FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR CÁTEDRA DE MATEMÁTICA PRIMER PRUEBA PARCIAL − 30 DE MAYO DE 2009 EJERCICIO I G G Dados: A (4,11,1) , E (8, 9,−2) , Q (21, −12,12) , u = (3,10, 0) , v = (0, 7, 3) y G w = (1, 2, 3) (a) Determine la ecuación reducida del plano π que pasa por A y es paralelo G G a los vectores u y v . (b) Determine el punto P proyección ortogonal de Q sobre el plano π . (c) Determine la distancia del punto Q al plano π . (d) Determine las ecuaciones reducidas de la recta s que pasa por E y es G paralela al vector w . (e) Halle el área del triángulo UPQB . Solución. Parte (a) ⎪⎧⎪x = 4 + 3λ (−10 3 ) ⎪⎪ π : ⎨y = 11 + 10λ + 7μ (1) ⎪⎪ ⎪⎪z = 1 + 3μ (−7 3) ⎩ 7 40 7 −10 (−3) x + y − z = − + 11 − ⎯⎯⎯ → 10 x − 3y + 7z = 14 3 3 3 3 Parte (b) G G n ⊥ π, n = (10, −3, 7) JJJG G JJJG (−17, 23, −11), (10, −3, 7) QA , n G −316 QP = G 2 n = (10, −3, 7) = (10, −3, 7) 158 158 n JJJG QP = −2(10, −3, 7) = (−20, 6, −14 ) JJJG P = Q + QP = (1, −6, −2) Parte (c) JJJG 2 2 dist (Q ,π) = QP = (−20) + 6 2 + (−14) = 2 158 Parte (d) s : x = 8 + t , y = 9 + 2t , z = −2 + 3t → x − 8 = y −9 z +2 = 2 3 ⎧y = 2x − 7 ⎪ s :⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩z = 3 x − 26 ⎧10 x − 3y + 7z = 14 ⎪ ⎪ ⎪ s ∩π:⎪ ⎨y = 2x − 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩z = 3 x − 26 10 x − 3 (2x − 7) + 7 (3 x − 26) = 14 → 25x = 175 → x = 7 ⇒ y = 7, z = −5 s ∩ π = {B } tal que B = (7, 7, −5) FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Parte (e) JJJG QP ⊥ π ⎫⎪ dist (P ,Q ) dist (P , B ) ⎪ ⇒UPQB rectángulo en Pl ⇒ A ⎬ PQB = 2 {B , P } ⊆ π⎪⎪⎪⎭ dist (P ,Q ) = 2 158 parte (c) dist (P , B ) = (−6, −13, 3) = 214 APQB = 158 214 = 4 8453 FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR CÁTEDRA DE MATEMÁTICA FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Ejercicio II Dada la cuádrica Ω de ecuación z = − x y + a 2 b2 2 2 (a) Determine a , b ∈ R+ sabiendo que (0, 2,1) ∈ Ω y (3, 2, 0) ∈ Ω (b) Dadas las rectas 3 r : x = − 3λ , y = 1 + 2λ , z = 2λ y s : x = 3 − t , y = 2 + 2t , z = 1 − 3t 2 Investigue si r ⊆ Ω y si s ⊆ Ω .(c) Determine la intersección de Ω con los planos de ecuaciones y = −2 , y = 2 , y z = −1 . Parte (c) Ω ∩ (y = −2) Ω ∩ (y = 2) ⎪⎧⎪y = −2 ⎪ ⎨ x2 ⎪⎪⎪z = − + 1 9 ⎪⎩ ⎪⎧⎪y = 2 ⎪ 2 ⎨ ⎪⎪z = − x + 1 9 ⎪⎩⎪ ⎧⎪y = −2 ⎪⎧⎪ ⎪⎪eje de simetría ⎪⎨ ⎪⎪ ⎪⎩⎪x = 0 ⎨ Parábola ⎪⎪vértice (0, −2,1) ⎪⎪ ⎪⎪⎩concavidad hacia abajo ⎧⎪y = 2 ⎪⎧⎪ ⎪⎪eje de simetría ⎪⎨ ⎪⎪⎩x = 0 ⎪⎪ ⎨ Parábola ⎪⎪vértice (0, 2,1) ⎪⎪ ⎪⎪⎩concavidad hacia abajo (d) Represente gráficamente el conjunto S tal que ⎧ ⎪ ⎪⎫ x 2 y2 S = ⎪⎨(x , y , z ) ∈ R3 : z = − 2 + 2 ; − 2 ≤ y ≤ 2 ; z ≥ −1⎪⎬ ⎪ ⎪ a b ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ -5 Parte (a) x 2 y2 + a 2 b2 4 (0, 2,1) ∈ Ω ⇒ 2 = 1 ⇒ b 2 = 4, b ∈ R+ ⇒ b = 2 b 9 22 9 (3, 2, 0) ∈ Ω ⇒ − 2 + 2 = 0 ⇒ 2 = 1 ⇒ a 2 = 9, a ∈ R+ ⇒ a = 3 a a 2 x 2 y2 Ω:z =− + 9 4 Ω:z =− Parte (b) ¿s ⊆ Ω ? ¿r ⊆ Ω ? 2 ⎛3 ⎞⎟ ⎜ 2 ⎜⎜⎝ 2 − 3λ⎠⎟⎟ (1 + 2λ) − + = 2λ 9 4 9 (1 − 2λ) 1 + 4λ + 4λ + = 2λ 4 4 9 2 − 2 1 − 4λ + 4λ 2 1 + 4λ + 4λ 2 − + = 2λ 4 4 1 − 4λ + 4λ 2 1 + 4λ + 4λ 2 − + = 2λ 4 4 8λ = 2λ 4 2λ = 2λ 0 = 0 Es una identidad ∴ r ⊆ Ω (3 − t ) 2 − − 9 (2 + 2t ) 2 + 4 = 1 − 3t 4 (1 + 2t + t 2 ) 9 − 6t + t 2 = 1 − 3t + 9 4 −9 + 6t − t 2 + 4 (1 + 2t + t ) + = 1 − 3t 9 4 −9 + 6t − t 2 + 9 + 18t + 9t 2 = 1 − 3t 9 24t + 8t 2 = 9 − 27t 2 8t 2 + 51t − 9 = 0 No es una identidad ∴ s ⊆Ω Ω ∩ (z = −1) ⎧z = −1 ⎧⎪z = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 → ⎪⎨ 2 ⎨ x ⎪⎪− + y = −1 ⎪⎪ x − y = 1 ⎪⎩⎪ 9 ⎪⎩⎪ 9 4 4 ⎪⎧⎪centro (0, 0, −1) ⎪⎪ ⎪⎪semiejes a = 3, b = 2 ⎪⎪⎪ ⎧⎪ x 2 y 2 ⎪ − Hipérbola : ⎨ =0 ⎪⎪asíntotas : ⎪⎨ 9 4 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎪z = −1 ⎪⎪ ⎪⎪⎩vértices (±3, 0, −1) 5 FACULTAD DE ARQUITECTURA − UDELAR CÁTEDRA DE MATEMÁTICA Parte (d)