UNIVERSIDAD DE MURCIA Departamento de Matemáticas Ampliación de Topologı́a Relación de problemas no 10 NUMERABILIDAD Y SEPARACIÓN (II) 110. (a) Pruebe que la recta de Sorgenfrey es un espacio regular. Deduzca que la topologı́a del ejercicio (21) (plano de Sorgenfrey) sobre R2 , es regular. (b) Pruebe que el plano de Sorgenfrey (ejercicio 21) no es normal. 111. Dado un conjunto X, considere los espacios topológicos (X, τ ) y (X, τ 0 ), siendo τ ⊂ τ 0 . Estudie las propiedades de separación y numerabilidad que satisfaciendo (X, τ ) se conservan en (X, τ 0 ). 112. Pruebe que en un espacio T3 , cualquier par de puntos distintos tienen entornos cuyas clausuras son disjuntas. 113. Pruebe que un subespacio cerrado de un espacio normal es también normal. 114. Sea (X, τ ) un espacio normal y f : (X, τ ) −→ (Y, τ 0 ) una aplicación continua, cerrada y sobreyectiva. Pruebe que (Y.τ 0 ) es normal. 115. Se dice que un espacio (X, τ ) es completamente normal si todo subespacio de X es normal. Demuestre que son equivalentes: (a) (X, τ ) es completamente normal. (b) Para todo par de conjuntos A, B ⊂ X separados en (X, τ ), existen conjuntos abiertos y disjuntos U y V tales que A ⊂ U y B ⊂ V . 116. Estudie cuáles de los siguientes espacios son completamente normales: (a) Un subespacio de un espacio completamente normal. (b) La recta de Sorgenfrey. (c) El producto de dos espacios completamente normales. (d) Un espacio metrizable. (e) Un espacio regular y 2o numerable. 117. Sea K = { n1 }∞ n=1 ⊂ R y considere la familia B formada por todos los intervalos abiertos (a, b) y todos los conjuntos (a, b) r K con a, b ∈ R. Pruebe que B es base de una topologı́a τ sobre R que es Haussdorff pero no es regular. 118. Demuestre que: (a) Todo espacio conexo y T4 , con más de un punto, es no numerable. (b) Todo espacio conexo y T3 con más de un punto es no numerable. 119. Demuestre que si un espacio es T3 , Lindelöf y localmente metrizable (es decir, todo punto posee un entorno que es metrizable con la topologı́a inducida) entonces es metrizable. 120. Sea (X, τ ) un espacio normal y F ⊂ X un subconjunto cerrado en X que es un Gδ . Pruebe que existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f −1 (0) = F . 121. Un espacio topológico (X, τ ) se dice perfectamente normal si para todo par de cerrados disjuntos A y B de X, existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que A = f −1 (0) y B = f −1 (1). Demuestre que todo espacio perfectamente normal es completamente normal. 122. Pruebe que un espacio topológico es T1 y perfectamente normal si y sólo si es T4 y cada subconjunto cerrado es un Gδ . 123. Si un espacio (X, τ ) es T1 , se dice completamente regular si dado un punto x ∈ X y un cerrado A ⊂ X tal que x ∈ / A, existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (A) = 1. Demuestre (a) Todo subespacio de un espacio completamente regular es completamente regular. (b) El producto de espacios completamente regulares es un espacio completamente regular. 124. Sean X e Y dos conjuntos; diremos que una familia de aplicaciones F = {f : X −→ Y } separa puntos si para todo x, y ∈ X distintos existe f ∈ F tal que f (x) 6= f (y). (a) Pruebe que la familia de aplicaciones {fn : R −→ [−1, 1]}n∈N definidas como fn (x) = sen nx para n = 1, 2, . . . no separa puntos. (b) Demuestre que si (X, τ ) es un espacio topológico y la familia C(X, R) de las funciones continuas definidas en X con valores reales separa puntos; entonces X es Hausdorff. (c) Si (X, τ ) es T1 , entonces C(X, R) separa puntos.