guras, cada una está divida en 4 partes iguales. El número total de partes colore27
partes coloreadas.
adas es 27; es decir, hay
4
3
Hay 6 …guras completas coloreadas. En la quinta …gura hay partes coloreadas. Esto lo
4
escribimos como
6 34 :
Por tanto,
27
= 6 34 ;
4
es decir, veintisiete cuartos es igual a seis enteros tres cuartos.
3.
Solución:
Vemos 5 …guras, cada una está divida en 2 partes iguales. El número total de partes colore9
adas es 9; es decir, hay partes coloreadas.
2
1
Hay 4 …guras completas coloreadas. En la tercera …gura hay partes coloreadas. Esto lo
2
escribimos como
4 12 :
Por tanto,
9
= 4 12 ;
2
es decir, nueve medios es igual a cuatro enteros un medio.
Fracciones
Actividad. Memoria triple de números mixtos
31
Fracciones
32
1
5
8
6
1
2
1
6
12
3
1
2
3
1
4
4
2
9
3
1
5
2
1
4
2
2
6
2
2
3
5
1
3
2
3
8
Fracciones
33
13
8
13
4
14
6
13
2
38
9
12
3
18
12
16
5
16
3
7
2
9
4
19
8
Fracciones
34
Fracciones impropias
Un elefante africano tiene un periodo de gestación de 22 meses. Escribe una fracción que
represente en años el periodo de gestación.
Solución:
Puesto que cada año tiene 12 meses entonces el periodo de gestación del elefante es:
22
12
años. Simpli…cando tenemos:
22
2 11
=
12
2 6
11
= 1
6
11
=
:
6
11
El periodo de gestación del elefante es
años.
6
Observamos que en esta fracción el numerador es mayor que el denominador.
A las fracciones en las que el numerador es mayor que el denominador, las llamamos fracciones
impropias.
Ejemplos
Decir si las siguientes fracciones son impropias o no.
1.
12
:
7
Solución:
El numerador 12 es mayor que el denominador 7; la fracción es impropia.
2.
5
:
23
Solución:
5 < 23;
la fracción no es impropia.
Observa que las fracciones impropias siempre son mayores que 1.
Las fracciones que no son impropias las llamamos propias.
De fracción impropia a número mixto
La hiena rayada, que habita principalmente en África, tiene un periodo de gestación de 84 días.
Considerando meses de 30 días, ¿cuál es la fracción que expresa en meses el periodo de gestación?
¿Cuál es el número mixto que representa a dicha fracción?
Solución:
Fracciones
35
La fracción que representa el periodo de gestación de la hiena es
84
:
30
Simpli…camos la fracción
84
2 3 14
=
30
2 3 5
14
=
:
5
Efectuando la división tenemos
2
5) 14
4
Entonces el resultado de la división es 2 y el residuo es 4; por lo que escribimos
2 54 :
Así, la fracción impropia que expresa en meses el periodo de gestación de la hiena es
14
5
que escrito como número mixto es
2 45 :
Por tanto,
14
= 2 45 ;
5
es decir, catorce quintos es igual a dos enteros cuatro quintos.
Ejemplos
Escribe cada fracción impropia como número mixto.
1.
23
:
8
Solución:
Efectuando la división tenemos
2
8) 23
7
Entonces el resultado de la división es 2 y el residuo es 7; por lo que escribimos
2 78 :
Por tanto,
23
= 2 78 :
8
Fracciones
36
2.
59
:
7
Solución:
Efectuando la división tenemos
8
7) 59
3
Entonces el resultado de la división es 8 y el residuo es 3; por lo que escribimos
8 37 :
Por tanto,
59
= 8 73 :
7
Fracciones y decimales
Pinto, el perro de Cristóbal mide siete décimos de metro. Podemos expresar esta cantidad
como una fracción o como un número decimal.
7
= 0;7
10
siete décimos.
Cuando se divide la unidad en 10 partes iguales, cada una se llama décimo.
El hocico de Pinto mide 12 centésimos de metro.
Cuando se divide la unidad en 100 partes iguales, cada una se llama un centésimo.
12
= 0;12
100
doce centésimos.
unidades décimos centésimos
0
1
2
Para separar las unidades de los décimos se emplea el punto decimal.
Ejemplos
1. El colmillo de Pinto mide 15 milésimos de metro.
15
= 0;015
1000
quince milésimos.
unidades décimos centésimos milésimos
0
0
1
5
Fracciones
37
2. La pata de Pinto mide 3 décimos de metro.
3
= 0;3.
10
unidades décimos centésimos milésimos
0
3
0
0
0;3 = 0;30 = 0;300
3 décimos = 30 centésimos = 300 milésimos
30
300
3
=
=
10
100
1000
Actividad
Bicicletas, estrellas y algo más
Considera el siguiente tablero y contesta las preguntas expresando tu respuesta como fracción
y decimal.
Fracciones
38
¿Cuántas ‡ores hay?
¿Cuántas bicicletas hay?
¿Cuántas cafeteras hay?
¿Cuántas estrellas hay?
¿Cuántos dinosaurios hay?
¿Cuántas …guras son de color rojo?
Fracciones
39
¿Cuántas …guras son de color azul?
¿Cuántas …guras son de color amarillo?
¿Cuántas …guras son de color verde?
¿Cuántas …guras son de color rosa?
Suma y resta de fracciones con el mismo denominador
En una terminal de autobuses, cada cuarto de hora sale un autobús. Un autobús salió a las
7:15. ¿cuántos autobuses salieron después de él hasta las 11:30?
Solución:
Pensamos en estos tiempos en cuartos de hora:
7 horas tienen 7 4 = 28 cuartos de hora.
7 : 15 es
28 + 1
29
28 1
+ =
=
4
4
4
4
cuartos de hora.
11 horas tienen 11 4 = 44 cuartos de hora.
11 : 30 es
44 + 2
46
44 2
+ =
=
4
4
4
4
cuartos de hora.
Restando estas cantidades encontramos cuántos cuartos de hora han pasado entre las 7 : 15 y
las 11 : 30:
46 29
17
46 29
=
= :
4
4
4
4
Como han pasado 17 cuartos de hora, entonces han salido 17 autobuses de la terminal.
Apoyo didáctico: Es conveniente marcar en la recta numérica, divisiones cada 14 de la unidad
y continuar después del 1:
7
7:15
28 29 30
4 4 4
8
9
10
11
31 32 33 34 35 36 37 39 40 41 42 43 44 45 46 47
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Ejemplos
15 3
+ :
9
9
Solución:
11:30
1. Calcula
15 3
15 + 3
18
+ =
=
= 2:
9
9
9
9
Fracciones
40
10
7
Solución:
2. Calcula
4
:
7
10
7
4
10 4
6
=
= :
7
7
7
3. Encuentra la distancia entre los puntos
3 9
y .
4 4
Solución:
0
0
4
1
1
4
2
4
3
4
4
4
2
5
4
6
4
7
4
8
4
9
4
10
4
Para encontrar la distancia entre ellos, restamos el menor del mayor.
9
4
3
9 3
6
3
=
= = :
4
4
4
2
3 9
6 3
y es o .
4 4
4 2
3 9
1
Observa que entre y hay 6 segmentos de de longitud.
4 4
4
La distancia entre
Escribiendo números mixtos como fracciones
Escribir 3 25 como una fracción.
Solución:
Representamos 3 25 como:
Observamos que hay 17 partes coloreadas. Puesto que cada estrella está dividida en cinco partes
17
17
iguales, en total hay
partes coloreadas, es decir, 3 25 = :
5
5
Aritméticamente, escribimos 3 52 como
3 25 = 3 +
y ahora efectuamos la suma
2
5
Fracciones
41
3+
15 2
2
=
+
5
5
5
15 + 2
=
5
17
:
=
5
Así
3 25 =
17
:
5
Otra manera es:
Multiplicamos el número entero 3 por el denominador de la fracción 5
3
5 = 15;
al resultado le sumamos el numerador de la fracción, es decir, 2
15 + 2 = 17
y escribimos la fracción
17
:
5
Por tanto,
3 25 =
17
:
5
Ejemplos
1. Escribir 4 13 como fracción.
Solución:
Multiplicamos el número entero 4 por el denominador de la fracción 3
4
3 = 12;
al resultado le sumamos el numerador de la fracción, es decir, 1
12 + 1 = 13
y escribimos la fracción
13
:
3
Por tanto,
4 13 =
13
:
3
Fracciones
42
2. Escribir 6 87 como fracción.
Solución:
Multiplicamos el número entero 6 por el denominador de la fracción 8
6
8 = 48;
al resultado le sumamos el numerador de la fracción, es decir, 7
48 + 7 = 55
y escribimos la fracción
55
:
8
Por tanto,
6 78 =
55
:
8
3. Escribir 15 17
como fracción.
21
Solución:
21) + 17
21
315 + 17
=
21
332
=
:
21
15 17
=
21
(15
Por tanto,
=
15 17
21
332
:
21
Actividad El elevador
Cuando quieres subir o bajar sin tener que escalar, usas el elevador que lo inventé en el siglo
XVI. ¿Sabes quién soy?
Para saber de quien se trata, traza una línea recta uniendo cada fracción con el número mixto
o entero que es igual a ella. Cada línea pasa por una letra, escribe la letra sobre la rayita que
aparece junto al número.
Fracciones
43
4
3
5
2
9
3
13
5
11
4
20
6
40
5
52
7
75
9
23
4
5
1
82
10
50
8
24
6
93
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
L
R
E
O
.2
.8
.2
.9
.5
.1
.5
.7
.3
.3
.6
.2
.8
.8
.4
1
2
3
5
3
10
D
1
3
O
D
I
N
N
V
C
I
3
4
3
7
2
6
o
3 13
2
8
o
6 41
3
9
o
8 13
2
10
o
8 15
3
4
Comparación de números mixtos
1
El leopardo asiático tiene un periodo de gestación de 3 16 meses y el del lobo es de 2 10
meses.
¿Cúal de los dos tiene el menor periodo de gestación?
Solución:
1
Para contestar la pregunta debemos comparar 3 16 con 2 10
:
Fracciones
44
Comparamos la parte entera de los números mixtos,
3>2
entonces
1
:
3 16 > 2 10
El periodo de gestación del lobo es menor que el del leopardo.
Ejemplos
1. Compara 5 14 con
3
:
4
Solución:
Como
3
< 1:
4
y
1 < 5 14 ;
entonces
3
< 5 14 :
4
2. Compara 6 54 con 7 52 :
Solución:
En este caso basta con comparar la parte entera de los números mixtos, así
7 > 6;
entonces
7 25 > 6 45 :
3. Compara 8 47 con 8 75 :
Solución:
Al comparar la parte entera de los números mixtos, observamos que son iguales, entonces
comparamos las partes fraccionarias. Como ambas fracciones tienen el mismo denominador,
basta comparar los numeradores
4 < 5;
entonces
8 47 < 8 57
4. Compara 9 65 con 9 72 :
Solución:
Como 9 56 y 9 27 , tienen la parte entera igual entonces comparamos las partes fraccionarias
5
6
y
2
:
7
Fracciones
45
de donde
35
12:
así
35 > 12:
Por tanto,
9 65 > 9 27 :
5. Compara 3 14 con
9
:
2
Solución:
9
Como es una fracción impropia, entonces la escribimos como número mixto
2
9
= 4 12
2
y ahora comparamos 3 14 con 4 12 :Como
3<4
entonces
3 14 < 4 12 :
Es decir
9
3 14 < :
2
Ejercicios
Compara:
1. 7 23 con 5 13 :
9
2. 9 58 con 12 13
:
3. 2 53 con 2 34 :
4. 4 79 con
5.
15
:
4
35
con 5 32 :
6
Fracciones
46
Problemas
1. El periodo de gestación de un zorrillo es
22
meses y el del topo es de 1 25 meses. ¿Cúal de los
15
dos tiene el mayor periodo de gestación?
2. El perezoso tiene un periodo de gestación de 7 65 meses y el del reno es de 220 días. Considerando meses de 30 días, ¿cúal de los dos tiene el menor periodo de gestación?
3. Usain Bolt, atleta jamaiquino corrió el 16 de agosto de 2009, 100 metros planos en 9 29
50
segundo, mientras que Francis Obikwelu, nacido en Portugal, alcanzó el 22 de agosto de
86
2004 la marca de 9 100
segundo. ¿Cuál de los dos atletas tiene la mejor marca?
1
metros rompiendo así el record de
4. La atleta cubana Silvia Acosta, alcanzó una altura de 2 25
salto de altura que había en ese momento. La búlgara Stefka Kostadinova hizo algo similar
9
acanzando una altura de 2 100
: Una de ellas tiene el record mundial actual, ¿cuál es?
1
5. En los autobuses los niños pagan boleto. La señora López se subió con 3 niños; el matri2
monio Gutiérrez se subió con un niño. ¿Cuál de las dos familias pagó más por los boletos?
Suma y resta de números mixtos
Alicia necesita 2 43 metros de tela para hacer un mantel y 1 14 para las servilletas. ¿Cuántos
metros de tela necesita en total?
Solución:
Primero escribimos los números mixtos como fracciones
(2 4) + 3
2 34 =
4
8+3
=
4
11
=
4
y
4) + 1
4
4+1
=
4
5
=
:
4
1 14 =
Ahora sumamos
(1
11 5
+
4
4
11 5
11 + 5
+
=
4
4
4
16
=
4
= 4:
Fracciones
47
Así, Alicia necesita 4 metros de tela.
Ejemplos
1. Calcular 8 25 + 3 45 :
Solución:
Primero escribimos los números mixtos como fracciones
5) + 2
5
40 + 2
=
5
42
=
5
8 25 =
(8
y
5) + 4
5
15 + 4
=
5
19
=
:
5
3 54 =
(3
Ahora efectuamos la suma
42 19
+
5
5
42 + 19
=
5
61
=
5
= 12 15 :
8 52 + 3 45 =
Así,
8 25 + 3 45 = 12 15 :
2. Calcular 5 37
2 76 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones
7) + 3
7
35 + 3
=
7
38
=
7
5 37 =
(5
Fracciones
48
y
7) + 6
7
14 + 6
=
7
20
=
:
7
2 76 =
(2
Ahora efectuamos la resta
5 73
2 67 =
=
38
7
38
20
7
20
7
18
=
7
= 2 47 :
Así
5 37
3. Calcular 3 38
2 67 = 2 47 :
5
:
8
Solución:
Escribimos el número mixto como fracción
8) + 3
8
24 + 3
=
8
27
=
:
8
3 38 =
(3
Efectuamos la resta
3 83
27
5
=
8
8
27
=
8
22
=
8
= 2 68
= 2 34 :
Así
3 38
5
= 2 34 :
8
5
8
5
Fracciones
49
Multiplicación de fracciones
1
Encuentra la mitad de :
3
Tomamos una hoja tamaño carta y hacemos una tira de 4 cm.
Colocamos la banda de tercios sobre una de las tiras y con un lápiz dibujamos las dos divisiones.
Con ayuda de una regla trazamos las líneas que dividan a la tira en tres partes iguales.
Doblamos la tira de manera que uno de los tercios quede dividido en dos partes iguales.
Coloreamos una de las mitades que obtuvimos.
Ahora colocamos la banda de sextos
1
1
y observamos que es la mitad de :
6
3
Escribimos
1
2
1
1
= ;
3
6
observa que
1
2
1
1
=
3
2
1
1
= :
3
6
Fracciones
50
Cuando queremos multiplicar dos fracciones, obtenemos una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
Ejemplos
1 1
:
3 4
Hacemos una banda de cuartos.
1. Encuentra
Nos …jamos en
1
y lo dividimos en tres partes iguales.
4
Coloreamos una de las tres partes.
Ahora colocamos la banda de doceavos
Fracciones
51
y observamos que
1
1
es la tercera parte de :
12
4
Escribimos
1
3
1
1
= ;
4
12
observa que
1
3
2. Encuentra
1
3
1
1
=
4
3
1
1
= :
4
12
2
:
3
Solución:
Hacemos una banda de tercios.
Consideramos
2
de ella y los dividimos en tres partes iguales.
3
Coloreamos una de las tres partes:
Comparamos con nuestras bandas de colores y observamos que la de novenos es la que
coincide con la parte coloreada.
Fracciones
52
y observamos que
2
2
es la tercera parte de :
9
3
Escribimos
1
3
2
2
= ;
3
9
observa que
1
3
2
1
=
3
3
2
2
= :
3
9
5
2
3. Del total de piezas dentales en un adulto, son molares o premolares. de dicha cantidad
8
5
son premolares. ¿Qué fracción del total de piezas dentales son premolares?
Solución:
Calculamos
2
5
de ; es decir
5
8
2
5
5
2
=
8
5
2
=
5
5
5
=
5
2
2
2
= 1
1
=
Por tanto,
5
8
4
1
4
1
4
1
:
4
1
del total de piezas dentales son premolares.
4
4. Un adulto tiene 32 piezas dentales. ¿Cuántos premolares tiene?
Solución:
Del ejemplo anterior sabemos que
1
del total de piezas dentales son premolares, entonces
4
Fracciones
53
debemos calcular la cuarta parte de 32, es decir,
1
1 32
32 =
4
4
1
1 32
=
4 1
32
=
4
= 8:
Un adulto tiene 8 premolares.
Otra manera de hacer la multiplicación
En un huerto las tres quintas partes están sembradas con manzanos y perales. De esa parte la
mitad está sembrada con perales. ¿Qué fracción del huerto está sembrada con perales?
Solución:
3
1
Si consideramos partes del huerto y después tomamos de lo que obtuvimos, tenemos
5
2
1
3
3
del huerto. La parte rayada corresponde a de las
5
2
5
3
partes. La porción del huerto iluminada y rayada es ; es decir
10
3 1
3
= :
5 2
10
1
3
Si ahora consideramos del huerto y después tomamos de lo que obtuvimos, tenemos:
2
5
La parte iluminada de azul representa
Fracciones
54
En ambos casos coincide la región iluminada y rayada.
3
1 3
Observamos que
es el área de un rectángulo cuyos lados miden y :
10
2 5
1
2
3
5
Ejemplos
5
2
1. Del total de piezas dentales en un adulto, son molares o premolares. de dicha cantidad
8
5
son premolares. ¿Qué fracción del total de piezas dentales son premolares?
Solución:
Calculamos
2
5
de ; es decir
5
8
2
5
5
2
=
8
5
2
=
5
5
5
=
5
2
2
2
= 1
1
=
Por tanto,
5
8
4
1
4
1
4
1
:
4
1
del total de piezas dentales son premolares.
4
2. Un adulto tiene 32 piezas dentales. ¿Cuántos premolares tiene?
Solución:
Del ejemplo anterior sabemos que
1
del total de piezas dentales son premolares, entonces
4
Fracciones
55
debemos calcular la cuarta parte de 32, es decir,
1 32
1
32 =
4
4
1
1 32
=
4 1
32
=
4
= 8:
Un adulto tiene 8 premolares.
Actividad Aviones
Multiplica los números cuyos aviones apuntan al mismo cuadrado vacío y escribe la fracción
simpli…cada en dicho cuadro.
1
3
6
5
3
4
2
3
Fracciones
56
Actividad Mosaico
Número de jugadores de 2 a 4.
Materiales
4 lápices de distintos colores.
24 tarjetas de dos colores (12 de cada color)
Instrucciones
Cada jugador cuenta con un lápiz.
Coloca las tarjetas bocabajo en dos montones separadas por colores.
El primer jugador saca dos tarjetas una de cada color, efectúa la multiplicación de los
números que aparecen en ellas y simpli…ca el resultado. Si efectúa mal la multiplicación pasa
el turno al siguiente jugador.
Si el producto está en el tablero, colorea el triángulo que lo contiene, si no está pasa el turno
al siguiente jugador.
Se separan las tarjetas usadas.
El siguiente jugador repite el proceso y así hasta que se terminan las tarjetas. En ese momento
se revuelven las tarjetas separadas por color y el juego continúa hasta que están coloreados
todos los triángulos.
Gana el que haya coloreado más triángulos.
Fracciones
57
1
5
2
3
3
35
3
7
9
25
5
49
16
45
10
63
5
9
15
32
2
1
42
15
56
7
27
16
1
7
2
8
2
12
27
5
1
12
3
12
2
15
15
8
5
21
3
4
1
16
1
27
1
5
1
6
9
4
15
7
32
9
10
Fracciones
58
Números mixtos
La Mona Lisa, obra maestra de Leonardo da Vinci, genio italiano del Renacimiento, es una
3
7
decímetros de largo y 5 10
decímetros de ancho.
pintura al óleo en forma rectángular que mide 7 10
¿Cuál es el área del cuadro?
Solución:
Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos el largo por el ancho.
Así, el área del cuadro es
3
7
5 10
:
7 10
Escribimos los números mixtos como fracciones
(7 10) + 7
7
7 10
=
10
70 + 7
=
10
77
=
10
y
10) + 3
10
50 + 3
=
10
53
:
=
10
3
5 10
=
(5
Multiplicamos las fracciones
7
7 10
77 53
10 10
77 53
=
10 10
4081
=
100
81
= 40 100
:
3
5 10
=
81
el cuadro tiene un área de 40 100
decímetros cuadrados.
Para multiplicar números mixtos, escribimos ambos números como fracciones y multiplicamos.
Ejemplos
1. Calcular 3 95
12 41 :
Solución:
Escribimos los números como fracciones
9) + 5
9
27 + 5
=
9
32
=
9
3 59 =
(3
Fracciones
59
y
4) + 1
4
48 + 1
=
4
49
:
=
4
12 41 =
(12
Multiplicamos las fracciones:
3 95
12 41 =
=
=
=
=
32 49
9
4
32 49
9 4
1568
36
392
9
43 59 :
Así
3 95
2. Calcular 5 74
12 14 = 43 59 :
9
6 10
:
Solución:
Escribimos los números como fracciones
7) + 4
7
35 + 4
=
7
39
=
7
5 47 =
(5
y
10) + 9
10
60 + 9
=
10
69
=
:
10
9
6 10
=
(6
Fracciones
60
Multiplicamos las fracciones:
39 69
7
10
39 69
=
7 10
2691
=
70
= 38 31
:
70
5 47
9
6 10
=
Así,
5 47
9
6 10
= 38 31
:
70
Denominador común
1 3
Expresar y como fracciones que tengan el mismo denominador.
2 4
Colocamos las bandas de medios y cuartos
y observamos que
1
2
=
2
4
2 3
entonces las fracciones se escriben como y ; y su denominador común es 4:
4 4
Ejemplos
1. Expresar
2 5
y con denominador común.
3 6
Solución:
Colocamos las bandas de tercios y sextos
Fracciones
61
y observamos que
entonces las
2. Expresar
1
;
2
2
4
=
3
6
4 5
fracciones se escriben como y ; y su denominador común a 6:
6 6
3 5
y con denominador común.
4 8
Solución:
Colocamos las bandas de medios, cuartos y octavos.
Observamos que
y
1
4
=
2
8
3
6
=
4
8
4 6 5
entonces las fracciones se escriben como ; y ; y su denominador común es 8:
8 8 8
1 1
3. Expresar y con denominador común.
5 2
Solución:
Colocamos las bandas de quintos, décimos y medios
Fracciones
62
vemos que
1
2
=
5
10
y
5
1
=
2
10
5
2
y ; y su denominador común es 10:
entonces las fracciones se escriben como
10 10
Observamos que
1
1 2
2
=
=
5
5 2
10
y
1
1 5
5
=
= :
2
2 5
10
4. Expresar
5 4
y con denominador común.
3 9
Solución:
Consideramos el denominador más grande, en este caso 9:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 3:
Como
1
Sí es múltiplo de 3
9=9
ya que
3
3 = 9:
Entonces 9 es un denominador común.
5
cuyo denominador sea 9: Para lo cual
3
5
multiplicamos el numerador y el denominador de por 3:
3
Debemos encontrar una fracción equivalente a
5
5
=
3
3
Las fracciones se escriben como
5. Expresar
3
15
= :
3
9
15 4
y ; y su denominador común es 9:
9
9
2 8
y con denominador común.
7 3
Solución:
Consideramos el denominador más grande, en este caso 7:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 3:
Como
1
2
3
7=7
7 = 14
7 = 21
No es múltiplo de 3
No es múltiplo de 3
Sí es múltiplo de 3
Fracciones
63
Entonces 21 es un denominador común.
2 8
y cuyo denominador sea 21:
7 3
2
Para lo cual multiplicamos el numerador y el denominador de por 3:
7
Debemos encontrar fracciones equivalentes a
2
2
=
7
7
y el numerador y el denominador de
8
por 7:
3
8
8
=
3
3
Las fracciones se escriben como
6. Expresar
3
6
= :
3
21
7
56
= :
7
21
6
56
y ; y su denominador común es 21:
21 21
4 5
y con denominador común.
9 6
Solución:
Consideramos el denominador más grande, en este caso 9:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 6:
Como
1
2
No es múltiplo de 6
Sí es múltiplo de 6
9=9
9 = 18
Entonces 18 es un denominador común.
4 5
Entonces escribimos y ambas con denominador 18:
9 6
4
4
=
9
9
2
8
=
2
18
y
5
5 3
15
=
= :
6
6 3
18
8
15
Las fracciones se escriben como
y ; y su denominador común es 18:
18 18
Suma y resta con distinto denominador
Con las bandas
1 1
Efectúa la operación + :
2 3
Solución:
Colocamos las bandas de medios y de tercios de la siguiente manera:
Fracciones
64
Ahora colocamos la banda de los sextos
entonces
1
Efectúa la operación
3
Solución:
Colocamos las bandas de
5
1 1
+ = :
2 3
6
1
:
4
tercios y de cuartos de la siguiente manera:
Ahora colocamos la banda de los doceavos
entonces
Ejemplos
1
3
1
1
= :
4
12
Fracciones
1. Usando las bandas, calcula
65
3
2
+ :
10 5
Solución:
Colocamos las bandas
Observamos que
3
8
2
+
=
10 5
10
4
=
:
5
2. Usando las bandas, calcula
5
8
1
:
4
Solución:
Colocamos las bandas
Observamos que
5
8
3. Usando las bandas, calcula
1
2
1
3
= :
4
8
1
:
5
Solución:
Colocamos las bandas de la siguiente manera
Ahora colocamos la banda de los décimos
Fracciones
66
de donde
1
2
1
3
= :
5
10
Otra manera de sumar y restar fracciones con distinto denominador
3
2
Para hacer una falda se necesitan de metro de tela y para la blusa se necesitan de metro.
4
3
¿Cuánta tela se necesita para hacer la falda y la blusa?
Solución:
Observamos que las fracciones no tienen el mismo denominador. Entonces buscamos dos frac3 2
ciones equivalentes a y que tengan el mismo denominador.
4 3
Consideramos el denominador más grande, en este caso 4:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 3:
Como
1 4=4
No es múltiplo de 3
2 4=8
No es múltiplo de 3
3 4 = 12
Sí es múltiplo de 3
Entonces 12 es un denominador común.
3 2
Debemos encontrar fracciones equivalentes a y cuyo denominador sea 12:
4 3
3
Para lo cual multiplicamos el numerador y el denominador de por 3:
4
3
3 3
9
=
= :
4
4 3
12
2
y el numerador y el denominador de por 4:
3
2
2 4
8
=
= :
3
3 4
12
9
8
Las fracciones se escriben como
y ; y su denominador común es 12:
12 12
Ahora sumamos las fracciones obtenidas:
9
8
9+8
17
+
=
= :
12 12
12
12
17
Se necesitan
de metro para confeccionar las dos prendas.
12
Ejemplos
Fracciones
67
7 11
+ :
5 10
Solución:
1. Calcula
Consideramos el denominador más grande, en este caso 10:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 5:
Como
1
Sí es múltiplo de 5
10 = 10
ya que
5
2 = 10:
Entonces 10 es un denominador común.
Multiplicamos el numerador y el denominador de
7
7
=
5
5
7
por 2:
5
2
14
=
2
10
Así
14 11
7 11
+
=
+
5 10
10 10
14 + 11
=
10
25
=
10
5
=
:
2
Por tanto,
8
12
Solución:
2. Calcula
7 11
5
+
= :
5 10
2
1
:
4
Consideramos el denominador más grande, en este caso 12:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 4:
Como
1
Sí es múltiplo de 4
12 = 12
ya que
4
3 = 12;
entonces 12 es un denominador común.
Multiplicamos el numerador y el denominador de
1
1
=
4
4
1
por 3:
4
3
3
= :
3
12
Fracciones
68
Así
8
12
Por tanto,
8
12
1
8
3
=
4
12 12
8 3
=
12
5
:
=
12
1
5
= :
4
12
7
4
+ :
10 6
Solución:
3. Calcula
Consideramos el denominador más grande, en este caso 10:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 6:
Como
1
2
3
No es múltiplo de 6
No es múltiplo de 6
Sí es múltiplo de 6
10 = 10
10 = 20
10 = 30
ya que
6
5 = 30:
Entonces 30 es un denominador común.
4
7
Escribimos fracciones equivalentes a
y con denominador 30:
10 6
4
4 3
12
=
=
10
10 3
30
y
7
7 5
35
=
=
6
6 5
30
entonces
7
12 35
4
+
=
+
10 6
30 30
12 + 35
=
30
47
=
:
30
4
7
47
Así
+ = :
10 6
30
Otra manera de hacer la suma. Una vez que hemos encontrado el denominador común, 30;
4
calculamos 30 entre el denominador de :
10
30
=3
10
Fracciones
69
y multiplicamos el número obtenido, 3 por el numerador de la fracción
3
4
; es decir
10
4 = 12:
Después calculamos
30
=5
6
y multiplicamos el número obtenido, 5 por el numerador de la fracción
5
7
; es decir
6
7 = 35
Por último sumamos
12 + 35 = 47
y colocamos lo obtenido como numerador del resultado.
47
:
30
En resumen
4
7
(3 4) + (5
+
=
10 6
30
12 + 35
=
30
47
=
:
30
20
24
Solución:
4. Calcula
7)
8
:
15
Consideramos el denominador más grande, en este caso 24:
Calculamos sus múltiplos hasta encontrar el primero que sea múltiplo de 15:
Como
1
2
3
4
5
No es múltiplo de 15
No es múltiplo de 15
No es múltiplo de 15
No es múltiplo de 15
Sí es múltiplo de 15
24 = 24
24 = 48
24 = 72
24 = 96
24 = 120
ya que
8
Entonces 120 es un denominador común.
15 = 120:
Fracciones
70
Escribimos fracciones equivalentes a
20
24
Otra manera de calcular
20
24
8
20
y
con denominador 120:
24 15
8
(5 20) (8
=
15
120
100 64
=
120
36
=
120
3
:
=
10
8)
8
:
15
20
24
8
20
8
=
15
8 3 3 5
(20 5) (8 8)
=
8 3 5
100 64
=
120
36
=
120
3
:
=
10
Actividad Suma o resta
Materiales:
48 tarjetas.
4 tarjetas, 2 con signo (+) y 2 con signo ( ).
Una hoja y un lápiz para cada jugador.
Instrucciones:
En este juego pueden participar de 2 a 4 jugadores.
Se revuelven las tarjetas de los números y se colocan boca abajo.
Se hace lo mismo con las tarjetas de los signos, pero se colocan separadas de las otras.
El jugador en turno toma dos tarjetas de números y una tarjeta de signo.
Si obtiene la tarjeta con signo (+), suma las fracciones. En caso de obtener la tarjeta con
signo ( ), efectúa la resta del mayor menos el menor. Si es necesario, puede hacer uso de la
hoja y el lápiz.
Fracciones
71
Si efectúa la operación correctamente, se queda con las tarjetas de los números y regresa la
del signo, en caso contrario devuelve todas y pasa el turno.
Gana el jugador que al terminarse las tarjetas de los números, tenga el mayor número de
ellas.
1
2
1
3
2
3
1
4
3
4
1
5
2
5
3
5
4
5
1
6
5
6
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
6
7
1
8
3
8
5
8
1
9
2
9
4
9
5
9
7
9
8
9
1
10
3
10
5
10
7
10
9
10
1
11
Fracciones
72
2
11
3
11
4
11
5
11
6
11
7
11
8
11
9
11
1
12
5
12
7
12
11
12
1
14
3
14
5
14
9
14
+ + - + + - + + - + + - Actividad Cuadrado mágico
En un cuadrado mágico la suma de los números que se encuentran en cada renglón, columna
o diagonal es la misma.
Completa el siguiente cuadrado mágico.
Fracciones
73
19
12
5
6
13
12
4
3
Suma y resta de números mixtos
Rocío quiere hacer un pastel, pero como tiene muchos invitados quiere aumentar las cantidades.
Si la receta dice 2 14 tazas de harina y quiere agregar 1 21 tazas más, ¿cuál es el total de harina que
usará?
Solución:
Para saber la cantidad de harina que necesita, debe calcular
2 14 + 1 12 :
Escribimos los números mixtos como fracciones
4) + 1
4
8+1
=
4
9
=
4
2 14 =
(2
y
2) + 1
2
2+1
=
2
3
=
:
2
1 12 =
(1
Fracciones
74
Ahora hacemos la suma
2 41 + 1 21 =
=
=
=
=
9 3
+
4 2
9 + (3
4
9+6
4
15
4
3 34
2)
Así, Rocío necesita 3 43 tazas de harina.
Ejemplos
1. Calcular 11 34 + 6 85 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones
(11
4) + 3
4
44 + 3
=
4
47
=
4
11 34 =
y
(6
8) + 5
8
48 + 5
=
8
53
=
:
8
6 85 =
Ahora hacemos la suma
11 43 + 6 58 =
=
=
=
=
47 53
+
4
8
(47 2) + 53
8
94 + 53
8
147
8
18 38 :
Fracciones
2. Calcular 7 35
75
4 97 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones
5) + 3
5
35 + 3
=
5
38
=
5
7 35 =
(7
y
9) + 7
9
36 + 7
=
9
43
=
:
9
4 97 =
(4
Ahora efectuamos la resta
7 53
4 79 =
=
=
38
5
(38
43
9
9)
342
45
215
45
127
=
45
= 2 37
:
45
Así,
7 35
4 79 = 2 37
:
45
(43
5)
Fracciones
76
Actividad Refrán
Para saber lo que dice el refrán, debes seguir el camino de números menores que 7.
Puedes moverte horizontal o verticalmente.
Empieza en la casilla superior izquierda.
2 27 +1 35
7
3 53 +2 10
8 13 - 3
4
4 83 +2 61
Quien
a
tomar
cobija
5 43 +1 53
7 43 -3 12
8 12 + 3
4
3
5 10
-3 5
come
buen
pescado
le
1 52 +5 32
3 34 -1 58
5 57 -2 143
2 21 +3 51
fruto
árbol
buena
sombra
5 65 +3 43
4 72 +2 31
4 65 +1 31
7 13 +3 14
prohibido
se
arrima
desventura
5
División de fracciones
Toma la banda de cuartos y considera
¿Cuánto es la mitad de
3
:
4
3
?
4
Ahora colocamos la banda de octavos debajo de la de cuartos y observamos que la mitad de
3
3
es :
4
8
Fracciones
77
Es decir,
3
4
3
2= :
8
Observamos que
3
4
2 =
3 1
4 2
3 1
=
4 2
3
=
:
8
6
10
3:
Ejemplos
1. Utiliza las bandas para encontrar
Solución:
Elegimos la banda de los décimos.
Dividimos
6
en tres partes iguales.
10
Colocamos la banda de quintos debajo de la de décimos y observamos que la tercera parte
6
1
de
es :
10
5
Fracciones
78
Es decir,
6
10
1
3= :
5
Observamos que
5
3
Solución:
2. Calcula
6
10
3 =
5
3
4 =
6
10
3
=
5
3
=
5
1
:
=
5
1
3
1
3
1
3
5
3
5
=
3
5
=
:
12
1
4
1
4
4:
Escribimos
Observamos que dividir una fracción entre un número entero es igual a multiplicar la fracción
por el recíproco del entero.
En general, dividir una fracción entre otra fracción es igual a multiplicar la primera fracción
por el recíproco de la segunda.
1
3
Solución:
3. Calcula
1
:
2
1
3
1
1 2
=
2
3 1
1 2
=
3 1
2
=
:
3
Fracciones
79
4. Calcula
4
7
2
:
5
Solución:
4
7
2
4
=
5
7
4
=
7
2
=
5
2
5
2
5
7
10
=
:
7
Actividad. Laberinto.
Materiales:
Un tablero.
8 tarjetas.
Una …cha por jugador.
Instrucciones:Se establece el turno.
Se colocan todas las …chas en la casilla de Salida y las tarjetas boca abajo en un montón.
El primer jugador toma una tarjeta y realiza la división del número que aparece en la casilla
donde se encuentra su …cha entre el número que aparece en la tarjeta.
Si el resultado es un número entero, avanza una casilla.
Si es un número menor que 1, permanece en esa casilla.
Si es un número mayor que 1; pero no es un entero avanza dos casillas.
Cada tarjeta usada se coloca hasta abajo en el montón y el jugador pasa el turno.
Fracciones
80
9
2
3
5
4
6
4
9
11
12
7
5
3
4
a
t
e
M
1
4
7
S
a
d
i
l
a
2
6
10
5
8
4
Números mixtos
El colibrí verde puede volar 88 21 kilómetros en una hora. ¿Cuánto puede volar en un minuto?
Solución:
Puesto que una hora tiene 60 minutos, debemos efectuar la división
88 12
60:
Para ello, escribimos el número mixto como fracción
2) + 1
2
176 + 1
=
2
177
=
:
2
88 21 =
(88
Fracciones
81
Ahora escribimos 60 como fracción
60 =
60
1
entonces
88 21
60 =
=
=
=
=
=
177 60
2
1
1
177
2
60
177 1
2 60
59
2 20
59
40
19
1 40
:
El colibrí verde puede volar 1 19
kilómetros en un minuto.
40
Ejemplos
1. Calcular 2 41
6 32 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones:
4) + 1
4
8+1
=
4
9
=
4
2 14 =
(2
y
3) + 2
3
18 + 2
=
3
20
=
:
3
6 23 =
(6
Ahora hacemos la división:
2 41
9
4
9
=
4
9
=
4
27
=
:
80
6 32 =
20
3
3
20
3
20
Fracciones
82
Por tanto,
2 41
2. Calcular 12 54
6 32 =
27
:
80
4 32 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones:
5) + 4
5
60 + 4
=
5
64
=
5
12 45 =
(12
y
3) + 2
3
12 + 2
=
3
14
=
:
3
4 32 =
(4
Entonces
12 54
5 32 =
=
=
=
=
64
5
64
5
32
5
96
35
26
2 35
:
14
3
3
14
3
7
Así,
12 45
3. Calcular 18 34
5 23 = 2 26
:
35
3 81 :
Solución:
Escribimos los números mixtos como fracciones
4) + 3
4
72 + 3
=
4
75
=
4
18 34 =
(18
Fracciones
83
y
8) + 1
8
24 + 1
=
8
25
;
=
8
3 81 =
(3
de donde
18 43
75 25
4
8
8
75
=
4
25
= 3 2
= 6:
3 81 =
Por tanto,
18 34
3 18 = 6:
Fracciones de un entero
1
Los seres humanos duermen en promedio cada día. ¿Cuántas horas duermen en promedio
3
cada día?
Solución:
Un día tiene 24 horas.
La tercera parte de 24 es 8.
24
= 8:
3
1
de día = 8 horas.
3
Para obtener la tercera parte, dividimos entre 3.
Ejemplos
5
de 48:
6
Solución:
1
5
Para calcular de 48, calculamos de 48 y después multiplicamos por 5
6
6
1. Calcula
1
48
de 48 =
= 8;
6
6
Fracciones
84
multiplicando el resultado por 5 tenemos
8
5 = 40.
5
de 48 = 40.
6
2. ¿Cuánto es
1
de $1?
4
Solución:
1
25
=
= 0;25
4
100
o bien
0;25
4)1;00
20
0
1
de $1 = $0;25 = 25 centavos.
4
Ejercicios
1. ¿Cuántos cuartos de pera se pueden obtener con 8 peras?
2. ¿Cuánto es
3
de $60?
/
5
3. ¿Cuántos minutos son
3
de hora?
4
4. En cada año hay cuatro estaciones. ¿Cuántos meses dura cada una?
5. ¿Cuánto es
3
1
3
de una docena de huevos? ¿Cuándo es de de una docena de huevos?
4
3
4
6. Un suéter cuesta $350.
/
En el momento de efectuar el pago, el vendedor le informa al cliente
que le va a hacer un descuento. Para ello multiplica el costo del suéter por 40 y divide el
resultado entre 100; para después restar esta cantidad del precio original. ¿Qué descuento
efectuó? ¿Cuánto hay que pagar por el suéter?
3
7. Un chimpancé pasa de su vida en los árboles. Si vive 48 años. ¿Cuántos años de su vida
4
pasa en los árboles?
8. Una marmota en estado de hibernación reduce su número de latidos cardíacos, de aproxi1
madamente 90 por minuto, a de esa cantidad. ¿Qué número de latidos por minuto tiene
6
en estado de hibernación?
Fracciones
85
2
partes del total del peso del cuerpo. Si un niño pesa 30
9. Los músculos constituyen las
5
kilogramos. ¿Cuánto pesan sus músculos?
4
10. Felipe el pastor tiene un rebaño de 27 ovejas. Jorge tiene del número de ovejas de Felipe.
3
¿Cuántas ovejas tiene Jorge?
2
partes. ¿Cuántos metros se han usado?
11. De un carrete de hilo de 200 m, se han usado
5
¿Cuántos metros quedan en el carrete?
12. El intestino delgado está formado por el duodeno, el yeyuno y el íleon. Si el intestino delgado
1
2
de Rubén mide 6 m y se sabe que el duodeno es
del intestino, el yeyuno mide de la
24
5
67
del mismo, ¿cuál es la medida en centímetros de cada
medida del intestino y el íleon
120
uno de ellos?