Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Cálculo 2 Curso 2016 Práctico 5: Extremos relativos Consideremos una función f : A ⊂ Rn → R y a ∈ A. Recoremos que 1. f tiene un máximo relativo en a si existe > 0 tal que f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ B ∗ (a, ). 2. f tiene un mínimo relativo en a si existe > 0 tal que f (a) ≤ f (x) para todo x ∈ B ∗ (a, ). 3. f tiene un extremo relativo en a si tiene un máximo o mínimo relativo. Recordemos además que si f es diferenciable en a (con a punto interior de A) y presenta un extremo relativo en dicho punto, entonces a es un punto crítico de f , es decir que ∇f (a) = 0. Sin embargo el recíproco no es cierto, es decir que una función diferenciable puede tener puntos críticos que no sean extremos relativos, a estos le llamaremos puntos silla. Ejercicio 1. Hallar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones: 1. f (x, y) = 1 + x2 − y 2 . 2. f (x, y) = x3 − 3xy 2 + y 3 . 3. f (x, y) = x3 + y 3 − 3xy. Ejercicio 2. Se considera la función f : R2 → R, f (x, y) = 3x4 − 4x2 y + y 2 . 1. Probar que la restricción de f a cualquier recta por el origen tiene un mínimo relativo en dicho punto. 2. Probar que f no posee un mínimo relativo en el origen. Proponer otros ejemplos que cumplan con la misma condición. Ejercicio 3. Sea f : R → R una función con derivada segunda continua que cumple f 0 (a) = 0 y f 00 (0) 6= 0. Probar que la función h : R2 → R definida por h(x, y) = f (x + y) − f (x − y) tiene un punto silla en (a, 0). Ejercicio 4. Probar que si f : R → R es una función C 1 que tiene un único extremo relativo que es máximo local, entonces es máximo absoluto. Ahora considerar la función g : R2 → R definida por g(x, y) = 3xey − x3 − e3y y probar que tiene un único extremo relativo que es un máximo local, pero sin embargo no tiene máximo absoluto. Ejercicio 5. En los casos en que existan, hallar el máximo y el mínimo absolutos en todo R2 de cada una de las siguientes funciones: 1. f (x, y) = 1 − y 2 − x4 . 1 2. f (x, y) = (x2 + y 2 ) e−(x 2 +y 2 ) 3. f (x, y) = (x2 − y 2 ) e−(x 2 +y 2 ) . . Ejercicio 6. Sea f (x, y) = (3−x)(3−y)(x+y−3). Hallar todos sus puntos críticos y clasificarlos. ¿Tiene f extremos absolutos en todo R2 ? Ejercicio 7. Determinar los extremos absolutos y relativos, y los puntos de silla de la función f (x, y) = xy(1 − x2 − y 2 ) en [0, 1] × [0, 1]. Ejercicio 8. Dados (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), parejas de números reales con x1 , . . . , xn no todos iguales, hallar una función f : R → R de la forma f (x) = ax + b que minimice el “error cuadrático"E(a, b), dado por i=n X E(a, b) = (f (xi ) − yi )2 . i=1 ¿Por qué es importante que x1 , . . . , xn no sean todos iguales? Ejercicio 9. Estudiar extremos relativos y absolutos de la función f : Rn × Rm → R definida por f (x, y) = kxk2 − kyk2 . Ejercicio 10. Consideremos la función f : B → R definida por f (x, y) = x2 + y, donde B = B[0, 1] ⊂ R2 . 1. Observar que f tiene máximo y mínimo absoluto en B. 2. Hallar el máximo y el mínimo de dicha función. Sugerencia: estudiar por separado el interior y la frontera de B. Para el caso de la frontera, parametrizarla por una curva. 3. En caso de que el máximo o el mínimo se alcance en la frontera, dibujar el gradiente de f en dicho punto. 2