PRUEBAS, RESULTADOS y CONCLUSIONES

PROGRAMACIÓN EN EL ENTORNO CUDA EN APLICACIONES DE MECÁNICA COMPUTACIONAL.
PRUEBAS, RESULTADOS Y CONCLUSIONES
PRUEBAS, RESULTADOS y CONCLUSIONES
“When you have eliminated all which is impossible, then whatever remains, however
improbable, must be the truth.”
“The Adventure of the Blanched Soldier.”
Sir Arthur Conan Doyle (1859-1930)
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I.
PRUEBAS:
Una vez concluida la etapa de desarrollo del código, se ha de
comprobar la eficiencia de la tecnología CUDA aplicada al problema de
partida. Recordemos que la motivación de nuestro proyecto era
analizar las posibilidades de la tecnología CUDA aplicada al cálculo
numérico para los problemas de mecánica computacional. En esta etapa
final se ha de comprobar cuán útil podía ser esta tecnología como
nueva herramienta a integrar junto a las demás disponibles.
Para proceder de manera sistemática se definieron las condiciones
para la realización de las pruebas.
METODOLOGÍA:
a. EQUIPO:
Se procedió a realizar las pruebas en el equipo del laboratorio
descrito anteriormente. El equipo tenía instalado el Sistema
Operativo “Windows 7” por defecto. Sin embargo para las necesidades
del proyecto se decidió instalar Linux.
La primera opción fue instalar ”Ubuntu” en sus versiones 9.04, 9.10 o
bien 10.04, pero este sistema operativo dio problemas para reconocer
y deshabilitar el sistema de discos RAID. Sin embargo con el sistema
“OpenSuse11.2”, se pudo instalar el sistema en un disco, quedando el
segundo disponible para futuras aplicaciones.
Tras la instalación del Sistema Operativo y de los paquetes básicos,
se procedió a instalar las herramientas propias para programación en
CUDA y el programa MATLAB.
b. Datos de entrada:
Mediante la herramienta de mallado de MATLAB se generaron 4 modelos
con aumento gradual del número de elementos.
Este modelo de mallado se somete al
generar los archivos correspondientes:
programa
“TrataMalla”
para
1. coordenadas.dat.
2. Triangulos.dat
3. dirichlet.dat y
4. neumann.dat
Estos 4 archivos constituyen los datos de entrada a los programas de
prueba, mediante los cuales queda definido enteramente el modelo de
mallado. En la tabla 1 se resumen las características fundamentales
de los 4 modelos.
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Magnitud aproximada de la
diferencia entre las
coordenadas de 2 puntos
contiguos:
MALLADO
Nodos
Número de Puntos
aproximado por
eje.
Triángulos
A
10145
19968
0,009928279
100
B
40257
79872
0,004984014
200
C
160385
319488
0,002496998
400
D
640257
1277952
0,001249749
800
Tabla 1: Mallados y sus características fundamentales.
La tabla 1 también nos ofrece una idea de la magnitud mínima
aproximada de la solución que se espera en cada mallado. Recordemos
que la magnitud de la solución es aproximadamente la misma que la
magnitud de la diferencia entre coordenadas. Un error aceptable
debería ser, al menos, inferior en un orden de magnitud.
c. SISTEMA DE REFERENCIA.
La solución exacta del sistema es conocida de antemano, debido a la
sencillez del sistema.
Mediante MATLAB se generó para cada mallado un archivo que contenía
el vector solución exacta llamado “exacta.dat”. Este archivo será
usado para comprobar la exactitud de las soluciones ofrecidas tanto
por el propio MATLAB como por los códigos desarrollados y permitirá
la medición del error absoluto de las soluciones ofrecidas. La
solución exacta cuyos valores están en el intervalo [-1; 1] es usada
para la representación del error absoluto de las aplicaciones
comparadas.
En la Fig. 1 se representa la solución exacta del sistema.
Fig. 1: Representación de la solución exacta del
sistema.
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Por otro lado el sistema de referencia con respecto al cual se van a
comparar las soluciones basadas en CUDA es el generado por el código
MATLAB inicial. Esta aplicación realiza las siguientes tareas de
manera secuencial:
-
Lee los archivos de entrada.
-
Genera la matriz de rigidez.
-
Genera el vector de términos independientes.
-
Resuelve el sistema A·X=B mediante el método directo usando la
operación “x[Lib]=A[Lib]\b[Lib]”, para los nodos No Dirichlet.
-
Ofrece en forma de archivo de texto la solución.
Cabe destacar que el operador “\” resuelve el sistema mediante un
método directo. Sin embargo su sustitución por métodos iterativos
“bicgstab” y “cg” de la biblioteca de MATLAB no modificaron la
exactitud ni el tiempo de ejecución de manera apreciable.
Este código se modificó para medir el tiempo de ejecución total
mediante la inserción de las instrucciones “tic” y “toc”. Pero
también se usaron estas instrucciones para medir el tiempo de
ejecución de la instrucción “x[Lib]=A[Lib]\b[Lib]”para compáralo con
el tiempo invertido en las iteraciones del Solver CUDA.
De nuevo en MATLAB se usan los archivos de salida y se representan
mediante un programa sencillo donde se comparan la solución, la
solución exacta y los errores de manera gráfica.
d. Sistemas DE PRUEBA:
Las pruebas básicas consisten en medir el rendimiento de la
aplicación global, que al igual que el código MATLAB realiza los
pasos conducentes a la obtención del vector solución partiendo de los
archivos de mallado. En concreto la secuencia de tareas es la
siguiente:
-
Lee los archivos de entrada.
-
Genera la matriz de rigidez bruta.
-
Elimina de la matriz las redundancias y los valores nulos
obteniendo A.
-
Genera el vector de términos independientes B.
-
Reordena la Matriz de rigidez A para resolver en los nodos NoDirichlet.
-
Resuelve el sistema A·X=B mediante un método iterativo del
subespacio de Krylov.
-
Reordena el vector solución mediante la incorporación de las
condiciones de Dirichlet.
-
Ofrece en forma de archivo de texto la solución.
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Los sistemas de prueba usan precisión “float” para todas las tareas
excepto para el bloque de resolución, donde se utiliza precisión
“double”.
Los sistemas de pruebas se distinguen en cuanto al tipo de método
iterativo que implementa el Solver. No se incluyó el Solver CUSP
porque no ofrecía suficiente flexibilidad para integrarlo fácilmente
en el conjunto de la aplicación. Por tanto los sistemas de pruebas
serían:
-
Solver CUBLAS basado en el método del Gradiente Conjugado (CG)
con precisión “double” en el método iterativo.
-
Solver CUBLAS basado en el método del bi-Gradiente Conjugado
Estabilizado (bi-cgstab) con precisión “double” en el método
iterativo.
e. MAGNITUDES MEDIDAS:
Nuestro objetivo es medir el rendimiento y eficiencia de las
soluciones basadas en CUDA con respecto a una aplicación comercial
por un lado y por otro compararlas entre sí. Para ello se compararán
las siguientes características:
VELOCIDAD: Este es el objetivo principal al evaluar la Tecnología
CUDA. Se pretende conocer hasta qué punto la paralelización y la
ejecución en la GPU es capaz de acelerar las aplicaciones
desarrolladas comparadas con un Software comercial como MATLAB. La
velocidad se mide mediante el tiempo de ejecución de la aplicación
completa; es decir desde la carga de los archivos generados por
trataMalla hasta la generación del archivo que contiene el vector
solución.
CONSUMO DE MEMORIA: Una limitación importante de las aplicaciones es
el tamaño de las matrices que son capaces de mantener en memoria y de
manejar. En este punto no debemos ignorar que hay siempre memoria que
se usa para operaciones auxiliares o adyuvantes y que disminuye la
memoria disponible.
PRECISIÓN: Partiendo de la limitación de la GPU en cuanto a que
maneja precisión de tipo “float” de 32 bits y “double” de 64 bits,
así como los cambios de formato debidos a los volcados y lecturas de
archivos de texto, se decidió estudiar este aspecto.
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Las características de la representación de los valores en las
máquinas en función de la precisión según el estándar de la IEEE para
aritmética en coma flotante (IEEE 754-2008) se muestran en la tabla
2.
Modelo
Signo
Mantisa
exponente
Total
en
bits
Bits
de
precisión
16 bits
1
10
5
16
11
32 bits(float)
1
23
8
32
24
64 bits(double)
1
52
11
64
53
80 bits(extended)
1
64
15
80
64
128 bits(Quadruple)
1
112
12
128
113
Tabla 2: Representación en función de la precisión según (IEEE 7542008).
Para los formatos “float” y “double” esto implica que el error mínimo
-24 a
-7
-53
debido a la precisión de la máquina es de 2
(aprox. 10 ) y de 2
b
-16
(aprox. 10 ) respectivamente. Estas serían las cotas de error
absoluto teórico para las operaciones simples.
Matlab soporta el formato “long double” de 80 bits. Este formato es
soportado por lenguaje C convencional, sin embargo no por las
tarjetas gráficas CUDA de prueba. En este caso el error de máquina
-64 c
-19
sería 2
(aprox. 10 )
En nuestro modelo para los mallados analizados, el error mínimo en
las operaciones del Solver iterativo dependerá además del tamaño del
vector. Este error sería la cota mínima de la norma del residuo según
i Nodos
la fórmula:
2
min
, obteniendo así los valores incluidos en
i 1
la tabla 3.
a
-24
2 = 5,9604644775390625e-8.
-53
2 = 1,1102230246251565404236316680908e-16.
c -80
2 = 5,4210108624275221700372640043497e-20.
b
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Mallado
Num. Nodos
Cota
aproximada de
error en float
Cota
aproximada de
error en
double
Cota
aproximada
de error en
extended
A
10145
1e-5
1e-14
1e-17
B
40257
2e-5
2e-14
2e-17
C
160385
4e-5
4e-14
4e-17
D
640257
8e-5
8e-14
8e-17
Tabla 3: Cota del residuo debido a la precisión de la máquina según el
estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754-2008.
Estas serían las cotas aproximadas de los residuos y se debe tener en
cuenta su magnitud a la hora de definir los parámetros de parada de
las
iteraciones
del
solver
iterativo.
Recordemos
que
estos
interrumpen sus iteraciones en 3 circunstancias:
-
Cuando se alcanza una norma de residuo igual o inferior a la
cota de precisión exigida.
-
Cuando se supera un máximo número de iteraciones.
-
Cuando la norma del residuo se hace demasiado grande.
ERROR: Es una medida del ajuste del resultado con respecto al valor
exacto. Cuando expresamos la exactitud de un resultado se expresa
mediante el error absoluto que es la diferencia entre el valor
obtenido y el valor exacto. Sin embargo para representar la magnitud
de este error con respecto al valor exacto usamos el error relativo.
En nuestro caso no se puede representar gráficamente el error
relativo, por que la solución exacta se anula en varias regiones del
dominio de resolución.
El error en nuestro sistema será debido a:
-
Error del método de resolución que se basa en aproximaciones.
-
Error de los cálculos que se realizan con una precisión limitada.
Para su medida representaremos el error absoluto de los sistemas de
prueba y del de referencia.
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