Estabilidad Absoluta de Métodos Lineales Multipaso Relación 4

Estabilidad Absoluta de Métodos Lineales Multipaso
Relación 4. Análisis Numérico. 4 de Matemáticas
1) Consideremos la familia de l.m.m. siguiente:
h
yn+2 − (1 + a)yn+1 + ayn =
((5 + a) fn+2 + 8 (1 − a) fn+1 − (1 + 5a) fn )
12
i) Determinar los valores de a que hacen el método convergente.
ii) Estudiando el discriminate del polinomio de estabilidad, calcular los intervalos de
estabilidad absoluta y relativa.
2) Estudiando el signo del discriminante del polinomio de estabilidad de los l.m.m.:
h
yn+2 − (1 + a)yn+1 + ayn =
((3 − a) fn+1 − (1 + a) fn ) , −1 ≤ a < 1
2
Determinar sus intervalos de estabilidad absoluta y relativa.
3) Dada la familia uriparamétrica de l.m.m.
yn+3 + α (yn+2 − yn+1 ) − yn =
h
(3 + α)
2
(fn+2 + fn+1 )
i) ¿Para qué valores de α son los métodos convergentes?
ii) Calculando aproximaciones de segundo orden a las raı́ces de su polinomio de estabilidad, determinar la forma de sus intervalos de estabilidad absoluta y relativa.
4) Hallar el intervalo de estabilidad absoluta del método AB de 2 pasos:
i) Utilizando el criterio de Schur para polinomios.
ii) Usando el criterio de Routh-Hurwitz.
5) Estudiar el intervalo de estabilidad absoluta del método:
2
h
h
yn+1 = yn +
(fn + fn+1 ) +
(f 0n − f 0n+1 )
2
12
donde f 0 = fx + fy f . ¿Cuál es el orden de este método?
6) Dado un l.m.m. de segundo polinomio caracterı́stico σ(r) = r2 se pide:
i) Encontrar un polinomio ρ(r) de segundo grado para el que el método resulte de orden
2. ¿Es el método cero-estable?
ii) Calcular su constante de error.
iii) Encontrar su intervalo de estabilidad absoluta.
1
7) Utilizando la fórmula de cuadratura de Radau de orden dos
Z 1
1
3
1
∼
g(t)dt =
g(−1) +
g
2
2
3
−1
y la regla de los trapecios para aproximar los pasos intermedios.
i) Escribir un método RK.
ii) Estudiar su orden.
iii) Calcular su intervalo de estabilidad absoluta.
8) Comprobar que para Ns = 2 el método de Gragg puede escribirse como un método de
Runge-Kutta. Estudiar el orden del método obtenido y su estabilidad absoluta.
2