PRINCIPADO DE ASTURIAS / SEPTIEMBRE 06 LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ANÁLISIS / BLOQUE 3 BLOQUE 3 Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros): 0 ⎧⎪ + 56 x 400 R ( x) = ⎨40 + ⎪⎩ 1640 + 0,1x 0 ≤ x < 600 x ≥ 600 (a) ¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? (b) ¿Decrece alguna vez la cantidad reinvertida al aumentar el capital obtenido? Por muy grande que sea el capital obtenido, ¿puede la cantidad reinvertida superar los 1000 euros? (c) Dibuja la gráfica de la función. Solución: (a) El único valor que presenta dificultad para la continuidad es x = 600 Hasta x = 600 (cuando x → 600−) la reinversión es 0 Desde x = 600 la reinversión es R (600) = 40 + 400 + 56·600 = 60 1640 + 0,1·600 Por tanto, justo cuando x = 600 se produce un salto en el valor de R(x); luego, la función no es continua en ese punto. (b) Hay que estudiar el signo de la derivada de R(x) 0 ⎧ ⎪ 91800 R´(x) = ⎨ ⎪⎩ (1640 + 0,1x) 2 0 < x < 600 x > 600 Para valores de x > 600 la derivada siempre es positiva; por tanto, la reinversión nunca decrece. Para ver si la cantidad reinvertida puede superar los 1000 euros hay que estudiar si la inecuación 400 + 56 x > 1000 tiene solución. 1640 + 0,1x 400 + 56 x R ( x) = 40 + > 1000 ⇒ 400 + 56 x > 1574400 + 96 x ⇒ 30x < −1574000 1640 + 0,1x R ( x) = 40 + Como la solución negativa no tiene sentido en este caso, la reinversión nunca puede superar los 1000 euros. Con mayor precisión puede afirmarse que la reinversión máxima tiende al valor del límite: 400 + 56 x ⎞ 56 ⎛ = 600 lím ⎜ 40 + ⎟ = 40 + x →∞ 1640 + 0,1x ⎠ 0,1 ⎝ www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM PRINCIPADO DE ASTURIAS / SEPTIEMBRE 06 LOGSE / MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES / ANÁLISIS / BLOQUE 3 (c) Hasta x = 600 la función vale 0; en x = 600 vale 60; siempre es creciente; tiende a 600 cuando x se hace muy grande. Por tanto, dando algunos valores más podemos representar la curva: www.profes.net es un servicio gratuito de Ediciones SM