1. Rectas secantes - Agrupación 15 de Junio – MNR

1.
Rectas secantes
1. Consideremos la función f (x) = sen x
a) Sabiendo que una recta secante a una curva es aquella que corta a la curva en dos
puntos, considera la recta secante a la gráfica de la función dada, en los puntos
(1, sen 1) , (2, sen 2). Expresa la pendiente de la misma en función de las coordenadas
de los puntos de paso:
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b) Ahora considera una nueva recta secante en los puntos (1, sen 1) , (1,5, sen 1,5) y expresa nuevamente su pendiente en función de las coordenadas de los puntos.
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c) ¿Cuántas rectas secantes a la curva se pueden construir, tales que pasen por el punto
(1, sen 1)?
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d ) Construye una tabla con los valores de las pendientes de diez rectas secantes que
pasen por (1, sen 1) y por (x, sen x), para 1 < x ≤ 2:
Incremento de x
∆x = x − 1
Incremento de y
∆y = sen (x) − sen (1)
Pendiente de la recta
∆y
∆x
∆x = 2 − 1 = 1
∆y = sen 2 − sen 1
sen 2 − sen 1
∆y
=
≈ 0,0678
∆x
2−1
Podemos graficar una secuencia de rectas secantes con el comando seq. Más aún, la
opción insequence=true nos permite ver las rectas de la secuencia una a una logrando
una suerte de animación de la situación:
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e) Define una función p que a cada x del intervalo anterior le haga corresponder la
pendiente de la recta secante a la gráfica de f , que pase por (1, f (1)) y (x, f (x)).
Grafı́cala. ¿Cuál es el dominio de la misma?
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f ) ¿Qué sucede en el punto de abscisa x = 1?
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2. Considera ahora la función f (x) = x3 − 3x2 + x + 2. Grafı́cala en el intervalo [−1, 3].
Construye una secuencia de rectas secantes a la gráfica de la función, que pasen por los
puntos (x, f (x)) y (1, f (1)) con −1 ≤ x < 1 y repite todos los pasos del ejercicio anterior.
2.
Velocidades medias
Consideremos ahora el recorrido de un vehı́culo que parte de un punto distante 1 m de un
mojón que se toma como 0 del recorrido. Se observa que transcurrido un minuto, el vehı́culo
se encuentra a 4 m del mojón; al minuto siguiente, la distancia al mojón es de 9 m, un minuto
después se encuentra a 16 m y a los 5 minutos de la salida, se halla a 36 m del mojón.
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a) Grafica en un sistema de ejes cartesianos los puntos cuyas coordenadas son: tiempo
transcurrido, distancia recorrida.
b) ¿Podrı́as decir cuál fue la velocidad media del vehı́culo desde que partió hasta que
llegó a los 16 m del mojón?
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c) Esta velocidad ¿es la que lleva el vehı́culo en todo el transcurso de su recorrido?
¿Cómo lo sabes?
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d ) Ahora analicemos la situación. ¿Cómo calculaste la velocidad media?
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e) Este número ¿puede interpretarse geométricamente de alguna manera? Si es ası́ ¿cómo?
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f ) Grafica la recta que pasa por los puntos (0, 1) y (3, 16) ¿Cuál es la pendiente de la
misma?
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g) Ahora calcula la velocidad media del vehı́culo desde el momento t = 1 minuto hasta
que llega a los 16 m del mojón.
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h) Grafica una recta que pase por los puntos (1, 4) y (3, 16) ¿Cuál es la pendiente de la
misma?
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i ) Calcula la velocidad media del vehı́culo desde el momento t = 2 minutos hasta que
llega a los 16 m del mojón y grafica una recta que pase por (3, 16) y cuya pendiente
sea el número que acabas de calcular.
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j ) Calcula ahora la velocidad media desde que pasó por el punto distante 16 m del
mojón, y el instante t = 5 minutos, y grafica una recta que pase por (3, 16) y cuya
pendiente sea el número que acabas de calcular.
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k ) Completa la siguiente tabla
Incremento de tiempo
∆t = t − 3 [min]
Incremento de distancia
∆x = 16 − x [m]
3−0=3
3−1=2
3−2=1
3 − 5 = −2
16 − 1 = 15
16 − 4 = 12
Velocidad media
∆x h m i
∆t min
15/3 = 5
12/2 = 6
l ) ¿Podrı́as decir qué marca el velocı́metro del vehı́culo en el instante t = 3 minutos? Si
es ası́ ¿cuánto marca? Si no es ası́ ¿por qué no puedes decirlo? ¿Qué otros datos te
harı́an falta?
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m) Repasa el comando Fit de la guı́a 1 para ver si esto te ayuda a responder la pregunta
anterior.
n) Con el comando seq arma un gráfico que muestre una secuencia de rectas cuyas
pendientes son las obtenidas en la última columna de la tabla.
ñ) Define una función v que a cada instante t dede que partió hasta los 6 minutos de
viaje le haga corresponder la velocidad media del vehı́culo en el intervalo [t, 5] ó [5, t].
Grafı́cala. ¿Cuál es el dominio de esta función? ¿Qué sucede en el instante t = 5?
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