T - RACO

Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct .
1980
Actes VII JMHL
EXTENSION DE OPERADORES DE Lp EN Lq AL CASO VECTORIAL
F .J . Ruiz Blasco, J .L . Torrea Hernández
Dpto . de Teoria de Funciones
Universidad de Zaragoza
Abstract :
In this paper we study the problem of extending an
Lq to the vectorial case . We consider
operator T : Lp
clas1ses introduced by R . S . Phi l-lips [21 giving
the Vp
c B
a
certain answer to the problem . We apply these
results to some operators of Fourier Analysis .
0.
Dados dos espacios de medida
T : Lp (X,p)
-->
Lq (Y,v)
(X,u)
,
(Y,v)
y un operador
(1 !!~ p,q ~ -)
no
lineal y continuo
siempre es posible extenderlo a un operador lineal y continuo
T : LB(X,VI)
LB(Y,v) , donde B es de Banach, de forma
que
T(2: bi~ei)
=lbi T(`P i )
2: b i lf i e B
,
o Lp (X,u)
.
Ejemplos de esto son :
i)
La transformada de Fourier
que no está acotada si
ii)
r y£ 2
La función conjugada
[3]
T :
.
D~ : L2 r (T)
1
Lp 1 (T)
L
2
1
r (Z)
> Lp 1 (T) ,
[1]
En este trabajo damos una respuesta afirmativa a dicho
problema manejando los espacios
Phillips
1.
VB(X,u)
introducidos por
[21
El principal resultado de este apartado es el siguiente :
1 .1 . Teorema .-
T : LP (X)
~>
Dado un operador lineal y continuo
Lq (Y)
norma a un operador
(1 4 p,q < ~)
T :VB(X)
T(7_b i `P i ) _ rbiT(Ti)
-~
se extiende con la misma
VB(Y)
biIoi
tal que
e B o Lp(X)
24 3
Demostración .-
Dado
F e VB(X)
, basta definir
TF = F o T * .
Para q 9¿ 1 , el teorema se sigue de Teorema 4 .1 . en [21 . Para
q = 1 , se demuestra previamente que TF
(que en principio
s61o sabemos que es un operador de Lm -p B)
es efectiva
V1 (Y)
y se procede como en q 7É 1 .
mente un elemento de
Observaciones .-
Hemos demostrado en
(LB(X ),II .IIW) =
VB(X)
(1 t'- p < ~)
pacto .
V~
B (X)
donde
[41
V~
que
es el subespacio de
B (X)
cuyo operador asociado por (1 .3)
es com-
El teorema 1 .1 es válido cambiando los espacios Vp por
. Además, en este caso, la extensión es úniVC,B
los espacios
ca .
Por razonamientos habituales de densidad se llega también
al resultado 2 .1 para
plícita del operador .
Vp,B
(ver
, pero sin obtener de expresión ex[41) .
2 . Aplicaciones
2 .1 . Transformada de Fourier .
La extensión mediante 1 .1 - del
A , .. .
operador transformada de Fouriér /N
L`,(1)
\T : L' ku)
1 '11 p d5 2 donde G es grupo localmente compacto abeliano y
P
N su dual . Nos da una extensión a
-~ Vp : B (P)
Vp
(G)
que verifica la desigualdad de
,B
Hausdorff-Young y el teorema de Plancharel . El caso no compacto es de especial importancia pues permite definir la trans
formada dé Fourier para funciones
f
de
LB
con
p > 1.
2 .2 . Multiplicadores .
Si T es un multiplicador
T : J(G)
-> LP (G)
tal que (Tf)~ = mf
m e L~(P)
para
f e Lp¡1L
entonces
T
:
---->
Vp
2G)
se
verifica
VP~B(G)
2n
,B
ñ
(T~ = m F , F e VP, (G)n V
B
c,B (G) , donde m F es el elemento de
cuyo operador U asociado por Teorema 4 .1
Vc,B
en [2]
tiene la forma U pe) = J T md F
Como casos particulares tenemos :
en
24 4
i)
La función conjugada extendida es acotada de
,
Vp ,B (T)
con 1 < p <
Vp~ B (T)
extendidos por 1 .1 de las sumas
'Sn
parciales S n de la serie de Fourier está uniformemente aco(1 < p < ~)
tados de VP
(T)
en VP 'B (T)
,B
y que
Es fácil comprobar que SnF e LB(T) , F e VP ~ B (T)
ii)
Los operadores
_
SnF(x) _
donde
n
~
-n
F(K)e1KX
x e T
,
F (K) = ) e-1K( .)dF
[2] )
es un espacio de sucesiones (ver
(Nótese que VB ' (Z)
K e Z) .
y que por ello tiene sentido hablar de F(K) ,
Como consecuencia de
(ii)
0 ,
1ISnf-f11W1P
se tiene que :
f e LB(T)
(1 < p <
Es decir, hay convergencia débil de las sumas parciales de la
serie de Fourier de una función de LB(T) a la función si
1 < p <
-
Bibl iografía
[lI
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