Funciones de variación acotada generaliza y la - cdcht

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL LISANDRO ALVARADO
DECANATO DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
Funciones de variación acotada generaliza y la
actuación del operador de composición
Area: Matemática
Palabras Claves: Variación acotada, Operador de composición.
Barquisimeto
2013
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Motivación y Antecedentes
Sean I ⊆ R un intervalo y f : I → R. Consideramos al conjunto Λ(I) de todas
las colecciones de puntos ordenados a1 < a2 < · · · < an en I, donde n es un
número natural arbitrario. La variación total de f es dada por
( n−1
)
X
(0.1)
T V (f ) := sup
|f (aj+1) − f (aj )| : {aj }nj=1 ∈ Λ(I) .
i=1
Λ(I) es un reticulado, por tal razón el supremo en (0.1) puede ser reemplazado
por un lı́mite.
Una función f : I → R se dice que tiene variación finita ó acotada si T V (f ) <
+∞. Esta definición clásica, bien conocida y estudiada, fue introducida por C.
Jordan [8] en 1881.
La definición de variación total de una función real puede fácilmente ser generalizada cuando el espacio donde se encuentran las imágenes es reemplazado
por un espacio métrico (X, d): basta sustituir el valor absoluto |f (aj+1) − f (aj )|
por d(f (aj+1), f (aj )) en (0.1). En consecuencia, se define la noción de variación
acotada para funciones que toman valores sobre un espacio métrico arbitrario.
Observe que si f : I → X es una función de variación acotada y ϕ : X → Y
es una aplicación Lipschitz, entonces ϕ ◦ f es una función de variación acotada y
T V (ϕ ◦ f ) ≤ Lip(ϕ)T V (f ), donde Lip(ϕ) denota la constante Lipschitz de ϕ.
Como consecuencia de esto, se deduce, que una función (f 1 , f 2 , · · · , f n ) = f :
I → Rn es una función de variación acotada si y sólo si cada una de sus funciones
coordenadas f j es una función de variación acotada.
Por otra parte, En 1980, M. Shiba [10] introduce la clase ΛBV p (1 ≤ p <
∞) extendiendo un concepto fundamental de Λ−variación acotada formulado y
usualmente aplicado por D. Waterman en 1972, [12].
La clase ΛBV p es el conjunto de todas las funciones f : [a, b] → R que son
p − Λ−variación acotada sobre [a, b] cuya definición es la siguiente:
Definition
P 1. Sea Λ = (λi ) una sucesión no-decreciente de números positivos
tal que (1/λi ) = +∞ y sea p ≥ 1. Una función f : [a, b] → R se dice ser de
p − Λ−variación acotada sobre [a, b] si
(0.2)
VΛ (f, p, [a, b]) = sup VΛ ({Ii }, f, p, [a, b]) < ∞,
{Ii }
donde
VΛ ({Ii }, f, p, [a, b]) =
X |f (xi ) − f (xi−1 )|p
i
λi
!1/p
,
y {Ii } es una sucesión de sub-intervalos no solapados Ii = [xi−1 , xi ] ⊂ I = [a, b].
Nótese que,
si p = 1, se obtiene la clase ΛBV (I);
si λi = 1 para todo i, se obtiene la clase BV (p) ;
si p = 1 y λi = i para todo i, se obtiene la clase armónica BV (I);
si p = 1 y λi = 1 para todo i, se obtiene la clase BV (I).
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Como puede observarse, la noción dada por Jordan ha sido generalizada en
varias direcciones. Sin embargo, ha llamado la atención no sólo aquellas funciones
definidas sobre intervalos. Se define también la noción de variación acotada para
funciones definidas en rectángulos del plano; de hecho, existen varias definiciones
de la noción de variación acotada para funciones de dos o más variables, no todas
las cuales son equivalentes. Entre los creadores de estas nociones, destacan Vitali,
Hardy, Arzelà, Pierpont, Fréchet y Tonelli.
En [5] se estudia la relación entre las diferentes definiciones de funciones de
dos variables de variación acotada. Más recientemente, [2] estudia funciones de
valores reales definida sobre un rectángulo del plano, la cual es una generalización
de la noción de funciones de Φ-variación acotada dada por en 1953 por Medvedev
([11]), donde Φ, es una función convexa, Φ : [0, +∞) → [0, +∞) tal que Φ(ρ) = 0
si y sólo si ρ = 0 (See [4, 9]). Posteriormente, esta noción es generalizada a
funciones con valores en un espacio vectorial [3].
Por otra parte, en problemas relacionados con la existencia de soluciones, en
espacios de funciones, de ecuaciones diferenciales, integrales o funcionales es necesario considerar el llamado Operador de Nemytskij u Operador de Composición.
Es conocido que en el año 1981, M. Josephy demostró que el operador F de
composición, asociado a la función f : R → R actúa en el espacio BV [a, b] de las
funciones de variación acotada en [a, b] si y solamente si f es localmente Lipschitz
en R.
Este resultado fue demostrado por varios matemáticos en otros espacios de
funciones; por ejemplo:
1. H. Sh. Muhtarov (1967), para el espacio Hϕ ([a, b]) de las funciones Hölderianas en [a, b], de orden 0 < α < 1.
2. M. Z. Berkolajko (1969), para el espacio Lip[a, b] de las funciones Lipschitzianas en [a, b].
3. M. Chaika y D. Waterman (1974), para el espacio ΛBV [a, b] de funciones
de Λ−variación acotada en el sentido de Waterman.
4. J. Ciemnoczolowski y W. Orlicz (1986), para el espacio BVϕ [a, b] de funciones de ϕ−variación acotada en el sentido de Wiener.
5. N. Merentes (1992), para el espacio AC[a, b] de funciones absolutamente
continuas en [a, b].
6. N. Merentes y S. Rivas (1994), con la actuación del operador F de composición entre los espacios RVp [a, b], (1 < p < ∞), y BV [a, b].
7. N. Merentes (1995), para el espacio RVϕ [a, b] de las funciones de ϕ−variación
acotada en el sentido de Riesz.
Los resultados presentados indican condiciones necesarias y suficientes en f :
R → R, de tal manera que el Operador F de Composición actúe en esos espacios
de funciones. También cuando se desea determinar existencia de soluciones en
espacios de funciones, de ecuaciones diferenciales, integrales o funcionales, muchas
veces intentan aplicar el llamado método de contracción de Banach-Caccioppoli a
los operadores asociados a tales ecuaciones. En general, uno de estos operadores
es el Operador de Composición asociado a una función f : [a, b] × R → R. En este
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caso, la condición de contracción se convierte en una condición de Lipschitzidad
global para este Operador. En el año 1982 J. Matkowski, demostró que el método
de Banach-Caccioppoli no puede ser aplicado en el espacio Lip[a, b], para hallar
soluciones a ecuaciones no-lineales. Más aun Matkowski demostró que el Operador
F de Composición, asociado a f : [a, b]×R → R, actúa y es globalmente Lipschitz
en el espacio Lip[a, b] si y sólo si la función f tiene la forma.
(0.3)
f (t, x) = g(t)x + h(t)
(t ∈ [a, b], x ∈ R),
donde las funciones g y h ∈ Lip[a, b].
Entre los resultados que se han demostrado en otros espacios podemos mencionar:
1. J. Matkowski (1984), para el espacio C n [a, b] de las funciones n−veces continuamente diferenciables.
2. A. Matkowska (1984), para el espacio Hα [a, b] de las funciones Hölderiana
en [a, b] de orden α, con 0 < α < 1.
3. J. Matkowski y J. Mis(1984), para el espacio BV [a, b] de las funciones de
variación acotada en [a, b].
4. M. Lupa (1989), para el espacio Hα C n [a, b] de las funciones con n−ésima
derivada Hölderiana en [a, b] de orden α, con 0 < α < 1.
5. A. Sieczko (1989), para el espacio AC n [a, b] de las funciones con n−ésima
derivada absolutamente continua en [a, b].
6. J. Knop (1992), para el espacio LipC n [a, b] de las funciones con n−ésima
derivada Lipschitziana en [a, b].
7. N. Merentes (1991), para el espacio RVϕ [a, b] de las funciones de ϕ−variación
acotada en el sentido de Riesz.
8. J. Matkowski y N. Merentes (1993), para el espacio RV(p,2) [a, b] de las funciones de (p, 2)−variación acotada en [a, b].
9. J. Matkowski y N. Merentes (1993), para el espacio Wpn [a, b] de Sovolev
unidimensional de orden h ∈ N.
10. A. Matkowska, J. Matkowski y N. Merentes (1994), para el espacio C n [a, b]
de las funciones de n−veces continuamente diferenciables.
En estos resultados el Operador F de Composición actúa de un espacio en
si mismo, sin embargo en muchos casos, es conveniente clarificar la conducta
de este Operador entre espacios distintos. En este sentido, S. Rivas verificó la
validez del resultado de Matkowski cuando el Operador actúa entre los espacios
RVp (1 < p < ∞) y BV [a, b].
Nótese que la condición de Lipschitzidad global para el Operador F de Composición conlleva a que el Operador sea afı́n en el espacio, es por ello que en
algunos problemas es conveniente tener condiciones más débiles, por ejemplo que
el Operador F sea localmente Lipschitz, es decir, se sustituye la condición de
Lipschitzidad global por la local.
Identificación y justificación del objetivo de estudio.
Una manera común de mostrar que una función de dos variables no es continua
en un punto es mostrar que el lı́mite de 1-dimensional de la función evaluada sobre
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una curva varı́a de acuerdo a la curva que se utiliza, es natural preguntarse, si
esto también ocurre con funciones de dos variables de variación acotada. Es decir,
¿ Una función de dos variables no es de variación acotada si la variación acotada
sobre una curva varı́a de acuerdo a la curva que se utiliza?, ¿Qué es la variación
sobre una curva?. La repuesta podrı́a encontrarse en [1], donde los autores definen
la variación de una función sobre subconjuntos compactos de C.
Definiciones básicas. En 2008 Ashton y Doust ,[1], define la variación de una
función sobre subconjuntos compactos de C.
Definition 2. Sea f : σ → C, con σ ⊂ R compacto; definimos la variación de
f por:
(0.4)
V ar(f, σ) =
sup
n−1
X
{sj }n
i=1 ∈Λ(σ) j=1
|f (sj+1) − f (sj )|.
Diremos que una función f : σ → C es de variación finita o de variación
acotada si V ar(f, σ) < ∞. Al conjunto de todas las funciones f : σ → C con
variación acotada, definidas sobre σ se le denota por BV (σ).
Esta definición coincide con la definición de variación acotada cuando σ = [a, b].
Los autores demuestran que BV (σ) es un espacio vectorial dotados de las
operaciones de suma y producto por un escalar de funciones y es fácil demostrar,
aun cuando los autores no lo garantizan, que toda función f ∈ BV (σ) es acotada.
Esto permite verificar que el funcional kf kBV (σ) = kf k∞ + V ar(f, σ) define una
norma sobre BV (σ) y ası́ demostrar que BV (σ) es un álgebra.
Se define posteriormente la variación sobre una curva.
Definition 3. Sean σ ⊆ C conexo , f : σ → C y γ ∈ C([0, 1]). Se define la
variación de f a lo largo de la curva γ por
cV ar (f, γ, σ) = cV ar(f, γ) :=
sup
n
X
{zj }n
j=1 ∈Λ(σ,γ) j=1
|f (zj+1) − f (zj )|.
Entre las propiedades que satisface esta variación se encuentra el siguiente
teorema:
Theorem 4. Sean σ1 ⊆ σ2 subconjuntos compactos no vacı́os de C, f, g : σ2 → C
y k ∈ C. Entonces
1. cV ar(f + g, γ) ≤ cV ar(f, γ) + cV ar(g, γ).
2. Si cV ar(f, γ) < ∞ entonces f está acotada sobre γ ∩ σ.
3. Si cV ar(f, γ), cV ar(g, γ) < ∞ entonces cV ar(f g, γ) ≤ kf k∞ cV ar(g, γ) +
kgk∞cV ar(f, γ).
4. cV ar(kf, γ) = |k|cV ar(f, γ).
5. Si γ = γ1 +γ2 ∈ C([0, 1]) se cumple la igualdad: cV ar(f, γ) = cV ar(f, γ1)+
cV ar(f, γ2 ).
6. cV ar(f, γ1 ) ≤ cV ar(f, γ)
7. cV ar(f, γ, σ1 ) ≤ cV ar(f, γ, σ2 ).
6
Note que en la definición 3 si vemos que R como subconjunto de C la definición
puede ser aplicada a funciones de valores reales. En consecuencia, hemos obtenido
el siguiente resultado.
Theorem 5. Si f : σ → C entonces cV ar(f, γ) < ∞ si y sólo si cV ar(Re(f ), γ) <
∞ y cV ar(Im(f ), γ) < ∞, donde Re(f ), Im(f ) corresponden a la parte real e
imaginaria de f respectivamente.
Lemma 6. Sean f : σ → C, γ1 , γ2 ∈ C([0, 1]) y suponga que γ1 ∼
= γ2 . Entonces
cV ar(f, γ1) = cV ar(f, γ2 ).
Definition 7. Sea γ ∈ Γ. Entonces t ∈ [0, 1] se dice un punto de entrada de γ
sobre una recta ℓ se cumple una de las siguientes condiciones:
(i) t = 0 y γ(0) ∈ ℓ, ó
(ii) γ(t) ∈ ℓ y para cada ǫ > 0 existe s ∈ (t − ǫ, t) ∩ [0, 1] tal que γ(s) ∈
/ ℓ.
En la figura adjunta se ilustra un
ejemplo de los puntos de entrada de γ
sobre una recta ℓ.
Remark 8. Note que si γ es un segmento de recta, entonces, cualquier recta ℓ,
que interseca a γ, sólo tendrá sólo un punto de entrada.
Definition 9 ([1]). Sea f : σ → C. La variación de f sobre σ es definida como
cV ar(f, γ)
V ar(f, σ) := sup
.
V f (γ)
γ∈C([0,1])
Brenden Ashton y Ian Doust toma como convención que si γ ∈ Γ tal que
vf (γ) = ∞ y cV ar(f, γ) = ∞ entonces V ar(f, σ) = 0.
Objetivos del Trabajo. Surgen diferentes interrogantes, como son: En la definición 9 se utiliza un peso para definir la variación de la función f : σ ⊆ C → C,
¿Qué relación tienen los puntos de entrada de una recta sobre una curva con
la variación de dicha función?, ¿Puede reemplazarse este peso por otro tipo de
peso?. Vista la función de una variable compleja como funciones de dos variables,
¿Qué relación existe entre las funciones de variación acotada, en el sentido de
la definición 9, con las funciones de variación acotada en el plano real?. Si una
función es de variación acotada, en el sentido de la definición 9 ¿será de variación
acotada en el sentido definido por Vitali?.
En el desarrollo de este proyecto se pretende obtener algunas generalizaciones
de la noción de función de variación acotada sobre subconjuntos compactos de
C, tales como:
1. Extender la noción de variación acotada sobre subconjuntos compactos de
C para funciones definidas sobre subconjuntos compactos en C y con valores
en un espacio métrico (X, d), lo cual extiende la noción dada en [1].
2. Establecer teoremas de representación tipo Riesz y Federer para esta clase
de funciones.
3. Determinar las condiciones del espacio X que nos permitan introducir nociones de cálculo diferencial en el caso anterior.
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4. Estudiar la noción de Φ variación acotada para funciones definidas sobre
subconjuntos compactos de C con valores en un espacio métrico (X, d).
5. Determinar las condiciones del espacio X que nos permitan introducir nociones de cálculo diferencial en el caso anterior.
6. Extender las nociones de variación acotada sobre subconjuntos compactos
a funciones de varias variables complejas.
7. Determinar si estas funciones son funciones absolutamente continuas, y/o
bajo qué condiciones lo son.
8. Estudiar el comportamiento del Operador de Nemytskij y/o operador de
composición actuando sobre estos espacios obtenidos.
Objetivos Generales. Generalizar la noción de funciones de variación acotada
sobre subconjuntos compactos de C y variación sobre curvas.
Objetivos Especı́ficos.
1. Extender la noción de variación, en el sentido de Korenblum, para funciones
definidas sobre subconjuntos compactos de R con valores un espacio métrico
(X, d).
2. Estudiar el comportamiento del operador de Nemytskij sobre este espacio.
3. Extender la noción de variación acotada para funciones definidas sobre
subconjuntos compactos en C y con valores un espacio métrico (X, d).
4. Determinar las condiciones del espacio X que nos permitan introducir nociones de cálculo diferencial en el caso anterior.
5. Estudiar la noción de Φ variación acotada para funciones definidas sobre
subconjuntos compactos de R con valores complejos.
6. Estudiar la noción de Φ variación acotada para funciones definidas sobre
subconjuntos compactos de C con valores complejos.
7. Extender las nociones de variación acotada sobre subconjuntos compactos
a funciones de varias variables complejas.
8. Determinar si estas funciones son funciones absolutamente continuas, y/o
bajo qué condiciones lo son.
Metodologı́a. La Metodologı́a empleada para el desarrollo del presente Proyecto es el método lógico-deductivo. Especı́ficamente, se analizarán los trabajos
referentes al tema para conocer las técnicas empleadas, plantear preguntas, dar
extensiones de resultados ya conocidos en el caso de variación acotada y dar
nuevas ideas referente al tema de estudio. Se realizarán sesiones de trabajo y
seminarios de investigación, con la intervención del tutor y colaboradores, para
discutir los avances del tema y buscar soluciones a los problemas planteados.
Plan de Trabajo. Con el fin de establecer una base teórica que permita abordar
los problemas que se me han planteado se realizará un estudio detallado de las
algunas generalizaciones de las funciones de variación acotada y teorı́a de operadores sobre estos espacios. La revisión bibliográfica y hemerográfica abarcará todo
el lapso de tiempo que dure el desarrollo de la Tesis Doctoral, de manera de garantizar la actualización de los resultados obtenidos para la fecha de presentación
8
de la misma. Se estima la culminación del Proyecto de Tesis Doctoral para el
primer trimestre del año 2014.
Una vez finalizada la redacción de la Tesis Doctoral se presentará ante la Coordinación del Doctorado en Matemáticas de la UCV para el nombramiento del
Jurado y defensa pública de dicha tesis.
Referencias
1. B. Ashton and I. Doust, Functions of bounded variation on compact subsets of the plane,
Studia Math., 169 (2005), 163-188.
2. W. Aziz, H. Leiva, N. Merentes, J. L. Sánchez, Functions of two variables with bounded
ϕ-variation in the sense of Riesz. Journal of Matematics and Applications. No 32, pp 5-23
(2010).
3. M. Bracamonte, J. Giménez, N. Merentes, Vector valued functions of bounded bidimensional
Φ-variation. Ann. Funct. Anal. 4 (2013), no. 1, 89-108.
4. V.V. Chistyakov, Selections of bounded variation, J. Appl. Anal. 10 (2004), no. 1, 1–82.
5. James A. Clarkson and C. Raymond Adams. On Definitions of Bounded Variation for
Functions of Two Variables. Transactions of the American Mathematical Society Vol. 35,
No. 4 (Oct., 1933), pp. 824-854
6. Conway, John B. (1978).Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3.
7. Ciemnoczolowski, J., Orlicz, W., Composing funtions of bounded ϕ−variation, Proc. Amer.
Math. Soc. 96
8. Jordan, C., Sur la série de Fourier, C. R. Acad. Sci. Paris, 2 (1881), 228-230.
9. L. Maligranda, Orlicz Spaces and Interpolation, Seminars in Math. 5, University of Campinas, IMECC-UNICAMP, Brasil, 1989.
10. M. Shiba, On the absolute convergence of Fourier series of functions class ΛBV p . Sci. Rep.
Fukushima Univ. No 30, pp 7-10 (1980).
11. Yu.T. Medvedév, A Generalization of Certain Theorem of Riesz (en ruso), Uspekhi Mat.
Nauk. 6 (1953), 115–118.
12. D. Waterman, On the convergence of Fourier series of functions of bounded variation.
Studia Math. No 44, pp 107-117 (1972).