Desde la orilla de un río se observa la copa de un árbol, situado en

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Desde la orilla de un río se observa la copa de un árbol, situado en la otra orilla, bajo un
ángulo de 60º. Si nos alejamos 8 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Calcula
la altura del árbol y la anchura del río.
Tenemos que averiguar h (altura del árbol) y x
(anchura del río). Para ello utilizaremos la fórmula de
la tangente. Observa que los triángulos formados por
la copa del árbol, su base y los respectivos puntos de
observación son rectángulos y, por tanto, puedo
plantear:
tag 60 =
h
h
y de igual forma tag 45 =
x
x+8
(tangente es igual a cateto opuesto partido por cateto
contiguo)
Recordemos que tag 60 = 3
y que tag 45 = 1 .
Sustituyo el valor de la tag60 en la primera ecuación y despejo la h.
3=
h
⇔h=x 3.
x
Una vez que tengo el valor de h, lo sustituyo en la segunda ecuación así:
tag 45 = 1 =
x 3
⇔ ( x + 8) = x 3 .
x+8
(
Agrupo
la
x
y
saco
factor
común:
)
x 3 − x = 8 ⇔ x 3 − 1 = 8 y finalmente despejo x:
x=
8
= 10,93 m.
3 −1
Sustituyendo este valor en la expresión de h calculamos directamente la altura del árbol:
h = x 3 = 10,93 3 = 18,93 m.
Inicio del problema
L.Roche Ramón, 2006
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