1. Generalidades sobre conjuntos

Departamento de Matemáticas - I.E.S. Aramo
1.
1.1.
1
Generalidades sobre conjuntos
Definición
Conjunto es una colección de objetos bien definidos. Estos objetos se llaman
elementos del conjunto.
1.2.
Pertenencia
Para expresar que “a.es un elemento del conjunto A, se escribe a ∈ A y se lee “a
pertenece a A”.
Para expresar que “b”no es un elemento de A, se escribe b ∈
/ A y se lee “b no
pertenece a A”.
1.3.
Determinación de conjuntos
Un conjunto puede quedar determinado por extensión y por comprensión.
Un conjunto está determinado por extensión cuando se enumeran sus elementos.
Un conjunto está determinado por comprensión si se da una propiedad caracterı́stica,
es decir, una propiedad que verifican sus elementos y sólo ellos.
1.4.
Inclusión de Conjuntos
Se dice que el conjunto A está contenido en B o está incluido en B , si todo
elemento de A pertenece a B.
Si A está contenido en B se escribe: A ⊂ B.
Si se verifica A ⊂ B, diremos que el conjunto A es un subconjunto de B.
1.5.
Conjuntos Universal y Vacı́o
El Conjunto Universal (o Conjunto Total) es aquel del que extraemos todos
nuestros conjuntos en una discusión determinada.
El Conjunto Vacı́o es un conjunto que no tiene elementos.
1.6.
Conjuntos Iguales
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales y se escribe A = B, si cada elemento
de A es un elemento de B y si cada elemento de B es un elemento de A. Por tanto:
A = B ⇐⇒ {A ⊂ B ∧ B ⊂ A}
( El sı́mbolo lógico “⇐⇒” se lee “si y solo si” y el sı́mbolo “∧” se lee “y”).
2
1o E.S.O.
1.7.
Notación de Conjuntos y representación
Un conjunto se denota con una letra mayúscula y un elemento genérico con una
letra minúscula.
Si el conjunto lo describimos por extensión encerramos entre llaves sus elementos.
Si el conjunto A lo describimos por comprensión , escribimos:
A = {x/x verifica p}
siendo p la propiedad caracterı́stica correspondiente; el sı́mbolo “/” se lee “tal que”.
El vacı́o se representa por ∅ o {}.
Para representar gráficamente los conjuntos usamos los diagramas de Venn: Consisten en encerrar los elementos de los conjuntos y subconjuntos en lı́neas cerradas.
1.8.
Ejercicios
1. Escribe por comprensión los conjuntos :
A = {1, 2, 4, 8, 16, 32, .....} y B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ......}
2. Escribe tres conjuntos por extensión y por comprensión.
3. Dado el conjunto A = {0, 1, a, b}, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son
1
ciertas? 0 ∈ A;
1∈
/ A;
b ∈ A;
c ∈ A;
a∈A
2
4. Sea el conjunto E = {x ∈ N/1 < x ≤ 60}. Escribe por extensión los siguientes
conjuntos:
A = {x ∈ E/ x es primo y x ≤ 30}
B = {x ∈ E/x es primo o x ≤ 30}
C = {x ∈ E/ x es primo}
5. De los siguientes pares de conjuntos indica los que son iguales :
a) {0, 1} y {1, 0}
b) {0} y ∅
c) {0} y {}
d ) {0, 1, 2} y {x/x(x − 1) = 0}
6. Sean los conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, b}, C = {a, b, c, d, e} . Justifica
cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas:
C 6⊂ B; A ⊂ B; B ⊂ A; B 6⊂ C; B ⊂ C; B 6⊂ A; C ⊂ B; A 6⊂ B; A ⊂ C;
B ∈ C; a ∈ A; d ⊂ C; b ∈ B; b ⊂ B; c ∈ B.
En el caso en que los sı́mbolos estén mal empleados, escrı́belos en forma correcta.
7. Justifica cuáles de las siguientes relaciones de inclusión son ciertas y cuáles son
falsas:
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3
a) {1, 3} ⊂ {3, 5, 7}
b) {0, 6, 12} ⊂ {x/x es múltiplo de 3}
c) {11, 121} ⊂ {x ∈ N/x > 11}
d ) {x ∈ N/ x + 8 = 16} ⊂ {2, 3, 5, 8}
8. Sean los conjuntos A, B y C de los que se sabe que:
A ⊂ B, B ⊂ C, a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, d ∈
/ A, e ∈
/Byf∈
/ C. De las siguientes
proposiciones justifica cuáles son verdaderas y cuáles son falsas. ¿Hay alguna
de la que no se pueda decir si es verdadera o falsa?. Ayúdate con un diagrama
: a ∈ C; b ∈ A; c ∈
/ A; d ∈ B; e ∈
/ A; f ∈ A.
2.
2.1.
Partes de un conjunto. Operaciones
Definición
Partes de un conjunto U es el conjunto de todos los subconjuntos de U. Se denota
por P(U).
2.2.
Unión
Dados dos subconjuntos A y B de U, (es decir dos elementos de P(U)), definimos
el subconjunto A ∪ B ( leemos “A unión B”), por:
A ∪ B = {x ∈ U/x ∈ A o x ∈ B}
2.3.
Intersección
Dados dos subconjuntos A y B de U,( es decir dos elementos de P(U)), definimos
el subconjunto A ∩ B ( leemos “A intersección B”), por:
A ∩ B = {x ∈ U/x ∈ A y x ∈ B}
2.4.
Complementario
Dado un subconjunto A de U, definimos complementario de A en U y le denotamos por A, al subconjunto de U:
A = {x ∈ U/x ∈
/ A}