GUÍA DE MATEMÁTICA Unidad : Circunferencia y sus ángulos

GUÍA DE MATEMÁTICA
Unidad : Circunferencia y sus ángulos
Curso : 2° Medio
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA :
A
L2
C
O
D
L1 O = centro de la circunferencia
OA = OB = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
L1 = recta tangente a la circunferencia
L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
B
E
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy
importantes en su aplicación. Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Ángulos formado por dos
radios(Ángulo de centro)
B
Ox
b) Ángulos formado por dos
cuerdas(Ángulo inscrito)
c)
B
C


Ox
A
Relación entre el ángulo y el arco :

= AB
Relación entre el ángulo y el arco :

c) Los dos ángulos anteriores en una
misma circunferencia. El ángulo
inscrito mide la mitad del
ángulo de centro que
subtiende un mismo arco
B



Ox
A

x
O
Relación entre los ángulos
Relación entre los ángulos
 = 2 ,
AC
2
d) Varios ángulos inscritos formando
El mismo arco. Los ángulos
inscritos en el mismo arco
miden lo mismo
C

A
=
1

2
==
e) Ángulos formados por dos cuerdas
C
f)Ángulos formados por dos secantes
A
B
D
P

Ox
Ox

D
B
A
C
Medida del ángulo 
AC - BD
=
2
Medida del ángulo 
BC + AD
=
2
 es un ángulo exterior
 es ángulo interior
g) Ángulos formados por dos tangentes
A
Ox
C

D
h) Ángulo formado por una cuerda y una
tangente Ángulo semi-inscrito
A

P
Ox
B
B
Medida del ángulo  :
ACB - ADB
=
2
 es ángulo exterior
i)
Todo ángulos inscrito en una
semicircunferencia es recto
C
A
Medida del ángulo
AB
=
2
:
 es un ángulo semi-inscrito
j) Ángulos formado por una secante y una
tangente A


Ox
Ox
P
B
C
B
Medida del ángulo
=
:
90°
Medida del ángulo
AC - AB
=
2
:
 es un ángulo exterior
 es inscrito
k) Arcos formados por rectas paralelas
que cortan a una circunferencia
l) Ángulos opuestos de un cuadrilátero
inscrito :
D
A
Ox
C
B
Relación entre arcos
AB = CD
Relación entre ángulos :
 +  = 180°
I)
Clasifica los siguientes ángulos: en ángulo de centro, ángulo inscrito
ángulo semi-inscrito, ángulo interior , ángulo exterior.
1)
x es…………………….
4)
2)
3)
x es…………………….
x es…………………….
5)
6)
x es…………………….
7)
x es…………………….
8)
x es…………………….
x es…………………….
10)
11)
x es…………………….
x es…………………….
II)
x es…………………….
9)
x es…………………….
12)
x es…………………….
Resuelva los siguientes ejercicios.
1) x=?
2) x=?
3) ¿Cuál es la medida del ángulo ACB de
la figura?
4) Los arcos AC y BD de la figura
miden 144° y 76°. ¿Cuál es la
medida de APC?
5)
6) El arco CA de la figura mide 94°
y el arco BC mide 108°¿Cuál es
la medida del ángulo ACB?
7)
Si el arco CA =86° y el arco DB mide
144°¿Cuánto mide el ángulo APD?
8)
9)
10) El ángulo APD de la figura mide
75° y arco BD mide 95°¿Cuál es
la medida del arco AC?
11)
12)
13) ¿Cuál es el valor de
?
14)El ángulo APC mide 38° y arco
AC mide 145°¿Cuál es la medida del
arco BD?
15)
16) Si se sabe que α=35° y β=45°
¿Cuál es la medida de x?
17) SI <DAC = 48°, Calcula x
18) Arco BD=20° y <BCD= 15°;
arco EFA?
19) Calcula los valores de x e y
20) En la figura AB es diámetro
AB//CD. El arco DC mide 106°.¿
Cuánto mide el ángulo BAD?
Polígono inscrito en una circunferencia
Teorema
Si un cuadrilátero esta inscrito, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios
Polígono Circunscrito en una circunferencia
Teorema
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las medidas de dos lados
opuestos es igual a la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de los otros
dos lados
Ejercicios
1) Calcula el valorde x
2) Calcula el valor de x sabiendo que a= 10cm, b= 5cm y c=13cm
Sol: 1) 22 2) 18
Teorema de las cuerdas
Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia, el producto de los segmentos
determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en la otra
cuerda.
Ejercicio:
1) Calcula x
2) calcula x
3) Calcula x
Sol: 1) 10 2) 3 3) 8
Teorema de las secantes
Si dos rectas secantes interceptan a una circunferencia, el producto entre el segmento
exterior a la circunferencia con el segmento total en una de las secantes es igual al producto
de los correspondientes segmentos en la otra secante.
Ejercicios:
1) Calcula x
2) Calcula PD
3) Si PB=10cm
Sol: 1) 5cm 2) 1 3) 7cm
Teorema de la secante y la tangente
Si desde un punto exterior a una circunferencia, se traza una tangente y una secante, el
cuadrado del segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y el
segmento total en la recta secante.
III)
Resuelva los siguientes ejercicios.
1)Calcula PB
1) Si OA= 12,5cm, calcula x
3) Si OD == 10m, AP=6m, calcula CP
4)Calcula OA
7) En la circunferencia de la figura P,Q,R son los puntos
8)Si en la circunferencia de diámetro 30 cm ,
Tales que PQ=QR=15cm y PR=24cm, el radio de la
circunferencia mide:
la distancia desde el centro O de ella, hasta la
cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda
AB mide
I)
1) centro 2) exterior 3) inscrito 4) interior 5) Semi-inscrito
6) Inscrito 7) exterior 8) interior 9) Semi-inscrito 10) interior
11) Centro 12) exterior
II)
1) 100° 2) 80° 3) 75° 4) 34° 5) 125° 6) 79° 7) 65° 8) 160°
9) 60° 10) 115°
11) 240° 12) 42° 13) 55° 14) 69° 15) 100° 16) 80°
17) 48° 18) 50° 19) x= 50°, y= 40° 20) 18,5°
III) 1) 14
2) 12 3) 2
4) 14,5
5) 20
6) 2
7) 12,5
8) 12