Derivación bajo el signo integral 1. Teorem (derivación bajo el signo integral, regla de Leibniz). Sean Ω un subconjunto medible de Rn , Λ un intervalo de R, f : Ω × Λ → C. Se supone: i) ∀λ ∈ Λ, f λ ∈ L1 (Ω). Definimos Z f (x, λ) dx. Φ(λ) := Ω ii) para casi todo x ∈ Ω la función fx es derivable. iii) ∃g ∈ L1 (Ω) tal que |fx0 (λ)| ≤ g(x) para casi todo x ∈ Ω y ∀λ ∈ Λ. Entonces la función x 7→ fx0 (λ) es integrable en Ω, Φ es derivable en Λ y Z 0 Φ (λ) = fx0 (λ) dx. Ω 2. Corolario. Cambiamos la hipótesis ii) del teorema por la siguiente: ii’) para casi todo x ∈ Ω, fx ∈ C 1 (Λ). Entonces Φ ∈ C 1 (Λ). 3. Corolario. Sea Ω un subconjunto compacto de Rn y Λ un intervalo compacto de R. Sea f : Ω × Λ → C. Se supone: i) ∀λ ∈ Λ, f λ ∈ L1 (Ω). Definimos Z Φ(λ) := f (x, λ) dx. Ω ii) la función (x, λ) 7→ fx0 (λ) existe y es continua en K × Λ. Entonces Φ ∈ C 1 (Λ) y 0 Z Φ (λ) = fx0 (λ) dx. Ω 4. Regla de Leibniz con lı́mites de integración variables. Sean X, Y intervalos abiertos en R y f : X × Y → C una función continua. Se supone que ∀(x, y) ∈ X × Y existe ∂2 f (x, y) y que existe g ∈ L1 (X, R) tal que |∂2 f (x, y)| ≤ g(x) ∀(x, y) ∈ X × Y . Sean ϕ, ψ funciones derivables Y → X. Se define ∀y ∈ Y : ψ(y) Z Φ(y) = f (x, y)dx. ϕ(y) Pruebe que Φ es derivable en Y y calcule su derivada. página 1 de 3 5. Derivadas sucesivas de la función Γ. Γ ∈ C ∞ en (0, +∞) y Z+∞ Γ (x) = e−t tx−1 (ln t)k dt. (k) 0 6. Propiedades de la función Γ. 1. Γ(x + 1) = xΓ(x) ∀x > 0. 2. Γ(1) = 1. 3. Γ(n + 1) = n!. 4. Γ00 (x) > 0 ∀x > 0. 5. ∃α ∈ (1, 2) tal que Γ0 (α) = 0. 6. Γ(x) → +∞ cuando x → +∞. 7. Γ(x) ∼ 1 x cuando x → +0. El cálculo numérico dice que α ≈ 1.4616, Γ(α) ≈ 0.8866. 7. Sea S un subconjunto medible en Rn . Sean f : S → C, g : S → R funciones medibles en S. Se supone que g(x) > 0 ∀x ∈ S y que existe λ0 > 0 tal que la función x 7→ e−λ0 g(x) f (x) es integrable en S. Se pone ∀λ > λ0 : Z Φ(λ) := e−λg(x) f (x) dx. S Muestre que Φ está bien definida, que Φ ∈ C ∞ (λ0 , +∞) y que ∀k ∈ N y ∀λ > λ0 Z (k) k Φ (λ) = (−1) e−λg(x) (g(x))k f (x) dx. S Z+∞ Aplicación: Para λ > 0 y k ∈ N calcule la integral e−λx xk dx. 0 8. Para todo x ∈ R se definen x 2 Z 2 f (x) := e−t dt , Z1 g(x) := 0 0 página 2 de 3 2 2 e−x (t +1) dt. t2 + 1 a) Demuestre que ∀x ∈ R f 0 (x) + g 0 (x) = 0 y deduzca que f (x) + g(x) = π4 . b) Utilice a) para calcular la integral de Poisson: √ Z+∞ π −t2 e dt = . 2 0 9. a) Sea α ≥ 0. Muestre que la función x 7→ Z+∞ F (α) := 1−e−αx x2 2 es integrable en [0, +∞). Se pone 2 1 − e−αx dx. x2 0 Muestre que F es continua en [0, +∞). b) Pruebe que para α > 0 se puede derivar F bajo el signo integral. Efectuando esta derivación calcule explı́citamente F (α). 10. Fijando a > 0 se pone Z+∞ 2 f (b) := e−ax cos bx dx ∀b ≥ 0. 0 Establezca la relación f 0 (b) = − b f (b). 2a Deduzca que r Z+∞ 1 π − b2 −ax2 e e 4a . cos bx dx = 2 a 0 página 3 de 3