Informe Diferencias Finitas(Newton Oficial).

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE CIENCIAS PURAS Y NATURALES
CARRERA DE INFORMÁTICA
ANALISIS NUMERICO MAT-156
EXPOSICIÓN
TEMA: INTERPOLACIÓN DIFERENCIA
FINITA (NEWTON)
DOCENTE: Lic. Brígida Carvajal Blanco
ESTUDIANTES:
 Univ. Alvaro Gabriel Duran Loayza
 Univ. Viviana Machaca Tola
 Univ. Carlos Moisés Zabaleta Copa
FECHA DE ENTREGA DEL INFORME: 22/10/2012
LA PAZ-BOLIVIA
Interpolación de Newton en diferencias finitas
Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes
científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus
descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos
desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz,
uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió
cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas
la ley de la gravitación universal.
Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de
1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire.
Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al
enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de
1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de
bachiller.
Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia de peste, Newton
volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667. Recibió el título de profesor en
1668. Durante esa época se dedicó al estudio e investigación de los últimos avances en
matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de
mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó descubrimientos fundamentales que le fueron de
gran utilidad en su carrera científica.
Interpolación
Cuando los datos están tabulados de forma que la diferencia entre dos valores consecutivos del
vector de abscisas es constante, o sea, sus valores son equidistantes. Quiere decir cuando la
distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla, el
polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez. Para este
propósito se introduce un parámetro , definido en
, con el cual se expresa el factor
productora:
∏
Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como:
( )
∑
∏(
)
( )
A menudo se es tenido la oportunidad de estimar valores intermedios entre datos precisos. El
método más común que se usa para este propósito es la interpolación del polinomio. L formula
general para el polinomio de n-ésimo es:
( )
Para n+1 puntos, hay uno y solo un polinomio de orden n que pasa a través de todos los puntos.
Por ejemplo solo hay una línea recta que conecta dos puntos.
Aunque hay uno y solo un polinomio de n-ésimo orden que ajusta n+1 puntos, existe una variedad
de formatos matemáticos de los cuales este polinomio puede expresarse, tenemos dos
alternativas que son muy adecuadas para la implementación en computadora: Los polinomios de
Newton y de LaGrange. Nosotros veremos la interpolación de Newton en diferencias finitas.
Forma general de la interpolación de polinomios de newton
En general parta ajustar un polinomio de n – ésimo orden a n+1 datos.
( )
(
)
(
)(
)
(
)
De la ecuación 1 en términos de s y h. para esto observe que :
y que restyando
(
) en ambos miembros de
se obtiene:
(
)
(
)
Por ejemplo si =1,
(
)
En forma completa
( )
∑
∏(
)
( )
Esta última ecuación puede simplificarse aún más si se introduce el operador lineal , conocido
como operador lineal en diferencias hacia adelante y definido sobre ( )como.
( )
(
)
( )
La segunda diferencia hacia adelante puede obtenerse como sigue:
(
( ))
( )
(
(
)
(
( (
)
(
)
( ))
( )
)
(
)
(
)
)
( )
( )
Estas diferencias se conocen como diferencias finitas adelante. Análogamente cabe definir𝝯 como
operador lineal de diferencias hacia atrás; así la primera diferencia hacia atrás se expresa como:
( )
( )
(
)
La segunda diferencia hacia atrás queda:
( )
(
( )
( ))
( )
( ( )
(
(
)
))
(
)
Al aplicar 𝝙 al primer valor funcional f[x0] de una tabla se tiene:
( )
[ ]
[
]
[ ]
[
]
Por lo que:
( )
De manera general
( )
[ ]
Por ejemplo.
[ ]
(
)
[ ]
(
)
(
)(
)
(
(
))
[ ]