Apunte Teoría de Conjuntos

Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura
Departamento de Matemática
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
GEOMETRÍA I
Licenciatura en Matemática - Profesorado en Matemática - Año 2016
Equipo docente:
Francisco Vittone - Justina Gianatti - Martı́n Alegre.
Repaso de Teorı́a de Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos. Es un concepto matemático que no intentaremos definir, para
nuestro estudio bastará la idea intuitiva que tenemos de él. Cada uno de estos objetos que conforman el
conjunto, se denominan elementos.
Podemos definir un conjunto por extensión, listando entre llaves y separados por comas todos sus elementos,
o por comprensión, determinando cuáles son las caracterı́sticas que tienen los elementos que lo componen.
Consideremos el siguiente ejemplo:
• A = {1, 2, 3, 4, 5} = {números naturales menores que 6} = {números naturales menores o iguales que 5}
El mismo conjunto A se ha definido por extensión y por comprensión. Vemos que existen distintos modos de
definir un conjunto por comprensión, mientras que hay un único modo de definirlo por extensión, salvo por el
orden en que se listan sus elementos.
Cuando un elemento forma parte de un conjunto decimos que pertenece al conjunto y utilizamos el sı́mbolo
∈ para indicarlo. Si un elemento no pertenece al conjunto, utilizamos el sı́mbolo ∈
/ para indicarlo.
Para determinar si un determinado objeto es o no elemento de un conjunto, tenemos dos opciones. Si el
conjunto está definido por comprensión, debemos ver que el objeto en cuestión satisfaga las propiedades que
definenen a los elementos del conjunto. Si el conjunto está dado por extensión, el objeto debe figurar entre las
llaves que definen al conjunto, y separado por comas.
Consideremos los siguientes ejemplos:
1. Sea A = {x ∈ R : x ≤ 5}. Es decir A es el conjunto de los números reales menores o iguales a 5. Está
definido por comprensión y no puede definirse por extensión ya que no es posible listar individualmente
todos sus elementos. Para verificar si un objeto es o no elemento de A debemos por lo tanto ver que sea
un número real, y que sea menor o igual a 5. Ası́ por ejemplo tenemos 4 ∈ A, π ∈ A, 6 ∈
/ A pues si bien
es número real no satisface la condición de ser menor a cinco, y i ∈
/ A pues i no es un número real, es
complejo.
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2. Consideremos ahora el siguiente conjunto dado por extensión:
A = {a, 2, 3, {1, 4}, ◦}.
No es posible definir a A por comprensión, pues sus elementos no tienen caracterı́sticas comunes. Tenemos
que a es un elemento de A y es una letra, 2 ∈ A y es un número y ◦ ∈ A y es un sı́mbolo. Distinguimos
que éstos son elementos del conjunto porque están listados entre comas dentro de las que delimitan los
elementos de A. Ası́, aunque resulte paradójico, el conjunto {1, 4} también es un elemento de A, es decir
{1, 4} ∈ A. Observemos que además 1 ∈
/ A, 4 ∈
/ A, pues no aparecen, ası́ solos, listados entre comas
dentro de las llaves que delimitan los elementos de A.
Entre dos conjuntos puede darse además la relación de contención que definimos a continuación:
Definiciones:
• Decimos que un conjunto B está contenido o incluido en un conjunto A si todos los elementos de B
son elementos de A. Decimos también en este caso que B es un subconjunto de A o que A contiene a B.
Lo denotamos B ⊂ A.
• Decimos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. O sea, A = B si todo elemento
de A es un elemento de B y recı́procamente, si todo elemento de B es un elemento de A.
• Decimos que B es un subconjunto propio de A si B ⊂ A pero B no es igual a A.
En términos de la contención de conjuntos obtenemos que
A = B si y sólo si A ⊂ B y B ⊂ A.
Con los conjuntos numéricos tenemos
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Además N 6= Z, pues existe al menos un elemento, el 0 por ejemplo, que está en Z pero no en N. De la misma
/ Z, y Q 6= R.
manera Z 6= Q pues existe 21 ∈ Q tal que 12 ∈
Los conjuntos se representan en general utilizando diagramas de Venn. Los distintos conjuntos se representan mediante una curva cerrada, respetanto las relaciones entre ellos. En el caso de los conjuntos numéricos,
podemos representarlos de la siguiente manera:
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Consideremos el conjunto A = {a, 2, 3, {1, 4}, ◦} dado en el ejemplo del inicio y sea B = {a, {1, 4} y
C = {◦, 1, 4}. Entonces B ⊂ A, pues los elementos de B son a y {1, 4} que a su vez, como vimos, son
elementos de A. Pero C no es un subconjunto de A, pues si bien ◦ ∈ A, tenemos que 1 ∈
/Ay4∈
/ A.
A lo largo de esta materia, la mayorı́a de los conjuntos puntuales con los que trabajaremos, denominados
figuras geométricas, admiten una representación gráfica particular que nos será mucho más útil que los diagramas
de Venn. Sin embargo estos últimos resultan muy importantes cuando se trabaja con conjuntos abstractos o
que no admiten representaciones geométricas.
Existe un conjunto particular que merece una mención especial: el conjunto vacı́o. Es aquel conjunto que
no tiene elementos. Se denota ∅ y está contenido en cualquier conjunto. Simbólicamente podemos expresarlo
∅ ⊂ A, ∀A
El sı́mbolo ∀ se lee “para todo”.
Finalizamos definiendo algunas operaciones entre conjuntos. Éstas nos permitirán generar nuevos conjuntos
a partir de conjuntos conocidos.
Definiciones:
Dados dos conjuntos A y B, se denomina:
• unión de A y B al conjunto constituido por todos los elementos que están en A o están en B. Se lo
denota A ∪ B. Simbólicamente podemos expresarlo por comprensión de la siguiente manera:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B};
• intersección de A y B al conjunto constituido por los elementos que están simultaneamente en A y en
B. Se lo denota A ∩ B. Simbólicamente,
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Analicemos algunos ejemplos:
1. Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6}. Entonces
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A ∩ B = {4}
Es importante notar que A ∩ B = {4} y NO A ∩ B = 4. A ∩ B es un conjunto, el conjunto formado por
el número 4, y no un número.
2. Consideremos en R el intervalo cerrado A = [1, 2] y el intervalo B = (2, 3]. Entonces A ∪ B = [1, 3] y
A ∩ B = ∅.
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Ejercicios propuestos
1. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9}. Expresar A y B por comprensión. Determinar:
(a) A ∪ B;
(b) A ∩ B;
2. Consideremos los siguientes subconjuntos de R: A = [0, 3], B = {x ∈ R : |x| < 1}, C = {x ∈ R : 3 ≤
x < 4}, D = N. Determinar:
(a) A ∪ B,
(b) A ∩ C,
(c) B ∩ C.
3. Sean A = {1, 2, a, {1, 2, 3}, 4}. Determinar si las siguietes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F).
(a) {1, 2, 3} ∈ A,
(c) {1, 2} ⊂ A
(e) {1, 2, 3, 4} ⊂ A
(b) {1} ∈ A,
(d) {1, 2, 3} ⊂ A,
(f) {1, 2, 4} ⊂ A.
4. Reproducimos los tres primeros axiomas del apunte de la Unidad 1. Leerlos atentamente.
• Axioma 1: Existe un conjunto no vacı́o que denotamos por E y que denominamos espacio. Los
elementos de este conjunto se denominan puntos. Existen además dos conjuntos no vacı́os R y P
cuyos elementos se denominan rectas y planos respectivamente.
• Axioma 2: Una recta es un subconjunto propio del espacio que tiene al menos dos puntos.
• Axioma 3: Dados dos puntos distintos, existe una única recta a la cual pertenecen.
Sean r una recta que pasa por un punto P y sea π un plano. Basándose en la información que brindan
los axiomas, completar con ∈ o ⊂.
(a) P..........r,
(c) r..........R,
(e) P..........E,
(b) r..........E,
(d) π..........P,
(f) P..........r ∪ π.
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