Fórmula de Newton en diferencias divididas

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Tutorial de Análisis Numérico
Interpolación : Fórmula de Newton en
diferencias divididas
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Jesús Garcı́a Quesada
Departamento de Informática y Sistemas
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Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
35017 Campus de Tafira, España
JJ
II
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Email : jgarcia@dis.ulpgc.es
2 de Octubre de 2000, v0.3
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Índice General
1 FÓRMULA DE NEWTON EN
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
3
Informática
2 PROBLEMAS
Soluciones a los Problemas
10
13
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Contenido
JJ
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I
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1. FÓRMULA DE NEWTON EN
DIFERENCIAS DIVIDIDAS
Sea pk (x) el polinomio de interpolación en los puntos x0 , x1 , . . . , xk (grado máximo = k).
Considerando pk (x), pk−1 (x) y su diferencia :
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qk (x) = pk (x) − pk−1 (x)
vemos que para los puntos x0 , x1 , . . . , xk−1 tenemos que :
pk−1 (xi ) = yi = pk (xi ),
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06i6k−1
Contenido
y también que para el siguiente punto xk tenemos que pk (xk ) = yk , sin conocerse el
valor a priori que pueda tener pk−1 (xk ).
Por tanto, el polinomio qk (x) verifica :
qk (xi ) = pk (xi ) − pk−1 (xi ) = yi − yi = 0,
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06i6k−1
Ahora bien, qk (x) es un polinomio de grado máximo k ya que es la resta de dos
polinomios, pk (x) de grado k y pk−1 (x) de grado k − 1 y según se acaba de ver se anula
en los k puntos anteriores tiene con lo cual se puede expresar de la siguiente forma :
qk (x) = ak (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 ) = ak
k−1
Y
(x − xi )
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i=0
Por otra parte, en el punto xk se cumple :
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qk (xk ) = pk (xk ) − pk−1 (xk ) = ak (xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )
y despejando entonces ak de ésta última identidad tenemos :
ak =
yk − pk−1 (xk )
(x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )
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con lo cual podemos poner :
pk (x) = pk−1 (x) + qk (x)
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donde lo que parece complicado es calcular el ak , que serı́a el coeficiente de xk en el
polinomio pk (x) pero para esto se puede utilizar las diferencias divididas:
Contenido
Definición 1. Dada la función f de la cual se conoce su valor en los puntos x0 , x1 , . . . , xk ,
se llama diferencia dividida de f en los puntos x0 , x1 , . . . , xk al valor ak = f [x0 , x1 , · · · , xk ]
y se calcula recursivamente como sigue :
f [xi ] = f (xi ) = yi
f [xi+1 ] − f [xi ]
f [xi , xi+1 ] =
xi+1 − xi
f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+k ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+k−1 ]
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] =
xi+k − xi
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Lema 1.1.
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] =
f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+k ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+k−1 ]
xi+k − xi
Demostración. Sea pj (x) el polinomio de grado 6 j que coincide con f (x) en los puntos
xi , xi+1 , . . . , xi+j y sea qk−1 (x) el polinomio de grado 6 k − 1 que coincide con f (x) en
los puntos xi+1 , xi+2 , . . . , xi+k . Entonces :
p(x) =
x − xi
xi+k − x
qk−1 (x) +
pk−1 (x)
xi+k − xi
xi+k − xi
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es un polinomio de grado 6 k que verifica :
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p(xj ) = f (xj ),
para j = i, i + 1, . . . , i + k
ya que :
xi+k − xi
pk−1 (xi ) = yi = f (xi )
xi+k − xi
xi+k − xi
Para i + k : p(xi+k ) =
qk−1 (xi+k ) = yi+k = f (xi+k )
xi+k − xi
y para cada j = i + 1, . . . , i + k − 1 :
xj − xi
xi+k − xj
p(xj ) =
qk−1 (xj ) +
pk−1 (xj ) =
xi+k − xi
xi+k − xi
xj − xi
xi+k − xj
xi+k − xi
+
yj =
yj = yj
xi+k − xi xi+k − xi
xi+k − xi
Para i : p(xi ) =
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Por tanto, por la unicidad del polinomio de interpolación, tendremos que p(x) = pk (x) y
entonces
f [xi , xi+1 , · · · , xi+k ] = coeficiente término principal de pk (x) =
coeficiente término principal de qk−1 (x) coeficiente término principal de pk−1 (x)
−
=
=
xi+k − xi
xi+k − xi
f [xi+1 , xi+2 , · · · , xi+k ] − f [xi , xi+1 , · · · , xi+k−1 ]
=
xi+k − xi
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¿Cómo organizar el cálculo de la tabla de diferencias divididas?
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Ejemplo. El cálculo de las diferencias divididas para cuatro puntos se ordenarı́a como
sigue :
Solución:
x0 −→ y0 = f [x0] &
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f [x0 , x1] &
x1 −→ y1 = f [x1 ] %
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f [x0 , x1 , x2] &
f [x1 , x2 ] %
x2 −→ y2 = f [x2 ]
f [x0 , x1 , x2 , x3]
f [x1 , x2 , x3 ] %
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f [x2 , x3 ]
x3 −→ y3 = f [x3 ]
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Podemos abordar entonces el cálculo del polinomio de interpolación en los puntos
(x0 , y0 ), (x1 , y1 ),(x2 , y2 ),. . . , (xn , yn ) de la siguiente forma :
p0 (x) = a0 = f [x0 ] = f (x0 ) = y0
p1 (x) = p0 (x) + a1 (x − x0 ) = f [x0 ] + a1 (x − x0 ) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 )
p2 (x) = p1 (x) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) = f [x0 ] + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) =
= f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 )
..
.
pn (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )(x − x1 ) + · · · + an (x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ) =
pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + f [x0 , x1 , x2 ](x − x0 )(x − x1 ) + · · ·
+ f [x0 , x1 , · · · , xn ](x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 )
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o también de forma más concisa :
pn (x) =
n
X
i=0
f [x0 , x1 , . . . , xi ]
i−1
Y
(x − xj )
j=0
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que se denomina fórmula de interpolación de Newton en diferencias divididas.
Para la evaluación del polinomio de interpolación en su forma de Newton en diferencias
divididas pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + · · · + f [x0 , x1 , . . . , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x −
xn−1 ) usaremos el anidamiento del esquema de Ruffini–Horner :
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pn (z) = (· · · (an (z − xn−1 ) + an−1 )(z − xn−2 ) + · · · + a1 )(z − x0 ) + a0
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para la evaluación en un punto z, y donde se ha puesto ak = f [x0 , . . . , xk ].
Obsérvese que se necesitan n productos y 2n? sumas/restas.
Ejemplo. Obtener una fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros números
naturales.
n
P
Solución: Sabemos que
k 2 = n(n+1)(2n+1)
y como queremos obtenerla por interpolación
6
k=1
construimos un conjunto de valores según los diferentes valores de n. Como el polinomio
ha de ser el mismo para cualquier posible ordenación de los puntos, elegimos el siguiente
orden:
n
3 −→
2 −→
5 −→
1 −→
4 −→
y f [xi , xi+1 ]
14
9
5
50/3
55
54/4
1
29/3
30
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
f [xi , . . . , xi+3 ] f [xi , . . . , xi+4 ]
23/6
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El polinomio es por tanto:
23
1
(x − 3)(x − 2) + (x − 3)(x − 2)(x − 5) =
6
3
3
2
2x + 3x + 6x
x(x + 1)(2x + 1)
=
=
6
6
como cabrı́a esperar.
p(x) =14 + 9(x − 3) +
(1)
Informática
Ejemplo. Obtener por interpolación el valor para x = 3 conocidos los valores x0 = 0, y0 = −1;
x1 = 1, y1 = 0; x2 = 2, y2 = 7; x3 = 4, y3 = 63.
Solución:
Por la fórmula de Newton tenemos, sustituyendo ya el valor x = 3 :
x
y f [xi , xi+1 ] f [xi , xi+1 , xi+2 ] f [xi , . . . , xi+3 ]
0 −1
1
1
0
3
7
1
2
7
7
28
4 63
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El valor del polinomio es por tanto:
p(3) = −1 + 1.(3) + 3.3.(2) + 1.(3).(2).(1) = 26
que es lo mismo que se obtuvo con Lagrange, lógicamente.
(2)
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2. PROBLEMAS
Problema 1. Los siguientes datos están tomados de un polinomio de grado 6 5. ¿Cúal
es el grado del polinomio?
xi
yi
−2 −1 0 1 2 3
−5 1 1 1 7 25
Problema 2. Determinar el número de sumas/restas y el número de productos/divisiones
que se necesitan para:
1. calcular las diferencias divididas para n + 1 nodos.
2. calcular (eficientemente) el polinomio de Newton, una vez se conocen las diferencias
divididas.
Problema 3. Construir la tabla de diferencias divididas para los puntos
x
−0.2
0.5
0.1
0.7
0.0
f (x) 1.3940 1.0025 1.1221 1.0084 1.1884
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y usarla para estimar f (0.15) usando:
(a) el polinomio de grado dos obtenido con los tres primeros puntos
(b) el polinomio de grado dos obtenido con los tres últimos puntos
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(c) el polinomio de grado tres obtenido con los cuatro primeros puntos
(d) el polinomio de grado tres obtenido con los cuatro últimos puntos
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(e) el polinomio de grado cuatro
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Referencias
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Pantalla completa
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[YG73b] David M. Young and R.T. Gregory. A Survey of Numerical Mathematics, volume II. Dover Publications, New York, 1973.
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Soluciones a los Problemas
Problema 1.
La tabla de diferencias divididas es:
x
y f [xi , xi+1 ]
−2 −5
6
−1 1
0
0
1
0
1
1
6
2
7
18
3
25
f [xi , xi+1 , xi+2 ]
f [xi , . . . , xi+3 ]
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f [xi , . . . , xi+4 ]
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3
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1
0
0
1
3
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0
1
6
y por tanto el polinomio tiene grado tres, siendo éste:
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p(x) = − 5 + 6(x + 2) + 3(x + 2)(x + 1) + 1(x + 2)(x + 1)x =
= x3 − x + 1
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como se puede constatar a partir de los nodos dados.
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Problema 2. Probar que es una fórmula de O(n2 ):
El número de sumas/restas necesarias para calcular las diferencias divididas es n(n+1)
y el de divisiones es la mitad n(n + 1)/2.
Para evaluar eficientemente el polinomio en su forma de Newton:
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pn (x) = f [x0 ] + f [x0 , x1 ](x − x0 ) + · · · + f [x0 , x1 , . . . , xn ](x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xn−1 )
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son necesarias 2n sumas/restas y n productos, ya que se considera el anidamiento del
esquema de Ruffini–Horner :
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pn (z) = (· · · (an (z − xn−1 ) + an−1 )(z − xn−2 ) + · · · + a1 )(z − x0 ) + a0
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para la evaluación en un punto z, y donde es ak = f [x0 , . . . , xk ].
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Problema 3(a) 1.0919
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Problema 3(b) 1.0973
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Problema 3(c) 1.0941
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Problema 3(d) 1.0951
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Problema 3(e) 1.0920. El valor real es f (0.15) = 1.0956, ya que los valores corresponden
a la función:
1
f (x) =
sen(x + 1)