Problemas de los elementos tradicionales en altas frecuencias

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Eléctrica
Principios de Electrónica para Altas Frecuencias
Autor: Nicolás Reyes
Profesor encargado: Dr. Javier Ruiz del Solar
Fecha: 24 de Enero del 2005
1
Índice
1 Análisis de los problemas que se presentan en RF
1.1 Los cables
1.2 Las resistencias
1.3 Los condensadores
1.4 Las inductancias
1.5 Problemas que surgen en alta frecuencia
2 Líneas de Transmisión
2.1 Ecuaciones de una L.T.
2.2 Línea de transmisión terminada en una carga
2.3 Parámetros S
2.4 La carta de Smith
2.5 Líneas de transmisión acopladas
2.6 Líneas de transmisión planas
2.6.1 Microstrip
2.6.2 Guía de onda coplanar
2.6.3 Stripline
3 Elementos pasivos utilizados en altas frecuencias
3.1 Elementos concentrados
3.1.1 Resistencias
3.1.2 Condensadores
3.1.3 Inductancias
3.2 Elementos distribuidos
3.2.1 Condensadores
3.2.2 Inductancias
4 Adaptadores de impedancia
4.1 Adaptador con elementos concentrados
4.2 Adaptador de cuarto de onda
4.3 Adaptador con líneas en circuito cerrado
4.4 Adaptadores de impedancia y filtros
5 Filtros en microondas
5.1 Estructuras resonantes
5.2 Tipos de filtros frecuentemente utilizados: Chebyshev y Butterworth
5.3 Filtros con saltos de impedancia
5.4 Filtros con elementos redundantes
5.5 Filtros con secciones de líneas
5.6 Filtros con impedancia variable
5.7 Filtro coaxial
6 Acopladores e híbridos
6.1 Híbridos en 90°
6.2 Híbridos en 180°
2
7 Anexos
7.1 Diseño y simulación de filtros para 5[GHz]
7.1.1 Diseño del filtro
7.1.2 Simulación de un filtro ideal
7.1.3 Filtros con saltos de líneas
7.1.4 Filtros peineta
7.1.5 conclusiones
7.2 El diagrama de Smith
7.2.1 Cálculo del coeficiente de reflexión
7.2.2 Cálculos de impedancias y admitancias
7.2.3 Cálculos para adaptadores de impedancias
8 Referencias
9 Bibliografía
9.1 Libros
9.2 Revistas
9.3 Sitios en la web
9.4 Software
3
1 Análisis de los problemas que se presentan al trabajar con altas
frecuencias
Cuando se trabaja en bajas frecuencias, es decir frecuencias menores a 1 MHz, es
posible considerar los elementos con los que se trabajará como elementos ideales.
Lamentablemente, al aumentar la frecuencia de trabajo ya no es adecuado seguir utilizando
esta simplificación, y como resultado se producen extraños efectos en el comportamiento de
los circuitos diseñados.
Por ejemplo, al aumentar la frecuencia, los condensadores comienzan a comportarse como
inductores, mientras estos últimos se vuelven condensadores. Hasta los simples cables se
comportan de formas extrañas. Para entender estos problemas y tratar de evitarlos durante
el proceso de diseño es necesario comprender el origen físico de ellos y de esa forma poder
modelar adecuadamente los elementos a utilizar.
1.1 Los cables
En general, los cables de cobre utilizados en electrónica presentan una pequeña
resistencia dada por:
R=
l
Aσ
(1.1)
Donde ‘l’ es el largo del cable, σ la conductividad y A el área del cable por donde circula la
corriente.
Como la conductividad del cobre es 5.88E7 [S/m] es posible considerar que la resistencia de
un cable de cobre es nula. Al aumentar la frecuencia la corriente empieza a circular
solamente por los bordes del conductor (efecto pelicular) disminuyendo el área efectiva A
por donde circula la corriente. Esto se traduce en un aumento de la resistencia por unidad de
largo del cable.
Por otro lado, cuando circula una corriente por un cable se genera un campo magnético
alrededor de éste, el cual a su vez induce un campo eléctrico y por tanto una corriente en el
conductor que se opone a la corriente original. Este efecto se conoce como auto inductancia
y puede ser descrito como: [1]
 4l

L = 0.0046l * log  − 0.75 
d

(1.2)
Donde ‘l’ es el largo del cable y ‘d’ es el diámetro del cable. Este efecto generalmente es
muy pequeño, del orden de 1[nh/cm] de cable. El problema surge debido a que la
impedancia del cable aumenta linealmente con la frecuencia.
Es necesario destacar que el análisis realizado es para un cable dispuesto en línea recta.
Claramente, el valor de la auto inductancia del cable varía con la disposición espacial de
este.
Finalmente, es posible modelar adecuadamente un cable como:
Figura 1.1: Circuito equivalente de un cable
Donde L representa el fenómeno de auto inductancia del cable y R es la resistencia del cable.
Generalmente es posible despreciar R frente a L, pero siempre es necesario recordar su
existencia.
4
1.2 Las resistencias
Las resistencias también presentan los dos efectos nombrados para los cables (auto
inductancia y efecto pelicular).
Por otra parte, las resistencias típicamente usadas en electrónica de baja frecuencia se
componen de material particulado. En altas frecuencias los pequeños granos de material se
comportan como miles de pequeños condensadores, que pueden ser modelados por un
condensador en paralelo a la resistencia. La magnitud de este efecto es muy variable, lo que
imposibilita estimarlo adecuadamente.
El circuito equivalente de una resistencia sería:
Figura 1.2: Circuito equivalente de una resistencia
1.3 Los condensadores
Los condensadores presentan también el fenómeno de auto-inductancia, debido a las
uniones del condensador con el circuito. Estas uniones también presentan una cierta
resistencia.
Todos los condensadores presentan pérdidas en el dieléctrico. Generalmente estas pérdidas
son del orden de 100.000 MΩ, por lo que pueden ser despreciadas tanto en baja frecuencia
como en alta frecuencia.
El circuito equivalente de un condensador sería de la siguiente forma:
Figura 1.3: Circuito equivalente de un condensador
Donde L y R representan respectivamente la inductancia y resistencia de las uniones del
condensador con el resto del circuito, C es condensador propiamente tal y R’ representa las
fugas en el dieléctrico.
1.4 Las inductancias
El comportamiento de una inductancia en alta frecuencia es muy variable
dependiendo del tipo de bobina que se esté considerando. Si consideramos una inductancia
construida en base a un cable enrollado sobre un núcleo cilíndrico de aire veremos aparecer
una serie de efectos.
5
En primer lugar aparece la resistencia propia del cable que se utilizó. Además aparece una
serie de capacitancias parásitas entre una espira y otra, tal como se ilustra en la figura 1.4
Figura 1.4: Modelo físico de una bobina
Finalmente, el circuito equivalente de este elemento quedara compuesto por condensadores,
resistencias y una inductancia. Tal como se muestra en la siguiente figura:
Figura 1.5: Circuito equivalente de una bobina
1.5. Problemas que surgen en alta frecuencia
Un primer problema son las llamadas resonancias espontáneas. Todos los circuitos
equivalentes antes analizados, se encuentran compuestos por resistencias, condensadores e
inductancias. Los elementos parásitos, provocan la aparición de circuitos resonantes LRC no
considerados en el diseño; generando comportamientos de filtro pasa banda o rechaza
banda, y en casos de circuitos con componentes activos, es decir aquellos que presentan
ganancias, se generan osciladores indeseados que pueden dañar el circuito.
Estos comportamientos son llamados resonancias espontáneas y constituyen uno de los
grandes problemas que se presentan al trabajar en Radio Frecuencias. Es absolutamente
necesario ser cuidadosos en el diseño para que la frecuencia de operación no se encuentre
en las cercanías de la frecuencia de resonancia de algún elemento.
A modo de ejemplo veamos el caso de una resistencia. Considerando el modelo equivalente
presentado anteriormente, se obtiene la siguiente impedancia equivalente para el elemento:
Z=
R 2 + ( jωL ) 2
(1 − ω 2 LC ) + (ωRC) 2
(1.3)
Se observa que para una frecuencia ω =
1
LC el denominador de la expresión anterior se
vuelve mínimo alcanzando Z su valor máximo.
6
Para visualizar mejor este fenómeno se graficó el módulo de Z en decibeles, en función de la
frecuencia; para distintos valores de R. Para ello se considero un condensador parásito de 1
[pF] y una inductancia de 1[nH]. En el mismo gráfico se incluyó la gráfica de una resistencia
ideal de 10[Ω].
Figura 1.6: Comportamientos resonantes de distintas resistencias
Salta a la vista la existencia de una frecuencia de resonancia dada por:
f =
1
≈ 5[ GHz]
2π LC
(1.4)
En general se aprecian tres zonas de comportamiento; en primer lugar, para bajas
frecuencias el módulo de la impedancia se mantiene constante tratándose de un
comportamiento tipo resistencia.
En una segunda zona la impedancia crece con la frecuencia lo que corresponde a un
comportamiento tipo inductivo. Pasada la frecuencia de resonancia, la impedancia decrece
con la frecuencia tratándose, entonces, de un comportamiento capacitivo.
Se observa que el efecto de resonancia cobra mayor importancia para resistencias pequeñas.
Como se aprecia en el gráfico, la resistencia de 100[Ω] se comporta relativamente bien
hasta los 300[MHz]; en cambio, la resistencia de 1[Ω] tiene un comportamiento no resistivo
en todo el espectro analizado.
Es posible realizar un análisis similar para los otros elementos [1].
El segundo problema que surge al trabajar en altas frecuencias tiene que ver con una de las
simplificaciones que normalmente se realizan para trabajar en electrónica. Es decir, que un
elemento se presuponga concentrado. Para que esta aproximación sea valida se debe
cumplir que el tamaño físico del elemento en cuestión sea menor que la longitud de onda en
que se esta trabajando, en al menos un orden de magnitud.
Considerando que la longitud de onda en el vacío de una señal de 10[GHz] es cercana a 3
[cm] se tiene que los elementos a utilizar deben ser de un tamaño menor a 1[mm]. En caso
contrario, los elementos deberán ser tratados como elementos distribuidos.
7
Como se verá más adelante, esta limitación ha sido superada a través del desarrollo
de elementos cada vez más pequeños para ser usados en RF (Radio Frecuencias). Esto ha
sido posible gracias al desarrollo de nuevos materiales con excelentes características
eléctricas.
De todas formas, es claro que los cables y/o pistas de un circuito impreso deben ser
considerados como elementos distribuidos y por tanto ser analizados como línea de
transmisión y no como nodos. Como ayuda para esto se presentará un capitulo con un breve
resumen acerca de líneas de transmisión.
8
2 Líneas de transmisión
Como se expuso anteriormente, al trabajar con altas frecuencias las pistas de un
circuito impreso o los cables que unen dos circuitos no pueden ser considerados como
simples nodos, sino que deben ser tratados como líneas de transmisión. En el presente
capítulo se presentará un resumen de los conceptos y fórmulas que es necesario manejar
para entender satisfactoriamente los fenómenos que se presentan en electrónica de RF. Se
utilizará un enfoque de circuito equivalente y no un enfoque basado en la teoría
electromagnética. Para un análisis más profundo del tema se recomienda [2]; aunque los
conceptos básicos se pueden encontrar en muchos libros, en particular en [3] [4].
2.1 Ecuaciones de una Línea de transmisión
En una línea de transmisión se presentan diversos fenómenos. El primero
corresponde a la auto inductancia que presenta el cable y es representado por una
inductancia por unidad de longitud L. El segundo efecto a considerar es la capacitancia de la
línea respecto a tierra, que es representada por el condensador C. Finalmente es necesario
considerar las pérdidas que se producen en la línea. Existen dos principales fuentes de
pérdidas, el calentamiento de la línea representado por una resistencia serie R, y las
corrientes de pérdida hacia tierra representadas por una admitancia G.
Figura 2.1: Circuito equivalente por unidad de una línea de transmisión
Al desarrollar las ecuaciones de voltaje y corriente se obtiene:
∂V( X )
∂X
∂I ( X )
∂X
= − ( R + j ωL ) I ( X )
(2.1)
= −( G + j ωC)V( X )
(2.2)
Realizando algunos reemplazos se obtiene la siguiente ecuación para el voltaje a lo largo de
la línea:
∂ 2 V( X )
∂X
2
− γ 2V( X ) = 0
(2.3)
Donde γ corresponde a la constante de propagación de la onda y se define como:
1
γ = [ ( R + jωL )( G + jωC ) ] 2
(2.4)
9
La solución de la ecuación (2.3) para el voltaje corresponde a:
V ( X ) = V + e − γx + V − e γx
(2.5)
Trabajando de forma similar las ecuaciones (2.1) y (2.2) se obtiene la siguiente solución
para la corriente en la línea:
I ( X ) = I + e −γx + I − e γx
(2.6)
Donde I+ e I- se relacionan con V+ y V- a través de Z0, la impedancia de línea de la siguiente
forma:
Z0 =
V + V−
R + j ωL
=
=
I+ I−
G + jωC
(2.7)
La solución de la ecuación para los voltajes se compone de dos ondas viajeras que se
propagan por la línea, una de izquierda a derecha y la otra en sentido inverso. Estas ondas
se propagan con una velocidad de fase dada por v fase
=
ω
= fλ g .
γ
A continuación veremos qué sucede con estas ondas cuando la línea de transmisión es
terminada en una discontinuidad, caracterizada por una impedancia Z al final de la línea.
2.2 Línea de transmisión terminada en una carga
Si una línea de transmisión de largo L e impedancia Zo tiene conectada en su
extremo final una carga ZL tal como lo indica la figura (2.2).
Figura 2.2 Línea de transmisión alimentando una carga
En este caso, parte de la onda incidente en la carga será reflejada. Se define el coeficiente
de reflexión como la razón entre la onda incidente y la onda reflejada:
Γ( X ) =
V− e γx V− 2γx
=
e = Γ0 e 2γx
−γ x
V+ e
V+
(2.8)
Donde Γ0 corresponde al coeficiente de reflexión en la carga, es decir x=0.
Se define la impedancia a lo largo de la línea como el cuociente entre el voltaje y la corriente
en un punto cualquiera de la línea:
Z( X) =
V( X )
I(X)
(2.9)
10
Reemplazando las ecuaciones (2.5), (2.6) y (2.8) en (2.9), y considerando que la
impedancia en x=0 tiene que ser igual a la impedancia ZL de la carga, se obtiene la siguiente
expresión para el coeficiente de reflexión en la carga:
Γ0 =
ZL − Z0
ZL + Z0
(2.10)
Por otra parte la impedancia equivalente de la línea vista desde –L será:
Z in = Z ( − L ) = Z 0
Z L + jZ 0 tanh(γL )
Z 0 + jZ L tanh(γL )
(2.11)
Muchas veces es posible despreciar las pérdidas de la línea, luego la parte real de γ se puede
considerar como cero. En este caso, la constante de propagación queda como:
γ = jβ
(2.12)
Y la impedancia equivalente de la línea sería:
Z in = Z 0
Z L + jZ 0 tan( βL)
Z 0 + jZ L tan( βL)
(2.13)
La conclusión más importante de este desarrollo para las líneas de transmisión, es la
necesidad de utilizar adaptadores de impedancia para conectar una carga a una línea.
Si una onda que viaja por una línea de transmisión llega a una carga distinta a Z0 (la
impedancia de la línea), una fracción importante de la potencia será reflejada hacia la
fuente, mientras que otra fracción de la potencia será entregada efectivamente a la carga. Es
claro que la máxima transferencia de potencia se logra cuando la impedancia de la carga es
igual a la impedancia de la línea.
Desarrollando las ecuaciones anteriores, se obtiene que la potencia transmitida a la carga en
función del coeficiente de reflexión corresponde a:
Pt = Pin (1 − Γ 2 )
(2.14)
Al trabajar con circuitos que operan en RF es necesario utilizar adaptadores de impedancia
que impidan que la potencia entregada a la carga sea reflejada.
En un sistema en régimen permanente se produce una onda estacionaria de voltaje. Si
tratamos un poco la ecuación (2.5) llegamos a la siguiente expresión para el voltaje en la
línea:
1
V( X )
φ 2

= V+  (1 + Γ ) 2 − 4 Γ sen 2 ( βx + ) 
2 

(2.15)
Donde φ es el ángulo del coeficiente de reflexión Γ.
Notemos que cuando no hay reflexión, es decir Γ=0, no existe onda estacionaria, o mejor
dicho la amplitud de la onda es cero, y el voltaje en toda la línea es V+. A mayor reflexión
mayor será la amplitud de la onda. Para visualizar este fenómeno se define la razón de onda
estacionaria como el coeficiente entre el máximo y el mínimo voltaje existentes en la línea:
VSWR =
Vmax 1 + Γ
=
Vmin 1 − Γ
(2.16)
11
2.3 Parámetros S
Para visualizar rápidamente las reflexiones y transmisiones de potencia que se
producen en un sistema es conveniente trabajar con los parámetros S o de Scattering de
dicho sistema.
Los parámetros S permiten visualizar el comportamiento de una red de dos entradas en
función de sus coeficientes de reflexión y transmisión.
Figura 2.3: Los parámetros de Scattering
Se definen matricialmente como:
V1−   S11
 − = 
V2   S 21
S12  V1+ 
 
S 22  V2+ 
(2.17)
De la definición es claro que S11 es el coeficiente de reflexión del puerto 1 de la red, S22 es el
coeficiente de reflexión del puerto 2. En cambi0 S12 y S12 son respectivamente el coeficiente
de transmisión desde el puerto 1 al 2 y desde el 2 al 1.
Considerando que la red no presenta pérdidas ni ganancias y dadas las definiciones de los
coeficientes de reflexión t transmisión, se debe cumplir que:
2
S11 + S12
2
=1
y
2
S 22 + S 21
2
=1
(2.18)
A partir de otras propiedades del sistema es posible determinar otras propiedades de la
matriz, como por ejemplo la simetría, cuando estamos en presencia de un sistema simétrico.
Esta definición es ampliable al caso de redes de más de 2 puertos [10].
Existen transformaciones que permiten a partir de la matriz S determinar los parámetro Z, Y
o ABCD del sistema [21].
2.4 La carta de Smith
Otra herramienta útil para trabajar cómodamente las reflexiones de onda que se
producen en RF es la carta de Smith.
Esta es una herramienta gráfica ampliamente utilizada para realizar cálculos rutinarios que
aparecen en el proceso de diseño en RF y Microondas. Fue inventada en 1939 por P.H.
Smith, un ingeniero de los laboratorios Bell.
12
La matemática que dio origen a esta carta corresponde a lo siguiente:
Se define la impedancia normalizada como
___
Z
Z=Z
(2.19)
= R + jX
0
Luego la expresión para el coeficiente de reflexión resulta ser [11]:
_
Γ = Γr + jΓi =
Z −1
_
=
Z +1
R + jX − 1
R + jX + 1
(2.20)
Despejando se obtiene:
2
R 

2
 1 
 Γr −
 + Γi = 

R +1 

 R + 1
( Γr
2
2
1
2

1
− 1) +  Γi −  =  
X

X
(2.21)
2
(2.22)
La ecuación (5) corresponde a un círculo en el plano Γ, centrado en
Todos estos círculos son denominados círculos de resistencia constante.
A su vez la ecuación (6) representa círculos centrados en
R
1
y de radio
.
R +1
R +1
1
1
de radio
. Estos círculos son
X
X
de X constante.
Al graficar estos círculos en el plano complejo Γ resulta la carta de Smith
Figura 2.4: La carta de Smith.
Dada la construcción de la carta de Smith resulta clara la facilidad para calcular coeficientes
de reflexión a partir del valor de la impedancia normalizada de la carga.
Al situar el valor de la carga en el plano de Smith es inmediato el valor del coeficiente de
reflexión [12].
Por ejemplo en la figura (2.5) se ubicó el punto de impedancia normalizada 0.5+0.5j.
El coeficiente de reflexión corresponde al vector que une el punto ubicado anteriormente con
el centro del plano complejo Γ.
13
Figura 2.5: La carta de Smith
En los anexos (7.2) se presentan en mayor detalle algunos ejemplos de utilización de
la carta de Smith.
2.5 Líneas de transmisión acopladas
Otra configuración especial con que generalmente se trabaja en circuitos de
microondas son las líneas acopladas. Se dice que dos líneas están acopladas cuando se
encuentran físicamente tan cerca, que se produce una interacción electromagnética no
despreciable entre las dos líneas. Analizando desde un punto de vista de circuitos
equivalentes, ésta interacción puede ser descrita por dos fenómenos principales [5].
El primero corresponde a la inductancia mutua entre las líneas. El campo magnético
producido por una línea es enlazado, en parte, por la otra línea. Esto es descrito en el
circuito equivalente agregando una inductancia mutua L12 y L21 en cada línea. Si la
construcción física de las líneas es idéntica, es posible considerar el sistema como simétrico
y por tanto los valores L12 y L21 serán idénticos.
El segundo corresponde a la capacitancia que se produce entre los dos conductores aislados
por uno o más materiales dieléctricos. Esto es considerado a través de un condensador C12
entre las líneas.
Con estas consideraciones el circuito equivalente de las dos líneas acopladas resulta ser:
Figura 2.6: Circuito equivalente de dos líneas acopladas
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Resolviendo de forma similar a (2.1) se encuentra:
∂ 2V1 ( X )
∂X
2
+ ω ( LC − L12 C12 )V1 ( X ) + ω ( L12 C − LC12 )V2 ( X )
(2.17)
+ ω ( L12 C − LC12 )V1 ( X ) + ω ( LC − L12 C12 )V2 ( X )
(2.18)
2
∂X 2
∂ 2 V2 ( X )
2
2
2
Para resolver do forma simple estas ecuaciones se definen las siguientes variables:
Ve =
1
(V1 + V2 )
2
Vo =
Reemplazando se obtiene:
∂ 2 Ve( X )
∂X 2
∂ 2Vo( X )
∂X 2
1
(V1 − V2 )
2
(2.19)
(2.20)
+ ω ( L + L12 )( C − C12 )V1( X )
2
+ ω ( L − L12 )( C + C12 )V1 ( X )
2
(2.21)
Es notable que a través del cambio de variables sea posible encontrar dos ecuaciones
desacopladas que se pueden resolver de forma separada, para luego reconstruir la solución
original. Este método es denominado como el método de la solución par e impar. La
ecuación (2.20) se denomina solución par y la (2.21) es la impar. Notemos que cada
ecuación posee una constante de propagación distinta y una impedancia de línea distinta.
El caso más utilizado en circuitos de microondas es el de una línea alimentada con un voltaje
V, que se acopla con otra que se encuentra con un extremo a tierra. Es necesario, entonces,
resolver ambos modos por separado y luego sumar las soluciones, tal como lo indica la
figura siguiente.
Figura 2.7: Método de las soluciones par e impar
Con el fin de encontrar las soluciones para los voltajes en ambas líneas es necesario utilizar
las transformaciones inversas a (2.19).
15
2.6 Líneas de transmisión planas (Planar Transmisión Lines)
Hasta el momento, hemos tratado las línea de transmisión en forma bastante
genérica, ahora veremos las líneas de transmisión más utilizadas en RF y microondas, que
corresponden a las denominadas líneas planas. Se llama de esa forma a todas las L.T. que se
componen de un conductor plano que se encuentra sobre un medio dieléctrico que aísla el
conductor de un plano de tierra.
Este tipo de líneas corresponde en la actualidad la base de los circuitos impresos para alta
frecuencia (MMIC Monolithic Integrated Microwave circuits).
Existen distintos tipos de líneas planas, destacando las líneas de microstrip, quizás las más
utilizadas en la actualidad.
2.6.1 Microstrip
Es la L.T. más utilizada en la construcción de circuitos impresos para microondas y
RF. Se trata de una línea rectangular de cobre de ancho w y alto t, posada sobre un medio
dieléctrico de espesor h. Bajo el medio dieléctrico se encuentra una placa de cobre conectada
directamente a tierra.
Figura 2.5: Línea de Microstrip
Para determinar los parámetros de la línea de microstrip es necesario realizar un cuidadoso
estudio Electro-Magnético del problema. Para ello, se asume que los campos se propagan en
un modo TEM [4]; siendo rigurosos esto no es cierto, pues las ondas se propagan por un
medio no simétrico, de todas formas es posible asumir que se trata de un modo casi-TEM.
Para tener una aproximación a los parámetros de la línea, es necesario resolver la ecuación
de Laplace ∇2φ = 0, con las adecuadas condiciones de borde.
Para frecuencias mayores a 1[GHz] este enfoque deja de ser una buena aproximación y es
necesario resolver ∇2φ + k2φ = 0.
Afortunadamente estos problemas están resueltos y es posible disponer de un set de
ecuaciones que permiten encontrar los valores de W/h y εeff si se conoce Zo y εr o de forma
inversa [6]. Los resultados de estas ecuaciones se encuentran tabulados, y por tanto es
posible relacionar la impedancia de la línea con las dimensiones físicas de ella en forma
rápida utilizando la Figura 2.6.
16
Figura 2.6: método gráfico para determinar la impedancia de una línea de microstrip. Imagen
extraída de [6]
También es posible encontrar software especializado que realiza estos cálculos en forma casi
instantánea (Microwave Office).
Los resultados obtenidos no varían significativamente al variar el alto ‘t’ de la línea de
cobre, de todas formas [3] propone ajustes a las fórmulas para considerar esta variable.
Las ventajas que presenta la utilización de microstrip son numerosas; destacan su facilidad
de construcción y su bajo costo respecto a otras tecnologías similares, además de que
numerosas discontinuidades se encuentran caracterizadas, y por tanto, es posible utilizarlas
sin necesidad de realizar largos y engorrosos cálculos. Otra ventaja es la facilidad para
integrar elementos activos en el mismo substrato.
Quizás una de las decisiones más importantes en el diseño de un circuito impreso de alta
frecuencia sea la del substrato a utilizar. Actualmente existen una amplia variedad de
materiales con constantes dieléctricas que van desde 2 hasta 15 εo otras variables a
considerar son las propiedades térmicas del material y las pérdidas por corriente
superficiales que presenta. En [4] [6] se encuentran tablas resumen de las propiedades de
los materiales más utilizados hoy en día.
2.6.2. Guía de onda coplanar
En la guía de onda coplanar, los planos de tierra están al lado del conductor en lugar
de estar abajo como en la línea de microstrip.
Una de las ventajas que presenta ésta configuración es la facilidad para realizar conexiones
a tierra, conexión que en microstrip debe ser realizada a través de agujeros en el substrato.
Una segunda ventaja es que presentan una inductancia por unidad de largo mucho menor
que en el caso de las líneas de microstrip. Permitiendo, de esa forma, utilizar impedancias
de líneas muy bajas, inalcanzables si se utiliza microstrip, pues las líneas deberían ser de un
ancho infactible.
Como desventajas presentan mayores pérdidas por dispersión y por corrientes a tierra.
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Figura 2.7 Guía de onda coplanar
2.6.3 Stripline
Es el tipo más antiguo de líneas planas. Fue inventado en los años 50’. En este caso
el conductor se encuentra entre dos planos de tierra, tal como lo indica la figura (2.8). Esto
permite que el sistema sea simétrico y luego exista efectivamente un modo TEM. El gran
problema que presenta es una mayor dificultad de construcción respecto al microstrip. La
técnica más utilizada de construcción es realizar un proceso igual a la construcción de un
microstrip para luego cubrirlo con una placa dieléctrica con un plano de tierra en su parte
superior, igual a la que se utilizo como substrato para el microstrip. El resultado de este
procedimiento es una especie de “sándwich”. Es necesario ser cuidadoso para que no queden
burbujas de aire entre las placas.
Figura 2.8: Stripline
18
3 Elementos pasivos utilizados en RF
Como vimos anteriormente, al trabajar en RF o microondas, los componentes
utilizados en bajas frecuencias presentan diversos tipos de problemas. Por lo tanto, para
obtener buenos resultados en el diseño de circuitos de alta frecuencia, es necesario utilizar
componentes especialmente diseñados para operar en esa frecuencia.
Existen dos metodologías para elegir los elementos a utilizar, la primera de ellas consiste en
seguir utilizando elementos concentrados, es decir, cuyo tamaño sea menor a una longitud
de onda. La segunda es utilizar elementos distribuidos.
La primera estrategia presenta la ventaja de utilizar elementos pequeños, permitiendo
disminuir el tamaño del circuito a realizar. Además estos elementos presentan un mayor
ancho de banda que los elementos distribuidos, es decir, se comportan como estaba
planeado para un rango de frecuencias mayor que los elementos distribuidos. Como
desventajas presentan mayores pérdidas al trabajar en altas frecuencias, además de
mayores costos.
Por lo tanto para circuitos de baja RF, se prefiere utilizar elementos concentrados, en cambio
para altas frecuencias se prefieren los elementos distribuidos. En todo caso la solución más
utilizada hoy en día es la de circuitos que utilizan ambos tipos de elementos.
El desarrollo de este tipo de circuitos para trabajar en microondas ha sido posible gracias a
las actuales técnicas fotolitográficas, que han permitido el desarrollo de elementos
concentrados hasta los 60 [GHz].
Independiente del tipo de elementos que se utilicen, es imposible eliminar los elementos
parásitos, pero es posible que los valores de estos sean muy pequeños y muchas veces
despreciables, aún en altas frecuencias.
3.1 Elementos concentrados
3.1.1 Resistencias
Las resistencias utilizadas RF y microondas son llamadas resitencias de film (Thin
Film Resistor) y se construyen utilizando Nitrato de Tantalio (TaN) o nitrato de cromo (CrN)
como material resistivo.
Una ventaja que presentan estas resistencias es la facilidad para integrarlas al circuito,
depositando el material sobre el substrato [30].
También es posible disponer de chips de resistencia conocida [31]. De todas formas es
imposible eliminar totalmente la capacitancia parásita de estas resistencias, la que es
causada por la interacción entre el material conductor y el dieléctrico utilizado como
substrato. Una buena elección de éste ayuda a minimizar el efecto capacitivo; en los chips
resistores se utiliza silicio, vidrio, cuarzo o alumina como materiales de substrato. De esta
forma, es posible disponer de resistencias con condensadores parásitos tan pequeños como
0.01 [pF].
Por otra parte, para aplicaciones muy sensibles es posible encontrar chip resistores con una
tolerancia del orden de 0.01.
19
Figura 3.1 Estructura interna de un chip resistor
3.1.2 Condensadores
Básicamente, existen tres tipos básicos de condensadores: chips condensadores,
condensadores interdigitalizados y condensadors MIM (Metal Insulate Metal).
Los chips condensadores pueden tener una amplia gama de estructuras internas y por tanto
muchas características eléctricas. Para utilizar correctamente el condensador, es necesario
conocer los parámetros del circuito equivalente de éste, generalmente entregados por el
fabricante.
Para construir condensadores relativamente grandes, en un espacio reducido se utilizan
materiales cerámicos de constantes dieléctricas de 100ε0 los que además casi no presentan
corrientes de fuga.
Para lograr condensadores pequeños se utilizan los condensadores realizados en microstrip,
como los que se muestran en la Figura 3.2.
Figura 3.2: (a)Condensador interdigitalizado; (b) condensador de fin de línea
Estas realizaciones distan de ser condensadores ideales. Por ejemplo, el condensador de fin
de línea de la Figura 3.2(b) presenta dos capacitancias a tierra debido a la interacción entre
el plano de tierra y el conductor de la línea. Además existe una inductancia debida al paso
de corriente por el condensador. Circuitos equivalentes y ecuaciones de diseño para este
tipo de estructuras se encuentran en [33].
Los condensadores MIM son utilizados en circuitos integrados para microondas, pues pueden
ser fácilmente construidos sobre un substrato. Constan de una placa de metal sobre la que
20
se deposita una delgada capa de material dieléctrico, luego se deposita una placa de
conductor, tal como se ve en la Figura 3.3
Figura 3.3: Condensador MIM, (a) esquema, (b)Realización física
Como materiales dieléctricos se utilizan SiO2 SI3N4, materiales que presentan una alta
resistencia al paso de corriente, y por tanto, se puede decir que no tienen pérdidas [32].
3.1.3 Inductancias
La forma más simple de realizar una inductancia es a través de una línea de alta
impedancia, de (2.7) sabemos que la impedancia de una línea sin pérdida viene dada por:
Z0 =
L
C
(3.1)
Si esta impedancia es grande entonces L>>C y podemos considerar el segmento de línea
como una inductancia. En la Figura 3.4 se muestra este tipo de inductancias realizada en
una línea de microstrip.
Figura 3.4: Línea de alta impedancia
Otra implementación común de inductor realizado en microstrip corresponde a líneas
ubicadas de tal forma que realizan un camino casi cerrado. El campo magnético inducido al
interior de este camino será enlazado por el mismo conductor, produciéndose así un efecto
inductivo.
Un ejemplo de este tipo de inductores se muestra en la figura 3.5.
Es posible encontrar ecuaciones de diseño para estos tipos de inductores en [34]
Figura 3.5: inductor de 4 vueltas en Microstrip [33]
21
Para realizar inductancias más pequeñas es posible realizar espirales en doble nivel, es decir
utilizar los dos lados de un substrato para realizar dos inductancias en serie, en el mismo
espacio que ocuparía una sola [35].
3.2 Elementos distribuidos
Para altas frecuencias es preferible utilizar elementos distribuidos en lugar de
elementos concentrados, pues es muy difícil construir elementos que sean más pequeños
que un décimo de la longitud de onda de las señales de interés.
La forma más común de realizar estos elementos es a través de segmentos de líneas de
transmisión
3.2.1 Condensadores
Para realizar un condensador se utiliza una línea de transmisión terminada en un
circuito abierto.
De la ecuación (2.12) sabemos que la impedancia de una línea de largo L terminada en una
carga Z viene dada por:
Z in = Z 0
Z L + jZ 0 tan( βL)
Z 0 + jZ L tan( βL)
(3.2)
Si la línea esta terminada en un circuito abierto, entonces Z es infinito y por tanto la
impedancia de entrada es
Z in = − jZ 0 cot g ( βL)
(3.3)
Lo que corresponde a un condensador si βL<π/2. La ventaja de este método es que si
consideramos que la línea es sin pérdidas, tenemos un resultado exacto, y por tanto se
minimizan los efectos parásitos.
El problema que se presenta es que β depende de la frecuencia, lo que implica que este tipo
de elementos puede ser utilizado en un rango de frecuencias determinado.
Para aumentar este rango se utilizan líneas radiales[36], como la ilustrada en la Figura 3.6.
Lamentablemente, no existe una expresión exacta para la capacitancia de esta estructura.
Figura 3.6: Línea radial como condensador
3.2.2 Inductancias
Utilizando un método similar para analizar una línea de largo L terminada en un corto
circuito se obtiene que la impedancia de entrada de la línea corresponde a:
Z in = jZ 0 tg ( βL)
(3.4)
Impedancia que corresponde a la impedancia de un inductor
22
4. Adaptadores de impedancia
Anteriormente se discutió sobre la necesidad de utilizar adaptadores de impedancia
para asegurar que toda la potencia disponible sea efectivamente transferida a la carga, y de
esa forma evitar la existencia de ondas reflejadas en las líneas de transmisión. Vimos que la
condición para lograr este objetivo es que la carga a conectar a la línea sea de la misma
impedancia que Z0, la impedancia de línea. Muchas veces es necesario conectar cargas con
impedancias mayores o menores a la de la línea, y para evitar las reflexiones es necesario
utilizar adaptadores de impedancia.
Un adaptador de impedancia es un bloque que se utiliza entre la carga y la línea que impide
la reflexión. Esto se logra haciendo que la impedancia de la carga vista desde el adaptador
sea igual a la impedancia de la línea, tal como se puede observar en la figura 4.1.
Figura 4.1: Uso de un adaptador de impedancia
En esta sección se analizarán algunas de las metodologías más comunes para
construir adaptadores de impedancia.
4.1 Adaptador con elementos concentrados
Consiste en agregar una serie de elementos, en paralelo y/o en serie, a la carga, de
tal forma que la impedancia equivalente corresponda a la impedancia de la línea. Es
conveniente agregar cargas de tipo inductivo y capacitivo que no consuman la potencia que
se desea enviar a la carga.
Figura 4.2: Adaptador con elementos concentrados
23
La impedancia equivalente vista desde la línea hacia la carga corresponde a:
 1 1
Z eq = Z1 + 
+ 
 Z2 Z 
−1
(4.1)
Para que no exista reflexión se deben escoger Z1 y Z2 de tal forma que Zeq =Z0. Para realizar
los cálculos que determinan los elementos a utilizar, existe un método gráfico, en que se
utiliza la carta de Smith[7]. En los anéxos se presenta un ejemplo de utilización de este
método.
Es necesario ser muy cuidadoso, pues al agregar condensadores e inductancias se está
agregando un filtro pasa o rechaza banda, y por lo tanto se debe realizar el diseño de forma
que la frecuencia de trabajo no sea atenuada por este circuito.
Conviene utilizar este método sólo para bajas frecuencias (hasta 1[GHz]). Pues para
frecuencias superiores los elementos concentrados disipan mucha potencia [8].
4.2 Adaptador de cuarto de onda
Es posible utilizar segmentos de línea como adaptador de impedancia. Una de las
formas utilizadas es el adaptador de cuarto de onda. Para construirlo, se agrega un
segmento de línea de largo L e impedancia Za entre la carga y la línea de transmisión.
Figura 4.3: Adaptador de cuarto de onda
Se desea que la impedancia equivalente vista desde el final de la línea de transmisión
sea igual a Z0. Sabemos a partir de la ecuación (2.11) que esta impedancia viene dada por:
Z in = Z a
Z + jZ a tan( βL)
= Zo
Z a + jZ tan( βL)
Si elegimos el largo de la línea igual a
impuesta se cumple siempre que
Za = Z0 R
(4.2)
λ
π
entonces βL =
y por tanto la condición
4
2
(4.3)
Este tipo de adaptadores presenta dos grandes desventajas. La primera es que solamente
sirven para adaptar cargas de tipo resistivo, no obstante utilizando este método en conjunto
con un adaptador de línea cerrada es posible adaptar todo tipo de cargas.
24
El segundo problema que se presenta, es que todos los cálculos realizados implican que la
línea mide exactamente un cuarto de onda, por tanto, para frecuencias distintas a la
frecuencia utilizada en los cálculos, el adaptador ya no sirve.
Sucede que el coeficiente de reflexión es cero para la frecuencia central, pero a medida que
la frecuencia se aleja más de esta el coeficiente se va volviendo más y más grande. Esto
corresponde a un comportamiento tipo filtro pasa banda que es necesario estudiar para
lograr un buen diseño del circuito. [9] presenta un completo desarrollo acerca del ancho de
banda en que es posible utilizar este tipo de adaptadores. De todas formas, se concluye que
este ancho de banda es muy angosto. Los adaptadores con líneas en circuito cerrado
presentan el mismo problema.
4.3 Adaptadores con líneas en circuito cerrado
Utilizando una configuración como la ilustrada en la siguiente figura es posible
construir un buen adaptador de impedancia. Como se ve en la Figura 4.4, una línea de largo
L1 terminada en la carga que se desea adaptar, se utiliza en paralelo con otra línea de largo
L2, terminada en un circuito cerrado.
Figura 4.4: Adaptador de línea cerrada.
líneas;
La admitancia de entrada, Yin, debe ser igual a la suma de las admitancias de ambas
Yin = Y1 + Y2
(4.4)
Utilizando la ecuación 2.11 tenemos que las admitancias de cada línea son:
Y1 = Y0
Z 0 + jZ tan( βL1 )
Z + jZ 0 tan( βL1 )
Y2 = − jY0 cot g ( βL2 )
(4.5)
(4.6)
Es posible escoger L1 y L2 de tal forma que Yin sea igual a la admitancia de línea Y0 [8].
25
4.4 Adaptadores de impedancia y filtros
Como se vio anteriormente los adaptadores de impedancia presentan un
comportamiento tipo filtro. Recordemos que un filtro es un bloque que solamente permite
pasar la potencia que se encuentra en un rango determinado del espectro. Las señales que
se encuentran fuera de ese espectro serán reflejadas. Luego un filtro ideal tendría un
coeficiente de reflexión nulo en la banda de trabajo y un coeficiente de reflexión igual a 1
fuera de esa banda.
Una forma de realizar adaptadores de impedancia es utilizar un filtro pasa banda como
adaptador. Esta alternativa presenta la ventaja de poder elegir el ancho de banda en que
funcionará el adaptador de acuerdo a las necesidades de diseño que se presenten.
Existen dos modelos de filtro que son generalmente utilizados como adaptadores, a ser, el
filtro con saltos de impedancia y el de impedancia variable. Ambos serán estudiados en
profundidad en la sección dedicada a los filtros.
26
5 Filtros en microondas
5.1 Estructuras resonantes
Se dice que un sistema es resonante cuando presenta un comportamiento selectivo
para algunas frecuencias. En electrónica los sistemas resonantes más utilizados son los
circuitos LC, en los cuales la impedancia equivalente del circuito se vuelve cero o infinita
para alguna frecuencia en particular.
En realidad, todo sistema presenta pérdidas de energía lo que provoca un comportamiento
un tanto distinto del esperado idealmente. Para medir la calidad de un resonador se utiliza el
factor de calidad Q, definido como la razón entre la energía promedio almacenada por el
resonador y la energía disipada por unidad de tiempo; cuando el resonador se encuentra
trabajando en su frecuencia natural.
Claramente este tipo de estructuras tienen mucha utilidad en electrónica, ya que pueden ser
utilizados para construir filtros y osciladores.
Al trabajar en microondas muchas estructuras pueden ser utilizadas como resonadores.
Entre ellas destacan los cristales dieléctricos, los anillos de microstrip, o la utilización de
líneas abiertas [19].
Figura 5.1: Ejemplo de estructura resonante, el anillo
Por ejemplo un anillo de Microstrip [18] se comporta como un resonador. Al circular
una corriente por la línea de transmisión se genera una onda de voltaje que debe cumplir
con la condición de borde periódica, es decir:
V( X ) = V( X + 2 Π R )
∂V( X )
∂x
=
∂V ( X + 2 Π R )
∂x
(5.1)
Esta condición de borde impone que:
2πR = nλ
(5.2)
Y por tanto la frecuencia central de este resonador viene dada por:
f0 =
nc
2πR ε reff
(5.3)
27
Las ondas que no cumplan con esta condición serán atenuadas. El caso crítico corresponde a
aquellas señales para las cuales λ=(2n+1)πR, pues la señales se sumarán en fase de 180°,
produciéndose entonces una atenuación total. En [18] se presenta un desarrollo para el
encontrar el circuito equivalente, y para determinar el factor de calidad de este resonador.
En general todas las estructuras periódicas presentan resonancia, por ejemplo la existencia
de resonancias muy bien definidas en los cristales dieléctricos se debe a la estructura
periódica en que se disponen los átomos del cristal. Estos cristales son ampliamente
utilizados en el diseño de osciladores en RF y Microondas.
Esta propiedad que presentan las estructuras periódicas es explotada para realizar filtros en
el espectro de las microondas. Una de las metodologías más utilizadas consiste en instalar
obstáculos idénticos distanciados por una distancia ‘d’ al interior de una guía de onda. Como
resultado, la señal que viaja por la guía de onda será filtrada en una frecuencia relacionada
con la distancia ‘d’. En [20] se presenta un ejemplo de filtro con esta metodología
implementado en un cable coaxial.
En general, las estructuras presentan resonancia para una frecuencia f0 y para todos los
múltiplos de esa frecuencia. Esto genera problemas con el manejo de las armónicas por
parte de los filtros.
Como ejemplo de este fenómeno, se presenta en la figura (5.2) una medición realizada por
[19] para las resonancias de un anillo de Microstrip.
Figura 5.2 Resonancias de un anillo de Microstrip.
28
5.2 Tipos de filtros frecuentemente utilizados: Chebyshev y Butterworth
Existen dos criterios para construir un filtro. El primero es conseguir un filtro con una
característica lo más plana posible (Maximally Flat). El segundo criterio es conseguir un filtro
cuyo Riple sea mínimo (Equal Ripple). Los filtros construidos con la primera premisa son
denominados filtros de Butterworth, mientras que los segundos son llamados filtros de
Cebyshev.
La diferencia entre ambos tipos de filtros se puede apreciar en la figura (5.2) donde se
muestran dos filtros pasa-banda, construidos con las dos estrategias antes nombradas.
Figura 5.3: Tipos de filtros, (a) Butterworth, (b)Cebyshev.
Es sabido que mientras mayor sea el número de elementos utilizados en la construcción de
un filtro, mejor será su respuesta. Por eso el primer paso del diseño es definir cuál será la
atenuación requerida en la banda de rechazo para de esa forma determinar cuantos
segmentos deberá tener el filtro.
Una vez definido el número de segmentos que tendrá el filtro, se busca en tablas los valores
gk que tendrá el filtro. Estas tablas son posibles de encontrar en cualquier libro sobre el
tema, en particular se recomienda [13], donde se presentan tablas bastante completas para
el diseño de filtros y una explicación acerca de la construcción de estas tablas. Es necesario
notar que los gk se encuentran normalizados respecto a una impedancia base,
correspondiente a la impedancia de línea, generalmente 50[Ω]. Además g0 y gn+1
corresponden a las impedancias de la línea de entrada y la línea de salida, las que deben ser
idénticas. A modo de ejemplo en la tabla 5.1 se presenta una tabla para construir un filtro
tipo Butterworth.
Tabla 5.1: Tabla para un filtro Butterworth
29
Para construir un filtro pasa bajos los elementos se deben disponer de la siguiente forma:
Figura 5.4: Filtro pasa bajo
Para construir filtros pasa altos, rechaza banda o pasa banda, los segmentos calculados para
el filtro pasa bajos deben ser transformados utilizando las transformaciones mostradas en la
tabla 5.2 [14]:
Tabla 5.2: Transformaciones para el diseño de filtros
Utilizando estas transformaciones un filtro pasa altos resulta ser de la forma indicada en la
figura (5.6).
Figura 5.5: Filtro pasa altos
30
En cambio, un filtro pasa banda es de la forma mostrada en la Figura5.7 donde los
elementos Li y Ci son calculados a través de las fórmulas que se encuentran en la tabla (5.2).
Figura 5.6: Filtro pasa banda
Estos filtros pueden ser implementados a través de dos aproximaciones. la primera consiste
en utilizar elementos concentrados. Este procedimiento es muy bueno para bajas
frecuencias, pero, a medida que se aumenta la frecuencia, los elementos se vuelven cada
vez más caros y, peor aún, el filtro debe ser realizado en un espacio cada vez menor para
que pueda seguir siendo considerado como un elemento concentrado. Para altas frecuencias
es recomendable usar el segundo enfoque, consistente en utilizar elementos distribuidos
para realizar el filtro. A continuación se analizaran dos metodologías para realizar filtros con
elementos distribuidos.
5.3 Filtros con saltos de impedancia [22]
De (2.7) sabemos que la impedancia y la constante de propagación de una línea sin
pérdidas viene dada por:
Z0 =
L
C
β = ω LC
(5.4)
Luego si Z0 es pequeño podemos deducir que C>>L por tanto podemos pensar en la línea
como un condensador a tierra. La admitancia de este condensador vendrá dada por:
BC = ωCd =
βd
Z0
(5.5)
En cambio si Z0 es grande entonces L>>C, y podemos pensar la línea como una inductancia.
La impedancia de la inductancia será:
X L = ωLd = βdZ 0
(5.6)
En ambas ecuaciones ‘d’ corresponde al largo físico de la línea, pues los parámetros L y C se
encuentran expresados por unidad de longitud.
No obstante, utilizando esta metodología solamente es posible realizar filtros pasa bajos, ya
que sólo se dispone de dos tipos de elementos: condensadores a tierra e inductancias serie.
En la figura 5.7 se puede observar la implementación en microstrip de un filtro pasa bajos de
tres segmentos utilizando esta técnica.
Figura 5.7: Implementación en microstrip de un filtro Pasa Bajos
31
5.4 Filtros con elementos redundantes
De la ecuación (2.12) sabemos que la impedancia de una línea de largo L terminada
en una carga Z viene dada por:
Z in = Z 0
Z L + jZ 0 tan( βL)
Z 0 + jZ L tan( βL)
(5.7)
Si consideramos una línea de longitud igual a un octavo de onda, es decir βL=π/4, terminada
en un corto circuito, Z=0; tenemos que la impedancia vista desde el origen será:
Z in = jZ 0
(5.8)
Correspondiente a una inductancia.
En cambio, si consideramos la misma línea pero terminada en un circuito abierto tendremos:
Z in = − jZ 0
(5.9)
Lo que es equivalente a un condensador.
Utilizando estas transformaciones, también conocidas como “transformaciones de Richard’s”
es posible implementar filtros utilizando sólo segmentos de líneas, y con la ventaja de
realizar aproximaciones menos burdas que en el caso anterior.
El problema surge de la dificultad para implementar las líneas cerradas en posición serie.
Para evitar ese problema se utilizan las “identidades de Kuroda”, las que permiten cambiar
una inductancia serie por un condensador en paralelo agregando un elemento unitario U.E.,
generalmente una línea de transmisión de largo λ/8.
Figura 5.8: Identidades de Kuroda
Estas identidades son válidas sólo para elementos realizados con líneas de transmisión y no
lo son para elementos concentrados. La demostración puede ser encontrada en [22].
Un ejemplo de diseño de estos filtros se encuentra en 7.1.4.
32
5.5 Filtros con secciones de líneas (Multisection quarter-wavelength transformers)
Este tipo de filtros se construye utilizando N secciones de línea, cada una con una
impedancia Zi y con un cuarto de onda de longitud.
El coeficiente de reflexión del sistema viene dado por la suma de todas las reflexiones
que se producen en las uniones de las líneas.
Figura 5.9: Filtro de N líneas de cuarto de onda
[10] presenta una detallada discusión acerca de la posibilidad de despreciar todas las
reflexiones de segundo y tercer orden, luego nos quedamos con:
N
Γ = ∑ Γi e − j 2 iθ
(5.10)
i= 0
Donde:
Γi =
Z i +1 − Z i
Z i +1 + Z i
(5.11)
Si se realiza un diseño simétrico, es decir Γi = ΓN-i, entonces se tiene que la expresión (3.7)
puede ser simplificada resultando:
Γ = 2e − jNθ ( Γ0 cos( Nθ ) + Γ1 cos( N − 2)θ + .................)
(5.12)
Si θ=Π/2 entonces el coeficiente de reflexión será cero, para frecuencias distintas θ será
distinto a Π/2 obteniéndose un coeficiente de reflexión distinto de 0. Notemos que para la
tercera armónica de la señal θ=3Π/2, produciéndose cero atenuación para esa frecuencia.
Eligiendo adecuadamente las impedancias Zi es posible crear filtros con las más variadas
características.
Para obtener un filtro de Butterworth debemos escoger las impedancias de línea Zi de forma
tal que se cumpla:
Γn = 2 − N
Z − Z0 N
C = ΓN − n
Z + Z0 n
(5.13)
Donde
CnN =
N!
( N − n)! n!
(5.14)
Un completo desarrollo sobre este resultado se presenta en [10]
Es posible realizar filtros tipo Cebyshev de la misma forma, pero las ecuaciones son mucho
más engorrosas que las de un filtro plano [15].
33
5.6 Filtros con impedancias variables (Tapered)
Esta estrategia de filtros es similar a la anterior, pero la impedancia va cambiando en
forma continua a lo largo de la línea, tal como se puede observar en la figura 5.6
Figura 5.10: Filtro de impedancia variable:
El diferencial del coeficiente de reflexión debido a la diferencia de impedancia entre X y
X+dX viene dado por: [16]
∂Γ =
( Z + ∂Z ) − Z ∂ Z 1 ∂
≈
=
ln( Z ( X ) )∂X
( Z + ∂Z ) + Z 2Z 2 ∂X
(5.15)
Cada una de estas reflexiones aporta al coeficiente de reflexión del sistema con:
∂Γi = e − j 2 βx ∂Γ
(5.16)
Luego el coeficiente de reflexión del sistema es:
Γ=
1 − j 2 βx ∂
e
ln( Z ( X ) )∂X
2 ∫0
∂X
L
(5.17)
Finalmente conocida la función Z(X) Se conoce el coeficiente de reflexión del sistema. Los
cálculos inversos son más complicados y se encuentran en [17]
Tanto este último filtro como el anterior son ampliamente utilizados como adaptadores de
impedancias, esto debido a la facilidad con que es posible implementarlos en Microstrip
(figura 5.7).
Figura 5.10: Adaptador de impedancia en microstrip
Este tipo de estructuras son utilizadas, también para adaptar la impedancia del aire a la
impedancia de una guía de onda. Por la forma que tienen se conocen como bocinas.
34
5.7 Filtro coaxial [23]
Como ya hemos visto existen infinitas formas de realizar filtros para RF y microondas.
Un método interesante y ampliamente utilizado consiste en utilizar segmentos de líneas de
un cuarto de onda como resonadores. La configuración más utilizada es la que se muestra
en la Figura 5.11 donde se muestra un filtro de tres líneas acopladas.
Figura 5.11: Filtro coaxial de tres líneas
Cada segmento de línea esta cortocircuitado a tierra en su parte inferior. Para que el acople
sea máximo, el voltaje en el extremo superior de cada línea debe también ser máximo.
Luego la frecuencia central del filtro viene dada por:
f =
c
4l ε eff
(5.18)
Para disminuir el tamaño del filtro es necesario aumentar el εeff; para lograr este objetivo los
cables se encuentran dentro de un medio cerámico con un εrel relativamente alto (entre 40 y
100). Para maximizar el acople entre líneas se deja un espacio de aire entre los conductores.
También se produce un efecto capacitivo entre los puertos del filtro y el primer o último
conductor.
Para el diseño de este tipo de filtros se resuelve el problema en forma simplificada, para
luego ajustar los parámetros como la distancia entre conductores o el tamaño de los
espacios con aire, para optimizar la respuesta del filtro.
Estos filtros son muy utilizados debido a su pequeño tamaño, bajo costo, y buenos
resultados.
35
6 Acopladores e Híbridos
Los acopladores e híbridos son componentes de un sistema que se utilizan para
combinar o dividir señales. Se trata de componentes de cuatro puertos llamados Input,
Direct, Isolated, Coupled.
En un buen acoplador direccional la potencia disponible en el puerto Input será transmitida
hacia los puertos Direct y Coupled. En cambio en el puerto Isolated no debe haber potencia
disponible.
Además tanto los híbridos como los acopladores deben ser sistemas recíprocos los puertos
Isolated y Input son intercambiables, al igual que Direct y Coupled.
Para medir la calidad de un acoplador direccional se utilizan los siguientes índices:
Factor de acoplamiento:
Directividad:
C=10 log(P1/P3)
D=10 log(P3/P4)
Donde P1, P3 y P4 son, respectivamente, las potencias disponibles en los puertos
Isolated y Coupled.
Input,
El modelo más simple de acoplador consiste en dos líneas de transmisión acopladas. En la
Figura 6.1 se muestra un acoplador de este tipo implementado en microstrip.
Otra implementación de acoplador utilizado para microondas, consiste en dos guías de ondas
rectangulares unidas a través de pequeños agujeros. El campo electro-magnético que viaja
por una guía de onda será transferido parcialmente, a través de los agujeros, a la otra guía
de onda. Las ecuaciones para el diseño de este tipo de acopladores se pueden encontrar en
[24].
Figura 6.1 Acoplador de líneas de microstrip
Un tipo de acoplador un tanto diferente es el acoplador de Wilkinson. Este tiene solamente
tres puertos y su función es separar una señal en dos señales que tengan la misma potencia
y la misma fase.
Figura 6.2: Acoplador de Wilkson
36
Un híbrido es un acoplador direccional que presenta la particularidad de que las señales
disponibles en los puertos 2 y 4 están desfasadas en 90° o 180° y son de igual potencia.
Esta característica es utilizada para construir receptores en cuadratura, mezcladores y
amplificadores balanceados.
6.1 Híbridos en 90°
Es posible encontrar la matriz S de un híbrido de 90° a partir de las propiedades que
debiera tener un elemento de este tipo. Estas propiedades son las siguientes:
- Una onda incidente en el puerto 1 debe ser trasmitida a los puertos 2 y 3 y no al
puerto 4.
- Las potencias disponibles en 2 y 3 deben ser iguales.
- Las señales en 2 y 3 deben estar desfasadas en 90°.
- El sistema debe ser recíproco, es decir potencia incidente en 4 será transmitida a 3
y 2, potencia en 2 será transmitida a 1 y 4, y potencia en 3 será transmitida a 4 y 1.
Luego la matriz S de un híbrido de 90° ideal será [25]:
0 −j 1 
 0
 0
0
1 − j 
1 
S=
0
0 
2 − j 1


0 
 1 −j 0
(6.1)
La forma más simple de construir un híbrido es a través de líneas acopladas. [26] presenta
un desarrollo basado en las simetrías del sistema para encontrar la matriz S de dos líneas
acopladas.
El resultado obtenido es:
 0
 0
S=
 S 13

 S14
0
0
S14
S 13
Donde:
S13 =
S14 =
S 13
S 14
0
0
S 14 
S13 
0

0
1− k 2
1 − k 2 cos(θ ) + j sin(θ )
jk sin(θ )
1 − k cos(θ ) + j sin(θ )
2
Donde θ es el largo eléctrico de la línea
como:
k=
Z 0 e − Z 00
Z 0e + Z 0 o
(6.1)
(6.2)
(6.3)
y ‘k’ es el coeficiente de acoplamiento, definido
(6.4)
Con Z0e y Z0o siendo las impedancias de línea en modo par y modo impar respectivamente. Si
se elige el factor K como 0.707 y el largo eléctrico de las líneas como θ=π/2 resulta que la
37
matriz S corresponde a la matriz de un híbrido ideal de 90°. Estos híbridos son también
conocidos como acopladores de 3dB pues una línea con las especificaciones recién dadas
tendrá un factor de acoplamiento C=3dB.
Lamentablemente es imposible conseguir un coeficiente de acoplamiento con ese valor
utilizando dos líneas de microstrip acopladas. La solución para este problema es utilizar
configuraciones que aumenten el acople entre las líneas. La solución más utilizada
actualmente fue propuesta por Julios Lange en 1969 [26] y consiste en dividir las líneas de
microstrip en dos líneas en paralelo tal como lo indica la Figura 6.2.
Figura 6.2: Híbrido de Lange
Las dimensiones óptimas de este acoplador deben ser cuidadosamente escogidas. Las
variables de interés son la separación entre líneas y el ancho da e las líneas, que determinan
las impedancias pares e impares. Otra variable de interés es el número de conductores que
se utilizarán. La configuración más común es de 4 conductores (caso de la Figura 6.2).
Ecuaciones de diseño para encontrar las impedancias pares e impares se encuentran en
[28]. Con esto es fácil encontrar las dimensiones físicas del acoplador.
Otro híbrido utilizado frecuentemente es el híbrido cuadrado (90° Branch line coupler) que
se muestra en la Figura 6.3.
Figura 6.3: Híbrido cuadrado
Cuando una señal llega al puerto 1 se divide en dos ondas que viajan por cada rama del
cuadrado. Las señales llegan con un desfase de 90° a los puertos 2 y 4.
38
Por otro lado en el puerto 3 ambas señales se cancelan pues llegan en fase de 180°.
Un análisis más detallado se presenta en [27] donde se realiza un análisis del modo par e
impar del acoplador.
6.3 Híbridos de 180°
Los híbridos de 180° cumplen las mismas características que los de 90° con la
salvedad de que potencia incidente en el puerto Input es llevada con 180° de diferencia a
Coupled y Direct.
En base a lo anterior se tiene que la matriz S de un híbrido de 180° sería [25][29]:
0 0

1 0 0
S=
2 1 1

1 − 1
1 1
1 − 1
0 0

0 0
(6.5)
El híbrido más utilizado es el híbrido de anillo (Rat-race hybrid- ring coupler) mostrado en la
Figura 6.4.
Figura 6.4
La potencia que entra en el puerto 1 será dividida en dos partes iguales llegando con fase
de 90° al puerto 2 y con 270° al puerto 4, luego la diferencia de fase entre ambos es de
180°.
Ambas señales llegan con 180° de desfase al puerto 3 y por tanto se anulan. En [27] se
presenta un detallado análisis de este modelo de híbrido.
Tanto este híbrido como el híbrido cuadrado presentan la desventaja de poseer un ancho de
banda muy estrecho, esto debido a que las condiciones de borde para las ondas
estacionarias son fijadas para una frecuencia en particular, y fuera de esa frecuencia el
sistema se comporta de forma diferente.
Para aumentar el ancho de banda del híbrido de anillo se utiliza la configuración mostrada en
la Figura 6.5 [27].
En esta configuración se reemplaza la línea de largo 3λ/2 por dos líneas acopladas que
proveen un desfase entre el puerto 1 y el 4 equivalente a 3λ/2. Como los modos pares e
impares de las líneas acopladas varían lentamente con la frecuencia se obtiene un híbrido
con un mejor ancho de banda que el anterior. Otra ventaja de esta variación consiste en una
disminución en tamaño del híbrido.
39
Figura 6.5 Híbrido en anillo (Reverse-Phase Hybrid-Ring Coupler)
40
7 Anexos
7.1 Diseño y simulación de filtros para 5 [GHz]
Se diseño un filtro pasa bajos con respuesta plana (Butterworth) de tres segmentos.
Luego se simuló el comportamiento de este filtro implementado de tres maneras distintas.
En primer lugar se implementó el filtro utilizando elementos concentrados ideales; de esta
forma se comprobó que el comportamiento del filtro correspondía a las exigencias de diseño.
En segundo lugar se implementó el filtro utilizando la técnica de saltos de impedancia
estudiada en 5.3. Para ello se realizaron dos aproximaciones. En la primera se utilizaron
líneas ideales (sin pérdidas) y luego se utilizaron líneas de microstrip.
Finalmente se implementó el mismo filtro con la técnica de filtros con segmentos
redundantes estudiada en 5.4. De igual forma que la implementación anterior, se estudió el
caso de líneas ideales y el de líneas de microstrip.
Para realizar las simulaciones se utilizó el programa Microwave Office de la compañía Applied
Wave Research [38].
8.1.1 Diseño del filtro
Como se desea construir un filtro pasa bajos los elementos se deben ubicar como lo
indica la Figura 7.1:
Figura 7.1: filtro pasa bajos
Los valores gi se determinaron a partir de la Tabla 7.1
Tabla 7.1: Valores de los elementos para un filtro Butterworth
A partir de los valores gi calculamos los valores del condensador y de las inductancias para
un filtro en 5[GHz]; para ello utilizamos:
Li =
gi Z0
2πf
y
Ci =
gi
2πfZ 0
(7.1)
Y por lo tanto tenemos que:
L1= L3= 1.59[nH]
C2= 1.27[pF]
41
7.1.2 Simulación de un filtro ideal
Se construyó un filtro utilizando elementos ideales. En primer lugar es necesario crear
un nuevo esquemático. Para ello se ejecuta Project> Add Schematic> New Schematic. Este
esquemático fue llamado ideal.
Luego se importan los elementos a utilizar desde el menú Elem ubicado en la esquina
inferior izquierda de la pantalla. Aparte de importar un condensador y dos inductancias
ideales desde la carpeta Lumped Element, se deben importar dos puertos desde la carpeta
Ports.
El esquemático así realizado se puede ver en la Figura (7.2)
Figura 7.2: Esquematico "ideal"
Para comprobar que el desempeño del filtro corresponde al deseado se debe realizar una
simulación del circuito. Para ello, es necesario seleccionar el rango de frecuencias 1 a 15
[GHz] con un paso de 0.1[GHz]. Esto se realiza en el menú Options>Project Option.
Luego creamos un nuevo gráfico en Project>new graph, llamado también ideal. El programa
ofrece la posibilidad de realizar distintos tipos de gráficos, como diagramas de Smith,
gráficos polares o rectangulares. En este caso se eligió un gráfico rectangular.
Para seleccionar las medidas que tomaremos agregamos una medición a este gráfico
(Project> Add measurament), Este menú ofrece una serie de alternativas de medidas a
tomar sobre el circuito, se decidió medir el modulo del coeficiente de transmisión desde el
puerto 1 al 2 (S12).
Figura 7.3 Menú Add measurement
42
Finalmente se realizó la simulación, se utiliza el comando Simulate>Analyze. Los resultados
obtenidos son:
Gráfico 7.1: respuesta del filtro ideal
Se comprueba que el filtro corresponde a un filtro pasa bajos con frecuencia de corte 5
[GHz], con una respuesta tipo Butterworth.
7.1.3 Filtro con saltos de líneas
Recordemos que esta metodología consiste en reemplazar las inductancias serie por
líneas de alta impedancia y los condensadores a tierra por líneas de baja impedancia.
Por lo tanto el primer paso es decidir cual será la impedancia máxima y mínima que soporta
la línea de transmisión. En el caso de líneas de microstrip las impedancias factibles van entre
20Ω y 100Ω. Se eligió Zmin=30Ω y Zmax=75Ω.
Los largos de las líneas son calculadas a partir de las siguientes ecuaciones:
Bc =
θ
Z min
X L = θZ max
(7.2)
Donde θ es el largo eléctrico de la línea.
Realizando los cálculos se obtiene que las inductancias serán reemplazadas por líneas de
largo 37.21° y el condensador por una línea de largo 67.79°.
Para realizar la simulación se creó un nuevo gráfico llamado “Saltos en línea”. Las líneas
ideales son importadas desde el menú Elem>Trasmisión Lines>Phase. El esquemático se
puede ver en la figura 7.4.
43
Figura 7.4: Esquemático del filtro en líneas ideales
Para simular este filtro implementado en líneas de microstrip se creó un nuevo esquemático
llamado “Saltos en microstrip”. Los elementos fueron importados desde Elem>Microstrip. Se
destaca la necesidad de importar, aparte de las líneas, componentes que representen los
efectos que se producen cuando una línea de microstrip disminuye o aumenta su ancho.
Además es necesario especificar el sustrato que se utilizará, importando desde el menú
Elem>Substrates un sustrato adecuado para líneas de microstrip.
Para determinar las dimensiones físicas de las líneas de microstrip se utiliza la herramienta
TXLine (Window>TXLine), con la cual es posible determinar el ancho w y el largo L de una
línea de microstrip a partir de la impedancia de línea deseada, y del largo eléctrico que debe
tener la línea. También es posible realizar los cálculos inversos.
Figura 7.5: Herramienta TXLine de Microwave Office
Esta herramienta del programa permite trabajar con distintos tipos de guías de onda como
cable coaxial, stripline o slotline. También permite realizar los cálculos para diseñar líneas de
microstrip acopladas.
Los espesores de conductor y sustrato, T y H, como también la constante dieléctrica son
parámetros del tipo de sustrato que se eligió en el esquemático, y por tanto deben tener los
mismos valores.
44
Finalmente el esquemático resultante es:
Figura 7.6: Esquemático del filtro en microstrip
Por último se realizó
implementaciones:
la
simulación
y
se
graficaron
las
respuestas
de
ambas
Gráfico 7.3: Respuestas del filtro con saltos de impedancia.
Se observa una componente resonante en 12.3 [GHz] lo que afecta notablemente el
desempeño del filtro.
45
7.1.4 Filtro con elementos redundantes
Esta metodología, expuesta en 5.4, consiste en utilizar las transformaciones de
Richard’s para reemplazar las inductancias por líneas en circuito cerrado de largo 45° y los
condensadores por líneas de 45° en circuito abierto.
En este caso el circuito resultante sería:
Figura 7.7: Filtro con líneas de transmisión
Como las líneas en circuito cerrado son difíciles de implementar se utilizan las identidades de
Kuroda, las que permiten reemplazar las líneas cerradas por líneas abiertas más un
segmento redundante de línea.
En primer lugar se agregan segmentos redundantes de línea, llamados U.E. (Unidad
Elemental) de largo 45°, al inicio y al final de la línea, para luego utilizar la segunda
identidad de Kuroda, y de esa forma obtener un circuito sin líneas abiertas.
Figura 7.8: Identidades de Kuroda
Después de haber determinado los valores se crearon dos esquemáticos para implementar el
filtro en líneas de transmisión ideales y en líneas de microstrip.
Luego se simularon las respuestas de ambos esquemáticos,los resultados obtenidos se
muestran en el Gráfico 7.3
46
7.3: Respuesta de los filtros tipo peineta.
Gráfico
Finalmente el layout del filtro con elementos redundantes será:
Figura 7.9: Layout del gráfico tipo peineta
7.1.5 Conclusiones
En este anexo se presentaron claramente dos método de diseño de filtros pasa bajos,
que anteriormente se habían estudiado en forma teórica (secciones 5.3 y 5.4).
Por otro lado se mostraron en forma metódica los componentes básicos del software
Microwave Office, utilizado para realizar simulaciones de circuitos para microondas.
Como resultado de estas simulaciones se presenta el Grafico 7.4, en el cual se muestran las
respuestas del filtro con saltos de impedancia y del filtro tipo peineta, realizados en
microstrip en comparación con la respuesta de un filtro ideal.
Llama la atención la baja atenuación en la banda de rechazo que presenta el filtro con saltos
de impedancia.
47
El filtro peineta presenta un buen comportamiento, aunque presenta pérdidas del orden de
un 10% en la banda de paso. Estas pérdidas son explicables en parte por las perdidas que
presentan las líneas de microstrip. Quizás es buena alternativa montar el mismo filtro en
stripline, ya que presenta menos pérdidas.
Gráfico 7.4: Comparación de las distintas implementaciones
48
7.2 El diagrama de Smith
En esta sección se presentaran algunos ejemplos acerca de la utilización de la carta
de Smith como herramienta para realizar en forma gráfica algunos cálculos frecuentes al
diseñar circuitos en RF o microondas.
7.2.1 Calculo del coeficiente de reflexión:
Dada la construcción del diagrama de Smith, mostrada en 2.4, es posible calcular en
forma gráfica el coeficiente de reflexión de una carga Z conectada con una línea de
impedancia conocida.
Consideremos el siguiente caso: Una carga de impedancia Z= 100 +150j [Ω] es conectada a
una línea de impedancia 50[Ω]. Se desea calcular el coeficiente de reflexión.
En primer lugar es necesario calcular la impedancia normalizada de la carga, dada por el
cuociente entre Z y la impedancia de línea. Se obtiene: Zn = 2 +3j.
Luego se ubica el punto Zn en el diagrama de Smith, marcado con una cruz roja en la Figura
7.10. El coeficiente de reflexión viene dado en modulo y magnitud por el vector que une el
origen del plano Γ con el punto Zn, indicado en la figura 7.10 por una flecha azul.
Figura 7.10: Cálculo del coeficiente de reflexión
49
Finalmente el coeficiente de reflexión corresponde a Γ=0.75 < 26°
También es posible encontrar la razón de onda estacionaria. Para ello es necesario dibujar
un círculo de |Γ| constante, dibujado con línea punteada en la Figura 7.10, entonces el
VSWR será el valor de la intersección de este circulo con el eje real. En este caso VSWR= 7.
Otra posibilidad que ofrece el diagrama de Smith es calcular la impedancia a una distancia L
de la carga. Por ejemplo si se desea saber la impedancia del sistema anterior a una distancia
0.2λ de la carga es necesario desplazarse a lo largo del círculo de |Γ| constante una
distancia 0.2λ en sentido horario.
En este caso la impedancia normalizada de entrada en ese punto de la línea sería Z=0.2 –
0.6j y por lo tanto la impedancia sería Z=10-30j.
Para realizar en forma precisa estos cálculos es necesario utilizar diagramas de Smith
completos, con todas las escalas necesarias. Un ejemplo de este tipo de carta se presenta en
la Figura 7.11. Es posible encontrar diagramas de este tipo en la web[37].
Figura 7.11: Diagrama de Smith
50
7.2.2 Cálculo de impedancias y admitancias
Otra aplicación del diagrama de Smith es realizar transformaciones de admitancia a
impedancia y viceversa, en forma gráfica. Para ello se utiliza un diagrama de Smith como la
de la Figura 7.11. Donde la malla en línea punteada es la malla de admitancia y la otra es de
impedancia.
Por ejemplo sea una carga de Z=10+20j [Ω]. En primer lugar se calcula la impedancia
normalizada, la que corresponde a Zn=0.2+0.4j. Se ubica ese punto en la malla de
impedancias, marcado con una cruz roja en la Figura 7.11.
Luego se busca el valor de la admitancia normalizada utilizando la malla de admitancia. En
este caso este valor corresponde a Y= 1-2j. Desnormalizando tenemos que la admitancia de
esa carga es Y= 0.02- 0.04j [Ω-1].
Figura 7.11: Transformaciones de impedancia a admitancia
51
7.2.3 Cálculo de adaptadores de impedancia
Utilizando la facilidad para convertir admitancias en admitancias y viceversa es
posible realizar los cálculos para diseñar un adaptador de impedancia en forma gráfica.
Supongamos que se desea conectar una carga de impedancia normalizada igual a
Z=0.2+0.2j a una línea de impedancia normalizada 1.
En primer lugar se ubica en el diagrama de Smith el punto donde se ubica la impedancia de
la carga. En la Figura 7.12 este punto se indica con una cruz roja.
Se desea agregar elementos a la carga de tal forma que la impedancia de la carga con
adaptador sea igual a uno. Este punto se ubica en el centro del diagrama y corresponde al
punto donde no habrá reflexión. En la figura 7.12 se encuentra marcado con otra cruz roja.
Para diseñar el adaptador se realiza un camino en el diagrama que una la impedancia de la
carga con el centro del diagrama.
Este camino debe ir por sobre los círculos de igual resistencia o igual conductancia pues el
adaptador no debe disipar potencia.
Veamos el ejemplo: En primer lugar se agrega una inductancia serie de X=0.2. De esa forma
la impedancia de la carga más la inductancia es Z= 0.2+0.4j, la impedancia es Y= 1-2j. Para
llegar al centro del diagrama agregamos un condensador de valor B=2.
52
Figura 7.12: Diseño de adaptadores
En la Figura 7.12 se muestra el camino que se recorrió en el diagrama de Smith. Finalmente
el adaptador diseñado corresponde a:
Figura 7.13: Adaptador de impedancia resultante
53
8 Referencias
[1] Bowick C., “RF Circuit Design”, Newnes, 1982, Capitulo1
[2] Freeman J., “ Fundamentals of Microwave Transmisión Line”, John Wiley & Sons, 1996
[3] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Capitulo 5.
[4]Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998, Capitulo
1.3.1
[5] Freeman J., “ Fundamentals of Microwave Transmisión Line”, John Wiley & Sons, 1996,
Capitulo 3.
[6]Chang K.,”RF and Microwave Wireless Systems”, John Wiley & Sons, 2000, Capitulo 2.10
[7] Bowick C., “RF circuit design”, Newnes, 1982, Cap 4.
[8] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.
[9] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992, Cap
5.6
[10] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992, Cap
5.7
[11] Bowick C., “RF circuit design”, Newnes, 1982, Cap 4.
[12] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.5
[13] Matthaei G. Young L., Jones E., Microwave filters, Impedance Matching and coupling
structures, McGraw-Hill, 1964. Capitulo 8.2
[14] Misra D., “Radio- Frequency and Microwave communication circuits analysis and
design” John Wiley & Sons, 2001.Capitulo 8.2
[15] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992, Cap
5.10 y 5.11
[16] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.13.5
[17] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992, Cap
5.13
[18] Hsie L., Chang K.”Equivalent Lumped Elements G,L,C, and Unloaded Q’s of Closed- and
Open Loop Ring Resonators”, IEEE Transactions on microwave theory and techniques,
vol50,n°2, February 2002, p 453.
[19] Chang K.,”RF and Microwave Wireless Systems”, John Wiley & Sons, 2000, Capitulo 4.3
54
[20] Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,2° edición 1992, Cap
8.1.
[21] Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998,
Capitulo 1.6.4
[22]Misra D., “Radio- Frequency and Microwave communication circuits analysis and design”
John Wiley & Sons, 2001.Capitulo 8.3
[23] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 6.3.2
[24]Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,1° edición 1966, Cap
6.4.
[25] Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998,
Capitulo 1.7.1
[26] Lange J. “Interdigitated Stripline Quadrature irbid”, IEEE trans. Microwave Theory Tech.
Vol MTT-17, december 1969 p 1150
[27] Chang K., “Microwave Ring Circuits and antenas”, John Wiley and Sons,1996, Cap 8.5
[28] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 6.5.3.1
[29] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 9.6.3
[30] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 3.4.2
[31] http://www.mini-systems.biz/msithin/thn_cat.asp
[32]Mellberg A. et al,”Fabrication and modeling of passive components for InP-based MMICs,
Chalmers University of Technology, Gothenburg, Sweden
[33] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.12.2
[34] Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002, Cap 5.12.3
[35] W.Y.Yin, S.J. Pan, L.W. Li, “Double level spiral inductors with multiple via interconnects
on GaAs Substrates” , IEEE transactions on magnetics, Vol 40 N°3, May 2004
[36] Maas S., “The RF and Microwave Circuit Design Cookbook”, Artech House, 1998,
Capitulo 1.5.2
[37] http://www.ife.ee.ethz.ch/rfic/
[38] http://www.appwave.com/
55
9 Bibliografía
9.1 Libros
Bowick C., “RF Circuit Design”, Newnes, 1982.
Chang K.,”RF and Microwave Wireless Systems”, John Wiley & Sons, 2000.
Chang K., “Microwave Ring Circuits and antenas”, John Wiley and Sons,1996
Chang K., Bahl I., Fair V.,”RF and Microwave Circuit and Component design for Wireless
Systems”, John Wiley &Sons , 2002.
Collin R., “Foundations for microwave engineering” ,McGraw-Hill,1° edición 1966.
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Freeman J., “ Fundamentals of Microwave Transmisión Line”, John Wiley & Sons, 1996.
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John Wiley & Sons, 2001.
Matthaei G. Young L., Jones E., Microwave filters, Impedance Matching and coupling
structures, McGraw-Hill, 1964.
9.2 Revistas
IEEE Transactions on microwave theory and techniques
9.3 Páginas web
www.mini-systems.biz/msithin/thn_cat.asp
www.ep.liu.se/ecp/008/posters/
www.ee.nchu.edu.tw/~hmhsu/course/
home.sandiego.edu/~ekim/e194rfs01/
www.ife.ee.ethz.ch/rfic/
www.appwave.com/
9.4 Software
Microwave Office, http://www.appwave.com
56