Matemática Aplicada, Computacional e Industrial MACI Vol. 5 2015 Trabajos presentados al V MACI 2015 Proceedings of V MACI 2015 Tandil, 4 al 6 de mayo de 2015 Matemática Aplicada, Computacional e Industrial ISSN: 2314‐3282 Director: Cristina Maciel, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca Comité Editorial / Editorial Board Carlos D’Attellis, Univ. Favaloro – UNSAM, Buenos Aires Pablo Jacovkis, UBA, UNTreF, Buenos Aires Sergio Preidikman, CONICET – UNC, Córdoba Diana Rubio, UNSAM, Buenos Aires Rubén Spies, IMAL (CONICET – UNL), Santa Fe Juan Santos, CONICET‐IGP‐UBA, Buenos Aires Domingo Tarzia, CONICET – UA, Rosario Cristina Turner, CONICET – UNC, Córdoba Volumen 5, 2015 Contiene los trabajos presentados al congreso V MACI 2015, Tandil, Argentina. Editores Néstor Biedma, UTN, Neuquén. Pablo A. Lotito, PLADEMA; F. C. Exactas, UNCPBA, Tandil. Lisandro A. Parente, CIFASIS y FCEIA, UNR, Rosario. Aldo J. Rubiales, PLADEMA; F. C. Exactas, UNCPBA, Tandil. ASAMACI Asociación Argentina de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial Güemes 3450, (3000) Santa Fe, Argentina. E-mail: asamaci@gmail.com http://asamaci.org.ar/ MACI Vol. 5 (2015) 313 - 316 U N PROBLEMA DE S TEFAN A UNA FASE EN MATERIALES DE TIPO S TORM Adriana Briozzo† † Facultad de Ciencias Empresariales, Universidad Austral y CONICET,Rosario, Argentina, abriozzo@austral.edu.ar Resumen: Se considera un problema de Stefan unidimensional, no lineal a una fase para un material semi-infinito x > 0, con temperatura de cambio de fase Tf . Se asume que la capacidad de calor y la conductividad térmica satisfacen una condición de Storm y que existe una condición convectiva en el borde fijo. Se obtiene una solución de tipo similaridad y se da un algoritmo para obtener la solución explı́cita. Palabras clave: problema de Stefan, proceso con cambio de fase, solución de similaridad 2000 AMS Subject Classification: 35R35- 80A22- 35C05 1. I NTRODUCCI ÓN Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional, no lineal a una fase para un material semiinfinito x > 0, con temperatura de cambio de fase Tf . [ ] ∂ ∂T ∂T = k(T ) , 0 < x < X(t) , t > 0 , (1) s(T ) ∂t ∂x ∂x k(T (0, t)) ∂T h0 (0, t) = √ [T (0, t) − Tm ] , h0 > 0 , t > 0 , ∂x t T (X(t), t) = Tf , k(Tf ) • ∂T (X(t), t) = α X (t) , t > 0 , ∂x X(0) = 0 (2) (3) (4) (5) donde la constante positiva α es ρL, L es el calor latente de fusion del medio, ρ es la densidad (se asume constante) y h0 > 0 es el coeficiente de transferencia de calor. Se supone que el metal tiene propiedades térmicas no lineales tales que la capacidad de calor cp (T ) y la conductividad k(T ) satisfacen una condición de Storm [2, 5, 6, 7, 9] d dT (√ s(T ) k(T ) s(T ) ) = λ = const. > 0 , (6) donde s(T ) = ρcp (T ). La condición (6) fue originalmente obtenida por [9] en una investigación sobre conducción del calor en metales monoatómicos simples. La validez de la aproximación (6) fue examinada para aluminio, plata, sodio, cadmio, zinc, cobre y plomo. En [1] fue estudiado este problema con condición de flujo y de temperatura en el borde fijo y se demuestra la equivalencia de ambos. En [7] fue estudiado el problema de frontera libre (1) − (6) (fusion case) para el caso particular k(T ) = ρc/ (a + bT )2 y s(T ) = ρc = constante. la solución explı́cita de este problema fue obtenida a través de la única solución de una ecuación integral. Un caso similar con temperatura constante en el borde fijo x = 0 también fue estudiado. El objetivo de este trabajo es determinar la temperatura T = T (x, t) y la posición de la frontera de cambio de fase t, X = X(t), que satisfacen (1) − (6) . En la sección que sigue se muestra cómo encontrar una solución paramétrica para este problema. También se da un algoritmo en orden a calcular la solución explı́cita. 313 MACI Vol. 5 (2015) 2. N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.) S OLUCI ÓN AL PROBLEMA DE S TEFAN CON CONDICI ÓN CONVECTIVA Se considera el problema (1) − (6) y se propone una solución de tipo similaridad dada por T (x, t) = Φ(ξ) , ξ = donde X(t) = x X(t) (7) √ 2γt , t > 0 (8) es la frontera libre y γ es una constante positiva a determinar Entonces se tiene que el problema (1) − (5) es equivalente a k(Φ)Φ′′ (ξ) + k ′ (Φ)Φ′2 (ξ) + γs(Φ)Φ′ (ξ)ξ = 0 , 0 < ξ < 1 , √ k(Φ(0))Φ′ (0) = 2γh0 [Φ(0) − Tm ] , (10) ϕ(1) = Tf , (11) k(Φ(1))Φ′ (1) = αγ . (12) (9) √ Si se define k(Φ (ξ)) , s(Φ (ξ)) y(ξ) = (13) entonces una parametrización de la condición de Storm es s(Φ) = − 1 dy 1 dy , k(Φ) = − 2 λy dΦ λ dΦ (14) y entonces se tiene que el siguiente problema es equivalente a (9) − (12) d2 y γξ dy =0 , 0<ξ<1 , + 2 dξ 2 y dξ [( ) ] √ k −1 2 ′ y (0) = − 2γλh0 (y (0)) − Tm , s (15) (16) y ′ (1) = −αλγ , √ k(Tf ) y(1) = y1 = . s(Tf ) donde ( k )−1 s (17) (18) es la función inversa de la función decreciente ks . Lema 1 Una solución paramétrica al problema (15) − (18) está por ξ = φ1 (u) = √ γ { exp(− − u0 y = φ2 (u) = Fu0 (u) , Fu0 (u1 ) u2 0) 2 ∫u + exp(− u0 (19) } x2 2 )dx , Fu0 (u1 ) (20) para u0 < u < u1 donde la función Fu0 = Fu0 (u) está dada por Fu0 (u) = exp(− 314 u2 2 ) + u ∫u u0 exp(− z2 2 )dz − u2 exp(− 20 ) u0 MACI Vol. 5 (2015) y u0 , u1 son los valores del parámetro que deben verificar ξ = φ1 (u0 ) = 0 and ξ = φ1 (u1 ) = 1. Las incógnitas γ, u0 y u1 deben verificar el siguiente sistema de ecuaciones ] [( ) ( ) √ k −1 γexp(−u20 ) u0 = 2λh0 − Tm s [u0 Fu0 (u1 (u0 ))]2 √ γ= exp(− ( exp(− u0 αλ u2 0) 2 u21 2 ) ∫u1 − ) exp(− u0 x2 2 (21) (22) )dx u2 − exp(− 21 ) y1 = αλFu0 (u1 ) (23) En lo que sigue se quiere encontar u0 , u1 y γ las soluciones de las ecuaciones (21) − (23). Se puede reescribir el sistema (21) − (23) como sigue ( ) k u0 γexp(−u20 ) √ + Tm = (24) s 2h0 λ [u0 Fu0 (u1 ))]2 √ γ= exp(− ( exp(− u0 αλ u2 0) 2 u0 M (u1 ) = g ( donde M (x) = g √x , √1 π 2 ( 1 αλy1 ∫u1 − ( )) +1 . u21 2 ) ) (25) 2 exp(− x2 )dx u 1 √0 , √ 2 π ) (26) Lema 2 Existe una única solución al sistema (21) − (23) dada por )) ( ( u0 1 −1 u1 = M g √ ,√ 2 π ( γ(u0 ) = α2 λ2 donde u0 es la única solución de k s con R(u0 ) = ( exp(−u21 (u0 )) exp(− u0 u2 0) 2 ∫u1 − u √ 0 + Tm 2h0 λ u0 )2 2 exp(− x2 )dx ) = R(u0 ) γexp(−u20 ) [u0 Fu0 (u1 (u0 ))]2 . Teorema 1 El problema (1) − (5) tiene una única solución de tipo similaridad. Se da a continuación un procedimiento para calcular la solución. Fijados los datos: α, λ, q0 , Tf , k(T ) y s(T ) del problema (1) − (5) , para obtener la frontera libre X(t) y la temperatura T (x, t) para 0 < x < X(t), t > 0, se sigue el siguiente proceso: (i) Se obtienen u0 , u1 y γ las soluciones de las ecuaciones (21) − (23). 315 MACI Vol. 5 (2015) N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.) (ii) Para t > 0 se calcula X(t) = y para cada 0 < x < X(t) se obtiene √ 2γt x . X(t) (iii) Teniendo en cuenta que φ1 (u) es una función creciente se determina ( ) x −1 u = φ1 and φ2 (u) X(t) donde φ1 y φ2 are given by (19) − (20) . (iv) Se tiene ( ) ( k )−1 ( ) P (φ2 (u))2 = (φ2 (u))2 s ( )−1 donde P = ks es la función inversa de la función ks , la cual es una función decreciente por la condición (6) . (v) Se obtiene la temperatura (( ( ))2 ) T (x, t) = P φ2 φ−1 (x/X(t)) . 1 AGRADECIMIENTOS This paper has been partially sponsored by the project PIP No. 112-200801-00460 from CONICET-UA, Rosario (Argentina) and Fondo de ayuda a la investigacion from Universidad Austral (Argentina). R EFERENCIAS [1] Briozzo, A. C.; Natale, M. F. One-dimensional nonlinear Stefan problems in Storm’s materials, Mathematics 2014, 2, 1-11. [2] Briozzo, A. C.; Natale, M. F.; Tarzia, D. A. 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