LICENCIADO EN CIENCIAS Y TÉCNICAS ESTADÍSTICAS INFERENCIA Y DECISIÓN. Curso 2010-2011 Tercera relación de ejercicios propuestos Intervalos de confianza 1. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable aleatoria con distribución en una familia paramétrica. Si la familia {Fµ : µ ∈ R} es de localización, verificar que X − µ, X(1) − µ y X(n) − µ son pivotes. X X(n) X(1) , y son pivotes. σ σ σ X−µ Si la familia {Fµ,σ : µ ∈ R, σ > 0} es de localización y escala, verificar que es un pivote, S 2 donde S es el estadı́stico varianza muestral. Si la familia {Fσ : σ > 0} es de escala, verificar que 2. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable normal N1 [µ; σ 2 ]. Determinar, mediante el método de la cantidad pivotal, un intervalo de confianza al nivel de confianza 1 − α, 0 < α < 1, para θ en los siguientes casos: θ = µ con σ 2 conocido. θ = µ con σ 2 desconocido. θ = σ 2 con µ conocido. θ = σ 2 con µ desconocido. En cada caso determinar el intervalo de mı́nima longitud. 3. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 , n > 1, una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria con función de densidad θ fθ (x) = 2 I[x≥θ] , θ > 0 x Calcular un intervalo de confianza, al nivel 1 − α (0 < α < 1), de longitud mı́nima para θ basado en el método de Neyman usando T (X) = X(1) . ¿Podrı́amos haber usado el método de la cantidad pivotal? 4. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una m.a.s. de una variable con función de densidad fθ (x) = (θ + 1)xθ , x ∈ (0, 1), θ > 0. Determinar un intervalo de confianza al nivel de confianza 1 − α, 0 < α < 1, para θ. 5. Sea X = (X1 , . . . , Xn )0 una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria con función de densidad fθ (x) = γ γ−1 x I[x≤θ] , γ, θ > 0 θγ donde γ es conocido. a) Demostrar que T (X, θ) = X(n) /θ es un pivote para θ. b) Calcular un intervalo de confianza, al nivel 1 − α (0 < α < 1), de longitud mı́nima para θ basado en el anterior pivote. 1