Funciones de variación acotada Definición (partición de un intervalo). Sean a, b ∈ R, a < b. Una tupla (sucesión finita) τ = (τ0 , . . . , τn ) se llama partición del intervalo [a, b], si a = τ0 < τ1 < . . . < τn = b. El conjunto de todas las particiones de [a, b] denotemos por P[a, b]. Definición (variación de una función). Sea f : [a, b] → R. Para toda partición τ ∈ P[a, b], sea n X Sabs (f, τ ) := |f (τk ) − f (τk−1 )|. k=1 La variación total de f en [a, b] se define mediante la siguiente fórmula: : Varba f := sup Sabs (f, τ ). τ ∈P[a,b] Definición (funciones de variación acotada). Una función f : [a, b] → R es de variación acotada en [a, b], si Varba f < +∞. El conjunto de todas las funciones de variación acotada en [a, b] se denota por BV[a, b]. Notación (parte positiva y negativa de un número real). Para cualquier número v ∈ R, denotemos por v + y v − su parte positiva y parte negativa: ( ( v, v ≥ 0; −v, v ≤ 0; v + := máx(v, 0) = v − := mı́n(v, 0) = 0, v < 0. 0, v > 0. Notemos que v − ≥ 0, i.e. la parte negativa siempre es un número no negativo. 1. Relaciones entre un número real, su valor absoluto, su parte positiva y negativa. v = v+ − v−, |v| = v + + v − . Definición (variación positiva y variación negativa). Sea f : [a, b] → R. Dada una τ = (τ0 , . . . , τn ) ∈ P[a, b], introduzcamos las siguientes notaciones: S+ (f, τ ) := n X + (f (τk ) − f (τk−1 )) , n X S− (f, τ ) := (f (τk ) − f (τk−1 ))− . k=1 k=1 La variación positiva de f en [a, b] se define por: PVarba f := sup S+ (f, τ ). τ ∈P La variación negativa de f en [a, b] se define por: NVarba f := sup S− (f, τ ). τ ∈P página 1 de 4 Variación total como seminorma 2. Demostrar que Varba es una seminorma en BV[a, b], i.e.: Varba (f + g) ≤ Varba (f ) + Varba (g), Varba (αf ) = |α| Varba (f ). 3. Demostrar que kf k := |f (a)| + Varba (f ) es una norma en BV[a, b]. Cálculo de la variación de funciones monótonas a trozos 4. Variación de una función creciente. Sea f : [a, b] → R una función creciente. Entonces Varba (f ) = PVarba (f ) = f (b) − f (a), NVarba (f ) = 0. 5. Variación de una función decreciente. Sea f : [a, b] → R una función decreciente. Entonces Varba (f ) = NVarba (f ) = f (a) − f (b), PVarba (f ) = 0. 6. Sea f : [a, b] → R, c ∈ (a, b). Entonces Varba (f ) = Varca (f ) + Varbc (f ). Las fórmulas similares también se cumplen para PVar y NVar. 7. Ejercicio: variación de una función monótona a trozos. Sea f : [0, 5] → R una función creciente en cada uno de los intervalos [0, 1], [2, 3], [4, 5] y decreciente en cada uno de los intervalos [1, 2] y [3, 4]. Calcule Var50 (f ), PVar50 (f ) y NVar50 (f ). Relación entre la variación total, variación positiva y variación negativa 8. Proposición. Sea f ∈ BV[a, b]. Entonces Varba f = PVarba f + NVarba f, f (b) − f (a) = PVarba f − NVarba f. Demostración. Para toda partición τ de [a, b], n X f (b) − f (a) = (f (τk ) − f (τk−1 )) = S+ (f, τ ) − S− (f, τ ), k=1 i.e. S+ (f, τ ) = S− (f, τ ) + f (b) − f (a). Pasando al supremo con respecto a τ ∈ P, se obtiene PVarba f = NVarba f . Además, Sabs (f, τ ) = S+ (f, τ ) + S− (f, τ ) = 2S+ (f, τ ) + f (a) − f (b). De allı́ Varba f = 2 PVarba f + f (a) − f (b) = PVarba f − NVarba f. página 2 de 4 Funciones de variación acotada y funciones monótonas 9. Teorema (criterio de una función de variación acotada). Sea f : [a, b] → R una función. Entonces f es de variación acotada ⇐⇒ se puede escribir como diferencia de dos funciones crecientes en [a, b]. Demostración. 1. Sea f ∈ BV[a, b]. Definamos g y h: g(x) := PVarxa (f ), h(x) := NVarxa (f ). 2. Al revés, si f = g − h, donde g y h son crecientes, entonces para toda partición (τ0 , . . . , τn ) de [a, b] tenemos que n X (f (τk ) − f (τk−1 )) ≤ g(b) − g(a) + h(b) − h(a). k=1 10. Corolario. Si f ∈ BV[a, b], entonces f 0 existe c.t.p. 11. Ejercicio. Sea f ∈ BV[a, b]. Entonces Zb |f 0 (x)| dx ≤ Varba (f ). a Discontinuidades de funciones monótonas 12. Ejercicio. Sea f una función monótona en [a, b]. Entonces en todo punto x ∈ (a, b) existen los lı́mites laterales f (x + 0) y f (x − 0). También existen f (a + 0) y f (b − 0). Por lo tanto, f sólo puede tener discontinuidades evitables (removibles) y saltos. 13. Ejercicio. Construye una función creciente en [0, 1] que tenga un salto en cada punto racional de [0, 1]. 14. Ejercicio. Sea f una función monótona en [a, b]. Entonces para todo ε > 0 el número de puntos x tales que |f (x + 0) − f (x − 0)| ≥ ε es finito. Por consecuencia, el conjunto de saltos de f es finito o numerable. 15. Ejercicio. Generalizar los resultados de los dos ejercicios anteriores al caso de una función de variación acotada. página 3 de 4 ¿Variación acotada o no acotada? 16. Ejemplo. Sea ( x cos(1/x), x > 0; f (x) := 0, x = 0. Entonces f ∈ C[0, 1], pero Var10 (f ) = +∞. Demostración. Para un k ∈ N, consideremos la partición 0< 1 1 1 < < . . . < < 1. kπ (k − 1)π π Para la sumatoria correspondiente Sabs (f, τ ) tenemos la siguiente cota inferior: k−1 k−1 k−1 k−1 j X X X (−1)j+1 (−1) 1 1 2X1 = − + ≥ . Sabs (f, τ ) ≥ (j + 1)π jπ π(j + 1) jπ π j j=1 j=1 j=2 j=1 La serie harmónica diverge, por eso Var10 (f ) = +∞. 17. Condición de Lipschitz y variación acotada. Sea f : [a, b] → R. Supongamos que f satisface en [a, b] la condición de Lipschitz con la constante L: |f (x1 ) − f (x2 )| ≤ L|x1 − x2 | ∀x1 , x2 ∈ [a, b]. Por ejemplo, esto se cumple si f es continua en [a, b], derivable en (a, b), y sup[a,b] |f 0 | ≤ L. Entonces Varba (f ) ≤ L(b − a). 18. Ejemplos. Para cada una acotada en [0, 1] o no. Sean ( x2 cos(1/x), g(x) := 0, ( x cos(1/x2 ), s(x) := 0, de las siguientes funciones determinar si tiene variación x > 0; x = 0; x > 0; x = 0; ( x2 cos(1/x2 ), h(x) := 0, ( x3 cos(1/x), v(x) := 0, página 4 de 4 x > 0; x = 0; x > 0; x = 0.