REOIM vol. 41 Problemas propuestos 201-205 Problema 201 (propuesto por Roberto Bosch Cabrera, C. de la Habana, Cuba) Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia c0 de centro O interior al cuadrilátero. Se consideran las circunferencias c1 (A; AO) (de centro A y radio AO); c2 (B; BO) ; c3 (C; CO) y c4 (D; DO) : Sean c1 \c2 = fP; Og ; c2 \c3 = fQ; Og ; c3 \c4 = fR; Og ; y c4 \c1 = fS; Og : Demostrar que PQRS es un paralelogramo. Problema 202 (propuesto por José Luis Díaz Barrero, Univ. Politécnica de Cataluña, Barcelona, España) Sean a; b; c las longitudes de los lados de un triángulo de perímetro 2. Demostrar que r p p p 4 4 4 8 3 a2 b2 sin C + b2 c2 sin A + c2 a2 sin B 2 : 4 Problema 203 (propuesto por Vicente Vicario García, Huelva, España) Es bien conocido que existen números irracionales ; tales que es p racional. Para la demostración clásica se parte del hecho de que 2 es irp p2 racional, y se considera el número 2 : Si este número es racional, ya tenemos identi…cados los irracionales ; que cumplen la condición del teorema. p p p2 2 2 , que es racional y se concluye la Si no es racional, consideramos demostración. Se pide dar una demostración constructiva alternativa y construir in…nitas parejas de números irracionales y tales que es un número racional. Problema 204 (propuesto por Pedro H.O. Pantoja, Univ. de Lisboa, Portugal) Demostrar que las ecuaciones 3x 1 = y 4 ; 3x + 1 = y 4 no tienen socuciones enteras positivas. Problema 205 (propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, Ávila, España) Sea ABC un triángulo rectángulo en A, con lados a > b c. Sean r el radio del círculo inscrito, R el del círculo circunscrito, y wa la bisectriz interior del ángulo A. Demostrar que c 2+ p 2 r 2bc b+c R+r c b () p 2 1 1+ p 2 r wa R+r p 2 b p : 2