Raíces complejas simples de D(s)

3.2 Raíces complejas simples de D(s)
El proceso para hallar los coeficientes asociados a raíces complejas es el mismo que el empleado para encontrar las de las raíces
reales. La única diferencia es que el álgebra implica el uso de números complejos. Ilustramos el procedimiento desarrollando la
función racional:
F ( s) =
ya que:
K3
K
K2
100(s + 3)
= 1 +
+
2
(s + 6)(s + 6s + 25) s + 6 s + 3 − j 4 s + 3 + j 4
s 2 + 6s + 25 = (s + 3 − j 4 )(s + 3 + j 4 )
para hallar K1, K2 y K3 se aplica el mismo proceso que antes:
K1 =
luego:
100(s + 3)
s 2 + 6 s + 25
=
s = −6
100(− 3)
= −12
25
K2 =
100(s + 3)
100( j 4 )
=
=6−
(s + 6)(s + 3 + j 4 ) s = −3+ j 4 (3 + j 4) j8
K3 =
100(s + 3)
100(− j 4 )
=
= 6 + j8 = 10 53.13º = 10e j 53.13º
(s + 6)(s + 3 − j 4 ) s = −3− j 4 (3 − j 4)(− j8)
j8 = 10 − 53.13º = 10e − j 53.13º
100(s + 3)
12 10e − j 53.13 º 10e j 53.13º
=−
+
+
2
(s + 6 )(s + 6 s + 25) s + 6 s + 3 − j 4 s + 3 + j 4
En los circuitos físicamente realizables, las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados. Así K3 es el conjugado de K2, por
lo tanto en el caso de raíces complejas conjugadas, sólo hay que calcular la mitad de los coeficientes. Procedemos a hallar la
transformada inversa:


100(s + 3)
−6 t
− j 53.13 º − (3− j 4 )t
! −1 
e
+ 10e j 53.13º e −(3+ j 4 )t
 = −12e + 10e
2
 (s + 6) s + 6 s + 25 
(
)
Es deseable que la función en el dominio del tiempo no tenga componentes imaginarias. Para resolver el problema utilizaremos la
identidad de Euler.
e ± jωt = cos ωt ± sen ωt
(
)
10e − j 53.13º e − (3− j 4 )t + 10e j 53.13º e −(3+ j 4 )t = 10e −3t e j (4t −53.13º ) + e − j (4t −53.13º ) = 20e −3t cos(4t − 53.13º )
luego la transformada inversa queda:
(Hacer os ejercicios 16.12 y 16.13)
f (t ) = ! −1 [F ( s )] = −12e −6t + 20e −3t cos(4t − 53.13º )