EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Extremos relativos Definiciones de extremos relativos: Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sea (x0 , y0) un punto interior de A. Se dice que: 1) f(x0 , y0) es un máximo relativo de f si existe algún entorno del punto (x0 , y0) tal que f(x , y) ≤ f(x0 , y0) para todo (x , y) de dicho entorno. 2) f(x0 , y0) es un mínimo relativo de f si existe algún entorno del punto (x0 , y0) tal que f(x , y) ≥ f(x0 , y0). En ambos casos se dice que f alcanza en (x0 , y0) un extremo relativo cuyo valor es f(x0 , y0). 2 2 −(x +y ) f(x,y)=x.e f(x,y) ≤ f(x0,y0) OZ 0.5 0 −0.5 2 1 0 f(x,y) ≥ f(x0,y0) −1 OY 2 1 0 −1 −2 −2 OX Interpretación gráfica Extremos relativos Definición de punto crítico: Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sea (x0 , y0) un punto interior de A. Se dice que (x0 , y0) es un punto crítico de f si se verifica una de las siguientes condiciones: 1) Se anulan las derivadas parciales, es decir, ∂f ( x0 , y0 )= 0 ∂x 2) No existe ∂f ( x0 , y0 )= 0 ∂y ∂f ( x0 , y0 ) ∂x o bien no existe ∂f ( x0 , y0 ) ∂y Teorema: Si f(x0 , y0) es un extremo relativo, entonces (x0 , y0) es un punto crítico de f. Extremos relativos Observación: La función no tiene porque alcanzar un extremo relativo (local) en un punto crítico. z = y2 - x2 ∂f ∂f (0,0) = (0,0) = 0 ∂x ∂y (0,0) es un punto crítico con f(0,0) = 0. Si embargo, ⎧ f ( x,0) < 0, x ≠ 0 ⎨ ⎩ f (0, y ) > 0, y ≠ 0 Punto de silla: punto crítico de f en el que f no alcanza un extremo relativo. Extremos relativos Criterio de las derivadas parciales segundas: Supongamos que f es una función con derivadas parciales segundas ∂f ∂f continuas en un entorno del punto (x0 , y0), y (0,0) = (0,0) = 0 . ∂x ∂y Para determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de f, utilizamos el hessiano: ∂2 f ( x0 , y0 ) 2 ∂x H ( x0 , y0 ) = 2 ∂ f ( x0 , y0 ) ∂x∂y Proposición: i) Si H(x0 , y0) > 0 y ii) Si H(x0 , y0) > 0 y ∂2 f ( x0 , y0 ) > 0 ∂x 2 ∂2 f ( x0 , y0 ) < 0 ∂x 2 ∂2 f ( x0 , y0 ) ∂y∂x ∂2 f ( x0 , y0 ) 2 ∂y entonces f tiene en (x0 , y0) un mínimo relativo. entonces f tiene en (x0 , y0) un máximo relativo. iii) Si H(x0 , y0) < 0, entonces (x0 , y0) es un punto de silla. iv) Si H(x0 , y0) = 0 este criterio no aporta información. Extremos absolutos Definiciones de extremos absolutos: Sea f: A → R, A ⊂ R2 y sean (xm , ym) y (xM , yM) ∈ A. Se dice que: 1) f alcanza el máximo absoluto en el punto (xM , yM) si para todo (x , y) ∈ A se tiene que f(x , y) ≤ f(xM , yM). En este caso, al valor zM = f(xM , yM) se le llama máximo absoluto de f en A. 2) f alcanza el mínimo absoluto en el punto (xm , ym) si para todo (x , y) ∈ A se tiene que f(x , y) ≥ f(xm , ym). En este caso, al valor zm = f(xm , ym) se le llama mínimo absoluto de f en A. Teorema de Weiertrass: Sea f: A → R, con A ⊂ R2 un conjunto cerrado y acotado. Si f es continua en A, entonces f alcanza el máximo y el mínimo absolutos en el conjunto A, es decir, existen (xm , ym) y (xM , yM) ∈ A tales que f(xm , ym) ≤ f(x,y) ≤ f(xM , yM) para todo (x , y) ∈ A. Extremos absolutos Proposición: Si f alcanza un extremo absoluto en el punto (x0 , y0) interior al dominio de f, entonces f tiene en (x0 , y0) un extremo relativo.