Varianza. Desviaci ´on tıpica. La varianza de una variable aleatoria

Varianza. Desviación tı́pica.
La varianza de una variable aleatoria discreta ξ viene dada por:
σξ2 = E(ξ−µξ )2 =
 Pn
 i=1 (xi − µξ )2 P (ξ = xi ), si ξ es discreta finita;
 P∞
i=1 (xi
− µξ )2 P (ξ = xi ), si ξ es discreta numerable.
La desviación tı́pica será:
 pPn
2
 +
q
i=1 (xi − µξ ) P (ξ = xi ), si ξ es discreta finita;
2
σξ = + σξ =
 pP∞
2
+
i=1 (xi − µξ ) P (ξ = xi ), si ξ es discreta numerable.
Momentos de orden k respecto del parámetro c.
Mk = E(ξ−c)k =
 Pn
 i=1 (xi − c)k P (ξ = xi ), si ξ es discreta finita;
 P∞
i=1 (xi
− c)k P (ξ = xi ), si ξ es discreta numerable.
C = 0 se tienen los momentos respecto del origen:
αk = E(ξ k ) =
X
xki P (ξ = xi )
i
En particular,
α0 = 1, α1 = µξ
Si c = µk se tienen los denominados momentos centrales:
µk = E(ξ − µξ )k =
X
i
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(xi − µkξ P (ξ = xi ))
En particular,
µ0 = 1, µ2 = 0, µ1 = σξ2
2.2.
Variable aleatoria continua
Son variables que pueden tomar cualquier valor en un intervalo real.
Observación 2.4. En las variables aleatorias continuas, la probabilidad
de que la variable tome un valor particular es 0, aunque sea posible. La
probabilidad de que ξ pertenezca a un intervalo (a, b) es:
P (a < ξ < b) = P ({ω ∈ Ω|a < ξ(ω) < b}).
Función de distribución
Dada una variable aleatoria continua ξ, a la función
F (x) = P (ξ ≤ x)
se la denomina función de distribución de ξ.
Función de densidad.- Dada una variable aleatoria ξ, una función
real f (x) no negativa es una función de densidad de ξ si
Z
+∞
f (x) = 1
−∞
y
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Z
x2
P (x1 < ξ < x2 ) =
f (x)dx
x1
Se tiene que:
Z
x
f (t)dt ⇒ f (x) =
F (x) =
−∞
dF (x)
;
dx
Se cumple:
Z
∞
P (ξ > x1 ) = 1 − F (x1 ) =
f (x)dx
x1
Z
x2
P (x1 < ξ ≤ x2 ) = F (x2 ) − F (x1 ) =
f (x)dx.
x1
Si ξ toma valores en el intervalo (a, b), entonces las integrales infinitas anteriores se reducen a integrales finitas, es decir,
Z
b
f (x)dx = 1
a

si x ≤ a
 0,
Rx
f
(t)dt,
si a < x < b
F (x) =
 a
1,
si x ≥ b
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Media o esperanza matemática de una variable aleatoria continua
ξ:
( R +∞
xf (x)dx, si ξ toma valores en (−∞, +∞)
µξ = E(ξ) = R−∞
b
xf (x)dx,
si ξ toma valores en (a, b)
a
En el primer caso hay que suponer que:
Z
+∞
|x|f (x)dx < ∞.
−∞
Varianza. Desviación tı́pica de una variable aleatoria continua ξ:
( R +∞
(x − µξ )2 f (x)dx, si ξ toma valores en (−∞, +∞)
σξ2 = E(ξ−µξ )2 = R−∞
b
(x − µξ )2 f (x)dx
si ξ toma valores en (a, b)
a
q
σξ = + σξ2 .
Momentos de orden k respecto del parámetro c
( R +∞
(x − c)k f (x)dx, si ξ toma valores en (−∞, +∞)
Mk = E(ξ−c)k = R−∞
b
(x − c)k f (x)dx
si ξ toma valores en (a, b)
a
Si c = 0 obtenemos los momentos respecto al origen αk .
Si c = µk momentos centrales.
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