PR OBLE MAS R E SUE LTOS DE E STADÍ STI CAS DE SCRIPTI VA Prof.: MSc. Ju lio R. Varg as I. C ompleta r los da tos que fa lta n en la siguiente tab la d e frecu en cia a: xi ni 1 4 2 4 3 7 5 5 6 fi Fi 0.08 16 4 7 Ni 0.16 0.14 28 38 7 45 8 Solución: xi ni Ni fi Fi 1 4 4 0.08 0.08 2 4 8 0.08 0.16 3 8 16 0.16 0.32 4 7 23 0.14 0.46 5 5 28 0.10 0.56 6 10 38 0.20 0.76 7 7 45 0.90 8 5 50 0.14 0.10 1.00 N=50 fi=ni/Ni= 0.08=4/N N=4/0.08 N=50 (para calcular el total de elementos de la tabla) Fi=Ni/N II. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Altura 170, 174 175, 179 180, 184 185, 189 190, 194 195, 199 Nº de jugadores 1 3 4 8 5 2 Calcular media y mediana. Solución: Intervalo Xi 172 177 182 187 192 197 170, 174 175, 179 180, 184 185, 189 190, 194 195, 199 ni 1 3 4 8 5 2 ∑ ̅ Ni 1 4 8 16 21 23 Xini 172 531 728 1496 960 394 (media aritmética para datos agrupados) Datos para el cálculo de la mediana en datos grupados. Li=185 fa=8 fm=8 c=5 n/2=11.5 ( III. ) ( ) L os resultados a l la nza r un da do 200 veces vienen da dos por la siguiente tabla: Xi 1 2 3 4 5 6 ni a 32 35 33 b 35 D etermina r a y b sabiendo que la puntua ción media es 3.6. Solución: Como los resultados totales deben ser 200. La suma de: a + 32 + 35 + 33+ b + 35 = 200 a + 135 + b= 200 esto es : a + b = 200-135 a+ b = 65 También nos dicen la media es 3.6 O sea Xi 1 2 3 4 5 6 ni a 32 35 33 b 35 Xini a 64 105 132 5b 210 ̅ ∑ a + 5b = 200*3.6 – 511 a +5 b = 209 Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones lineales: { Multiplicamos por -5 la primer ecuación y resulta -5a +5b = -325 a + 5b = 209 --------------------4a = -116 a= 116/4 a= 29 entonces b= 65 -29=36 Por lo tanto sustituimos los valores en la primera tabla y quedará así: Xi 1 2 3 4 5 6 ni 29 32 35 33 36 35 IV. El histogra ma de la distribución correspondiente a l peso de 100 a lumnos de Ba chillerato es el siguiente: 1. F orma r la tab la d e la distrib uc ión . 2. S i Jua n pesa 72 kg, ¿ cuá ntos a lumnos ha y menos pesa dos que él? 3. Ca lcula r la mod a. 4. Ha llar la med ian a . S olución: El histogra ma fue construido c on los límites inferiores y superiores de las clases y la a ltura de la s ba rra s del histograma son la s frecuencias de ca da clase. 1) C onstruimos la ta bla de frecuencia C la se Xi ni Ni fi Fi 60 – 63 61. 5 5 5 0.05 0.05 63 – 66 64. 5 18 23 0.18 0.23 66 – 69 67. 5 42 65 0.42 0.65 69 – 72 70. 5 27 92 0.27 0.92 72 – 75 73. 5 8 100 0.08 1.00 2) Responderemos la pregunta 2: Jua n está en el último interva lo, por lo que 92 a lumnos tienen pesos menores que él. 3) Ca lculo de la M oda : El límite inferior está en la clase que tenga la frecuencia a bsoluta más a lta . L i = 66 ∆ 1 = 42 – 18=24 ∆ 2 =42 – 27=15 C= 3 ( ) ( ) 4) Ca lculo de la mediana El límite inferior es tá en la cla se que tenga la frecuencia absoluta a cumulada que contenga a l 50% de los datos. L i = 66 f a = 23 f m = 42 c= 3 ( V. ) ( ) Los beneficios en millones de dólares de un grupo de empresas vienen detallados en el siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas: En cientos de empresas 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 25 50 75 100 125 150 En millones de dólares Calcular: 1. Tabla estadística 2. Establecer nº de empresas con beneficios superiores a 75 millones 3. Calcular media mediana y moda S olución: 1. T abla de frecuencia s o ta bla esta dística B eneficios No empresas A cumuladas Rela tivas Rela tivas Ac Xi ni Ni fi Fi X in i 25 20 20 0.071 0.071 500 50 20 40 0.071 0.142 1000 75 80 120 0.286 0.428 6000 100 40 160 0.143 0.571 4000 125 60 220 0.214 0.785 7500 150 60 280 0.214 0.999꞊1 9000 2. Número de empresas con beneficios superior a 75 millones: 160 emp resas. 3. Calcular media mediana y moda 3.1 Media aritmética: ∑ ̅ 3. 2 M edia na . P rimero ca lculamos los límites inferior y superior de la ta bla . Sa bemos que: X i = (L i + L s)/2 fórmu la de la ma rca de cla se. a. 25 = (L i 1 + Ls 1 )/2 primera cla se b. C omo el ancho de la clase es ta mbién 25; lo cua l puede comproba r restando la ma rca de cla se del segundo interva lo menos la del primero. c. C omo la ma rca de la cla se es el punto medio divi dimos el a ncho entre dos, eso es 12. 5 solo toma remos la pa rte entera 12. L uego L i=25 -12=13 d. El L i de la segunda clase será : el lím ite inferior de la primera + 25 (a ncho de la clase), ENTONCES L i 2 =13+25=38 y luego los otros e. P ara los límites superiores solo restamos 1(uno) a l limite inferior de la segunda clase y será el límite superior de la primer clase. A sí obtenemos el resto. La tabla de muestra a continuación. Li Ls Xi ni 13 37 Ni 25 20 20 38 62 50 20 40 63 87 75 80 120 88 112 100 40 160 113 137 125 60 220 138 162 150 60 280 El va lor de la mediana esta donde se encuentra el 50% de los da tos , en este caso la frecuencia a cumula da que contenga a 140. Esta cla se la hemos ma rcado con amarillo. L i = 88 f a = 120 f m = 40 c= 25 ( 3. 3 ) ( ) millones Ca lcula r la moda : El límite inferior está en la cla se que tenga la frecuencia a bsoluta más a lta: en este ca so es 80 , la cla se la hemos ma rcado con c olor na ranja. L i = 63 ∆ 1 = 80 – 20= 60 ∆ 2 =80 – 40 = 40 C = 25 ( ) ( )