Lista No. 6 de ejercicios de Topolog´ıa I

Lista No. 6 de ejercicios de Topologı́a I
Q
1. Sea J 6= ∅ y sea j∈J Xj un producto de espacios topológicos no vacı́os.
Sea i ∈ J, y para cada j ∈ J Q
\ {i} sea aj un elemento en Xj . Demostrar
queQel subespacio Yi = {x ∈ j∈J Xj : xj = aj ∀ j ∈ J \ {i} y xi ∈ Xi }
de j∈J Xj es homeomorfo a Xi .
2. Sean J y K dos conjuntos de la misma cardinalidad. Sea φ : J →
K una función biyectiva. Sean {Xj : j ∈ J} y {Xk : k ∈ K} dos
familias de espacios topológicos
tales
Q
Q que, para cada j ∈ J, Xj = Xφ(j) .
Entonces, los espacios j∈J Xj y k∈K Xk son homeomorfos. (Es decir,
el producto topológico es conmutativo.)
3. Sean S
J un conjunto y {Jk : k ∈ K} una partición de J (es decir,
J = k∈K Jk y Jk ∩ Jl = ∅ si k 6= l). Sea {Xj : j ∈ J} una
Q familia
de
espacios
topológicos.
Entonces,
los
espacios
producto
j∈J Xj y
Q
Q
k∈K ( j∈Jk Xj ) son homeomorfos. (Es decir, el producto topológico
es asociativo.)
4. Sean {Xj : j ∈ J} y {Yj : j ∈ J} dos familias de espaciosQtales que,
∼
para
Q cada j ∈ J, Xj es homeomorfo a Yj . Demuestre que j∈J Xj =
j∈J Yj .
Q
5. Un espacio producto X = j∈J Xn es primero numerable si y sólo si
cada Xj es primero numerable y |J| 6 ℵ0 .
6. Sean { Xα : α ∈ A } una familia de espacios topológicos y B ⊆ A. La
función
Y
Y
πB :
{ Xα : α ∈ A } →
{ Xα : α ∈ B }
definida por
πB (x) = x B
Q
para
llama proyección del producto
Q todo x ∈ { Xα : α ∈ A } se Q
{ Xα : α ∈ A } a su subproducto { Xα : α ∈ B }. Entonces,
(πB (x))α = xα para todo α ∈ B.
Compruebe que la función πB es continua, abierta y suprayectiva.
7. Para cada elemento j en un conjunto J, sea fj : Xj → Yj una función
entre espacios topológicos (no vacı́os) Xj y Yj . Podemos definir la
Q
Q
Q
función producto fj con dominio j∈J Xj y con valores en j∈J Yj
de la siguiente manera:
Y
Y
[πi ◦ ( fj )](ξ) = ( fj )(ξ)(i) = fi (ξ(i)) ∀ i ∈ J.
Q
Demuestre que fj es continua (respectivamente, abierta) si y sólo si
cada fj es continua (respectivamente, abierta).
8. Sea X un espacio topológico y para cada elemento j en un conjunto J,
sea fj : X → Yj una función en donde cada Yj es un espacio topológico.
Definimos
ahora la función diagonal ∆fj con dominio X y con valores
Q
en j∈J Yj como sigue:
(∆fj )(x)(i) = fi (x) ∀ i ∈ J.
Demuestre que ∆fj es continua si y sólo si cada fj es continua. Además,
muestre que si ∆fj es abierta, entonces cada fj es también abierta.
9. Si para cada elemento j deL
un conjunto J, el espacio Xj es homeomorfo
a un espacio X, entonces j∈J Xj es homeomorfo a X × J, en donde
J tiene la topologı́a discreta.
10. Verifique que cualquier identificación biyectiva es un homeomorfismo.
11. Demuestre que cualquier retracción es una identificación.
12. Consideremos en R2 la siguiente relación de equivalencia: (a, b) ∼ (x, y)
si y sólo si b = y. Entonces R2 / ∼ es homeomorfo a R.
13. Para cada r ∈ [0, ∞), denotemos por Cr a la circunferencia en R con
centro en (0, 0) y radio r. Sea D = {Cr : r ∈ [0, ∞)}. Pruebe que el
espacio partición (D, TD ) es homeomorfo a [0, ∞) considerado con su
topologı́a euclidiana.
14. Sea Dn la bola unitaria cerrada en Rn ; es decir,
v
u n
uX
x2i 6 1}.
Dn = {(x1 , ..., xn ) : t
i=1
pPn
2
Sea S n−1 la esfera unitaria {(x1 , ..., xn ) :
i=1 xi = 1}. Tomemos en
Dn la partición D = {{x} : x ∈ Dn \ S n−1 } ∪ {S n−1 }. Demuestre que
el espacio (D, TD ) es homeomorfo a la esfera unitaria S n en Rn+1 .
15. (a) Demuestre que los subconjuntos compactos de la lı́nea de Sorgenfrey son a lo más numerables.
(b) Un espacio topológico X es σ-compacto si se puede escribir como
la unón a lo más numerable de espacios compactos. ¿Es la lı́nea
de Sorgenfrey un espacio σ-compacto?
16. (a) Demuestre que cualquier conjunto infinito con la topologı́a cofinita
es un espacio compacto.
(b) Demuestre que la unión finita de subconjuntos compactos de un
espacio topológico X es un subconjunto compacto.
(c) Demuestre que la intersección de cualquier colección (no vaı́a) de
subconjuntos compactos de un espacio Hausdorff es un espacio
compacto.
17. Demuestre que el cuadrado lexicográfico y el duplicado de Alexandroff
de [0, 1] son espacios compactos. ¿SI X es compacto, es AD(X) un
espacio compacto?
18. Si X es un espacio linealmente ordenado (no vacı́o). Demuestre que X
con la topologı́a del orden es compacto si y sólo si X tiene máximo,tiene
mı́nimo y tiene la propiedad del supremo.
19. Dé un ejemplo de un espacio T0 tal que {x} no es cerrado para todo
x ∈ X.
20. Podemos verificar que la imagen continua y abierta de espacios T0 no
siempre es un espacio T0 , considerando al conjunto {0, 1} dotado de la
topologı́a indiscreta y a la función f : R → {0, 1} dada por
(
1 si x ∈ Q,
f (x) =
0 si x 6∈ Q,
donde R está considerado con su topologı́a usual Te . Observe que f es
una función continua y abierta, pero que {0, 1} no es un espacio T0 .
21. Todo espacio topológico tiene asociado un espacio cociente que es T0 .
Esto fue demostrado por M. H. Stone en 1936. Dicho espacio cociente
lleva el nombre de T0 -identificación.
La T0 -identificación de un espacio topológico X, es el espacio partición
generado por la relación de equivalencia en el conjunto X definida por
la fórmula x ∼ y si y sólo si cl {x} = cl {y}. Verifique que en efecto el
espacio cociente X/ ∼ es T0 .
22. Pruebe que todo espacio finito T1 es un espacio discreto (es decir, su
topologı́a es la discreta).
23. Suponga que X es un espacio T1 . Compruebe que un espacio cociente
X/∼ es un espacio T1 si y sólo si cada elemento de X/∼ es un subconjunto cerrado de X.
24. Verifique que la imagen continua de un espacio topológico Ti , donde
i = 0, 1, 2, no es necesariamente un espacio Ti .
25. Demuestre que si X es un espacio Ti y Y ⊆ X entonces Y también es
un espacio Ti , donde i = 0, 1, 2.
26. Sea i ∈ {0, 1, 2}. La suma topológica libre ⊕j∈J Xj es Ti si y sólo si
cada Xj es Ti .
Q
27. Sea i ∈ {0, 1}. Suponga que X = α Xα es el producto topológico de
una familia de espacios topológicos Xα , donde cada Xα es un espacio
Ti para toda α ∈ J. Demuestre que X es un espacio Ti .
Q
Por otro lado, pruebe que si el producto X = α Xα es un espacio Ti
entonces cada factor también lo es.
28. Pruebe que el espacio de Sierpinski y cualquier espacio indiscreto con
más de un punto no son espacios T2 .
29. Sean T1 y T2 dos topologı́as en un conjunto X con la propiedad T1 6
T2 . Demuestre que si (X, T1 ) es un espacio Hausdorff entonces (X, T2 )
también es un espacio de Hausdorff.
30. Sea f : X → Y continua, abierta y sobreyectiva. Entonces Y es Hausdorff si y sólo si el conjunto {(x1 , x2 ) : f (x1 ) = f (x2 )} es un subconjunto
cerrado de X × X.
31. Sean f, g : X → Y funciones continuas, donde Y es Hausdorff. Compruebe que el conjunto {x ∈ X : f (x) = g(x)} es un subconjunto
cerrado de X. Concluya que si f : X → X es continua y X es T2
entonces el conjunto de puntos fijos {x ∈ X : f (x) = x} es un subconjunto cerrado de X.
32. Sean f, g : X → Y funciones continuas, donde Y es Hausdorff. Suponga que f y g tienen los mismos valores en un subconjunto denso de X.
Demuestre que f = g.
33. Verifique que cada retracto de un espacio T2 es un subconjunto cerrado
del espacio.
34. (El espacio de Fort modificado). Sea X = N ∪ {x1 , x2 }, con x1 , x2 6∈ N
y x1 6= x2 . La topologı́a de X es establecida declarando sistemas de
vecindades para cada uno de los puntos de X. Para cada n ∈ N,
{n} ∈ TX . Ahora, A ⊆ X es vecindad abierta de xi si xi ∈ A y
|N \ A| < ℵ0 (para i = 1, 2). El espacio es T1 pero los puntos x1 y x2
no pueden ser separados con abiertos ajenos. Sea f : N → X dada por
f (m) = m para toda m ∈ N. Pruebe que la sucesión f converge en X
tanto a x1 como a x2 .
35. (a) Verifique que la imagen continua de un espacio topológico T3 no
es necesariamente un espacio T3 .
(b) Demuestre que si X es un espacio T3 y Y ⊆ X entonces Y también
es un espacio T3 .
(c) Demuestre que la suma topológica libre ⊕j∈J Xj es T3 si y sólo si
cada Xj es T3 .
36. Verifique que la lı́nea de Sorgenfrey, la lı́nea de Michael, y cualquier
espacio linealmente ordenable, son ejemplos de espacios regulares.
37. Demuestre que un espacio T1 (X, T) es un espacio T3 si y sólo si para
todo F ⊆ X cerrado
existe una familia B ⊆ T tal que F ⊆ U para toda
T
U ∈ B y F = {cl U : U ∈ B}.
38. Compruebe que el cociente de un espacio regular no es necesariamente
un espacio regular.
39. Suponga que (X, T) es un espacio regular. Sea T1 otra topologı́a en X
tal que T ⊆ T1 ¿Sucederá entonces que (X, T1 ) es un espacio T3 ?
40. Sea X un espacio regular tal que para cada abierto V de X, se tiene
que |X \ V | < ℵ0 . Verifique que X debe ser finito.
41. Pruebe que todo espacio regular segundo numerable X es un espacio
normal.
42. (a) Pruebe que la normalidad es una propiedad topológica.
(b) Pruebe que la regularidad completa es una propiedad hereditaria
y topológica.
43. Demuestre que el duplicado de Alexandroff AD(X) de un espacio X
que satisface el axioma de separación Ti es también un espacio T1 , para
toda i = 0, 1, 2, 3, 3 21 . ¿Que se puede decir de la normalidad de AD(X)
cuando X es normal?
44. ¿Es la lı́nea de Michael (R, TP ) un espacio completamente regular (respectivamente, normal)?
45. Demuestre que ⊕j∈J Xj es completamente regular (resp., normal) si y
sólo si cada Xj es completamente regular (resp., normal).
46. Pruebe que un espacio T1 X es un espacio completamente regular si y
sólo si existe una base B para X que satisface las siguientes condiciones:
(a) Para cada x ∈ X, y cualquier U ∈ B que contiene a x, existe un
V ∈ B tal que x 6∈ V y X = U ∪ V ;
(b) Para todos los U, V ∈ B tales que X = U ∪ V , existen A, B ∈ B
tales que X \ V ⊆ A , X \ U ⊆ B y A ∩ B = ∅.
47. (Un ejemplo de un espacio T3 que no es T3 1 ) El primer ejemplo de un
2
espacio regular no completamente regular fue construido por Tychonoff.
En este ejercicio reproducimos una construcción más sencilla de un
espacio de este tipo realizada por A. Mysior.
Sean Y = {(x, y) ∈ R2 : y > 0} y L = {(x, 0) ∈ Y : x ∈ R}. Para cada
z = (x, 0) ∈ L, definimos
Nz = {(x, t) : 0 < t 6 2} ∪ {(t + x, t) : 0 < t 6 2}.
Si z ∈ Y \ L, hacemos Bz = {z}, y si z ∈ L defimos
Bz = {{z} ∪ (Nz \ A) : A es un subconjunto finito de Nz }.
Hagamos ahora p = (0, −1) y X = Y ∪ {p}; y denotemos por Bp la
familia {{p} ∪ On : n ∈ N}, donde On = {z = (x, y) ∈ Y : x > n} para
toda n ∈ N.
(a) Demuestre que la familia {Bz : z ∈ Y } ∪ Bp satisfacen las condiciones necesarias para generar una topologı́a T en X. Denotemos
con TY a la topologı́a de subespacio de Y .
(b) Verifique que el subespacio {z} ∪ Nz es homeomorfo a la compactación de Alexandroff A(Nz ) de Nz , para toda z ∈ L.
(c) Demuestre que para cada z ∈ Y , cada conjunto U ∈ Bz es un
subconjunto abierto y cerrado de X. Concluya a partir de este
hecho que el espacio (Y, TY ) es un espacio de Tychonoff.
(d) Suponga que f : Y → R es una función continua, y que f (z) = 0
para algún z ∈ L. Pruebe que existe un conjunto numerable
N (f, z) ⊆ Nz , tal que f (y) = 0 para toda y ∈ Nz \ N (f, z).
(e) Suponga que f : Y → R es una función continua, y que z ∈ L y
f (y) = 0 para toda y ∈ A, donde A ⊆ Nz es infinito. Demuestre
que f (z) = 0.
(f) Sea r ∈ R. Suponga que f : Y → R es una función continua
tal que f (y) = 0 para toda y ∈ A, donde A ⊆ [r, r + 1] × {0}.
Muestre que existe un conjunto infinito B ⊆ [r + 1, r + 2] para el
cual f (y) = 0 para toda y ∈ B.
(g) Demuestre que clX On+2 ⊆ On ∪ {p} para toda n ∈ N. Deduzca
que X es un espacio T3 .
(h) Sea F = {(t, 0) : t ∈ (−∞, 0]}. Compruebe las siguientes afirmaciones:
(i) El conjunto F es cerrado en X.
(ii) Para cada función continua f : X → R, se tiene que f (p) = 0
si f (F ) = {0}. Deducir de esta propiedad que el espacio X
no es completamente regular.